圆锥曲线题型归类总结计划辅导专用x
时间：2020-10-18 16:18:26 来源：勤学考试网 本文已影响 人 
典型例题
题型一：定义的应用
1、动圆 M与圆 C1 :(x+1) 2+y2 =36 内切 , 与圆 C2:(x-1) 2+y2=4 外切 , 求圆心 M的轨迹方程。
例 2、方程 表示的曲线是
题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：
1、椭圆：由 , 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
2、双曲线：由 , 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；
3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
典型例题
例 1、已知方程
x2
y2
m 1
2
1表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m的取值范围是
m
例 2、k 为何值时 , 方程 x 2
y 2
1 的曲线： (1) 是椭圆 ;(2) 是双曲线 .
9
k 5 k
题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角
形）问题
1、椭圆焦点三角形面积 S b2 tan ；双曲线焦点三角形面积 S b2 cot
2 2
2、常利用第一定义和正弦、余弦定理求解
3、 m n, m n, mn, m2 n2 四者的关系在圆锥曲线中的应用；
典型例题
例1、
椭圆 x
2
y 2
1(a b 0) 上一点 P 与两个焦点 F1 ，F2 的张角∠ F1 PF2
，
a
2
b2
求证：△ F1PF2 的面积为 b2 tan 。
2
例 2、已知双曲线的离心率为 2，F1、F2 是左右焦点， P 为双曲线上一点， 且 ，
1
．求该双曲线的标准方程
题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法
1、a,b,c 三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值；
2、a,b,c 三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的范围；
3、注重数形结合思想不等式解法 ;
典型例题
x2
y2
1（ a
0,b 0 ）的两焦点，以线段
F1 F2 为边作正
例 1、已知 F1 、 F2 是双曲线
2
b 2
a
三角形 MF1 F2 ，若边 MF1 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是
例2、
双曲线 x
2
y
2
1（ a＞0,b ＞ 0）的两个焦点为
12
1
|=2|PF
2
a
2
b2
F 、F , 若 P 为其上一点， 且 |PF
|,
则双曲线离心率的取值范围为
例 3、椭圆 G ： x2
y 2
1(a b 0) 的两焦点为 F1 ( c,0), F2 (c,0) ，椭圆上存在
a2
b2
点 M 使 F1M F2 M
0 .
求椭圆离心率 e 的取值范围；
例 4、已知双曲线 x2
y
2
1(a 0, b 0)
的右焦点为
F
F
且倾斜角为
60 的直线与双
a2
b2
，若过点
曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
题型五：点、直线与圆锥的位置关系判断
1、点与椭圆的位置关系
2
点在椭圆内
x2
y
2
1
；点在椭圆上
x2
y2
1
；
a
2
b2
a2
b2
点在椭圆外
x2
y
2
1
;
a
2
b2
2、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题：
>0 相交
=0 相切 （需要注意二次项系数为 0 的情况）
<0 相离
3、弦长公式：
AB
1
k 2 x1
x2
1
k 2 ( x1
x2 )
1 k2
a
AB
1
1
y1
y2
1
1
( y1
y2 )
1
1
k 2
k 2
k 2 a
4、圆锥曲线的中点弦问题：
1、韦达定理：
2、点差法：
1）带点进圆锥曲线方程，做差化简
2）得到中点坐标比值与直线斜率的等式关系
典型例题
1、双曲线 x2-4y2=4 的弦 AB 被点 M(3,-1)平分 ,求直线 AB 的方程 .
例 2、已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆与直线 L:x+y=1 交于 A,B 两点，
C 是 AB 的中点，若 |AB|=2 2 ，O 为坐标原点， OC 的斜率为 2 /2，求椭圆的
方程。
题型六：动点轨迹方程：
1、求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；
3
2、求轨迹方程的常用方法：
（ 1）直接法：直接利用条件建立 之间的关系 ；
例 1、已知动点 P 到定点 F(1,0) 和直线 的距离之和等于 4，求 P 的轨迹方程．
2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。
例 2、如线段 AB过 x 轴正半轴上一点 M（m， 0） ，端点 A、B 到 x 轴距离
之积为 2m，以 x 轴为对称轴，过 A、O、 B 三点作抛物线，则此抛物线方程
为
定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；
例 3、由动点 P 向圆
0
作两条切线 PA、PB，切点分别为 A、B，∠ APB=60，
则动点 P 的轨迹方程为
例 4、点 M与点 F(4,0) 的距离比它到直线
的距离小于 1，则点 M的轨迹
方程是 _______
例 5、一动圆与两圆⊙ M：
和⊙ N：
都外切，则动
圆圆心的轨迹为
(4) 代入转移法：动点
依赖于另一动点
的变化而变化，并且
又在某已知曲线上，则可先用
的代数式表示
，再将
代入
已知曲线得要求的轨迹方程 :
例 6、如动点 P 是抛物线
上任一点，定点为
, 点 M分
所成的
比为 2，则 M的轨迹方程为 __________
(5) 参数法：当动点
坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用
时，可考虑将
均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普
通方程）。
4
例 7、过抛物线 的焦点 F 作直线 交抛物线于 A、B 两点，则弦 AB的中点
M的轨迹方程是
直线与圆锥曲线的常规解题方法总结：
一、设直线与方程； （提醒 ：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为 y=kx+b 与 x=my+n 的
区别）
二、设交点坐标； （提醒 : 之所以要设是因为不去求出它 , 即“设而不求”）
三、联立方程组；
四、消元韦达定理； （提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）
五、根据条件重转化； 常有以下类型：
①“以弦 AB为直径的圆过点 0”（ 提醒： 需讨论 K 是否存在）
OA OB K1 K 2 1 OA OB 0 x1 x2 y1 y2 0
②“点在圆内、圆上、圆外问题”
“直角、锐角、钝角问题” “向量的数量积大于、等于、小于 0 问题”
x1 x2 y1 y2 >0；
③“等角、角平分、角互补问题” 斜率关系（ K1 K2 0 或 K1 K2 ）；
④“共线问题” （如： AQ QB 数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法） ；
（如： A 、 O、 B 三点共线 直线 OA与 OB斜率相等）；
⑤“点、线对称问题” 坐标与斜率关系；
⑥“弦长、面积问题” 坐标与弦长公式问题（ 提醒 ：注意两个面积公式的合理选择） ；
六、化简与计算；
七、细节问题不忽略： ①判别式是否已经考虑；②抛物线问题中二次项系数是否会出现
0.
直线与圆锥曲线的基本解题思想总结：
1、“常规求值”问题： 需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；
2、“是否存在”问题： 当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；
3、证明定值问题的方法： ⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结
5
果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。
4、处理定点问题的方法： ⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系
数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明
5、求最值问题时： 将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函
数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值） 、利用切线的方法、利用均值
不等式的方法等再解决；
6、转化思想： 有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具
有可行性，关键是积累“转化”的经验；
7、思路问题： 大多数问题只要 忠实、准确 地将题目每个条件和要求表达出来，
即可自然而然产生思路。
典例 1、已知点 F 0,1
，直线 l ： y
1， P 为平面上的动点，过点 P 作直线 l 的垂线，垂
足为 Q ，且 QP QF
FP FQ．（ 1 ）求动点 P 的轨迹 C 的方程；（ 2）已知圆 M 过定点
D 0,2
，圆心 M 在轨迹 C 上运动，且圆 M 与 x 轴交于 A 、B 两点，设 DA l1 ，DB
l2 ，
求 l1
l2
的最大值．
l2
l1
2、如图半圆， AB为半圆直径， O为半圆圆心，且 OD⊥ AB， Q为线段 OD的中点，已知 | AB|=4 ，曲线 C过 Q点，动点 P在曲线 C上运动且保持 | PA|+| PB| 的值不变 .(1) 建立适当的平面直角坐标系，
求曲线 C的方程； (2) 过 D点的直线 l 与曲线 C相交于不同的两点 M、N，且 M在 D、N之间，
DM =λ ，求 λ的取值范围 .
DN
6
x2
y2
1
(a b
0) 的左右焦点。
例 3、设 F1 、 F2 分别是椭圆 C ： 2
2
a
b
（1）设椭圆 C 上点 ( 3,
3 ) 到点 F1
、 F2
距离和等于
4 ，写出椭圆 C 的方程和焦点坐标；
2
（2）设 K 是（ 1）中所得椭圆上的动点，求线段
KF1 的中 点 B 的轨迹方程；
（ 3）设点 P 是椭圆 C 上的任意一点，过原点的直线
L 与椭圆相交于 M ， N 两点，当直线
PM ， PN 的斜率都存在， 并记为 kPM ， kPN
，试探究 kPM K PN 的值是否与点 P
及直 线 L 有关，并证明你的结论。
例 4、已知椭圆 C 的中心在坐标原点， 焦点在 x 轴上，椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为
3 ，最小值为 1．（Ⅰ） 求椭圆 C 的标准方程；（Ⅱ）若直线 l : y kx m 与椭圆 C 相交于 A ，
B 两点（ A，B 不是左右顶点） ，且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点，求证：直线 l 过
定点，并求出该定点的坐标．
例 5、已知椭圆两焦点
F1 、 F2 在 y 轴上，短轴长为
2 2 ，离心率为
2 ， P 是椭圆在第一
2
象限弧上一点，且
PF1
PF2 1 ，过 P 作关于直线
1
PA、PB 分别交椭圆
F P 对称的两条直线
于 A、 B 两点。（ 1）求 P 点坐标；（ 2）求证直线 AB 的斜率为定值；
7
典型例题：
例1、
由①、②解得， x
a 2
．
不妨设 A a
2,0
， B a
2,0
，∴ l1
∴
l1
l 2
l12
l2 2
2a2
16
l 2
l1
l1l 2
a4
64
③ 当 a
0 时，由③得， l1
l2
2 1
l2
l1
a
2
4 ， l2
a
2
4 ．
2
2
a2
2
8
2
1
16 a
2
2
4
64
a4
，
a
64
16
16
2
2 ．
≤2
1
8
a
2
64
2
a2
当且仅当 a
2 2 时，等号成立．当 a
0时，由③得， l1
l2
2 ．
l2
l1
故当 a 2
2 时， l1
l 2
的最大值为 2
2 ．
l 2
l1
例 2、解： (1)
以 AB、OD所在直线分别为 x 轴、 y 轴， O为原点，建立平面直角
坐标系，∵
|
PA
PB
QA
QB
2
2
2
|+|
|=|
|+|
|=2
1 2 5 ＞| AB|=4.
∴曲线 C
为以原点为中心， A、 B 为焦点的椭圆 .
8
其 半 a, 短半 b, 半焦距 c, 2a=2
5 , ∴a= 5 , c=2, b=1.
∴曲
C 的方程 x2
y2
=1.
5
+
kx
(2) 直
l 的方程 y
+2,
=
代入 x2
y
2
=1,
得
(1+5
k2
x2
kx
+15=0.
5
+
)
+20
2
k
2
＞
2
＞
3
由 可知
DM
x1
=(20 k)
－4×15(1+5
)
0,
得 k
.
λ
5
DN
x2
=
x1
x2
20k
1
5k 2
由 达定理得
15
x1
x2
1
5k 2
将 x1 =λ x2 代入得
(1
) 2 x2
2
400k 2
(1
5k 2 ) 2
x2
2
15
1
5k 2
两式相除得 (1
) 2
400k 2
15(1
5k 2 )
k 2
3
0
1
5
5
1
,
k 2
,
2
5
5
3
k
4
(1
) 2
16 ,
DM
0,
3
DN
80
1
3(5
k 2 )
20
,即4
80
16
3
3(
1
5)
3
k 2
解得 1
3 ①
3
x1
DM
,M在 D、N 中 ，∴ λ＜ 1 ②
x2
DN
又∵当 k 不存在 ， 然 λ= DM
1
DN
3
合得： 1/3 ≤λ＜ 1.
( 此 直 l 与 y 重合 )
3 ) 在 上， ( 3)
2
( 3 )2
例 3、解：（1）由于点 ( 3,
2
1 得 2 a =4,
2
a2
b2
C 的方程
x2
y2
，焦点坐 分 ( 1,0),(1,0)
?4 分
4
1
3
（2） KF1 的中点 B（x, y） 点 K (2 x 1,2 y)
? 5 分
9
把 K 的坐 代入 x2
y2
1
中得 (2 x 1)2
(2 y) 2
1 7 分
4
3
4
3
2
段 KF1 的中点 B 的 迹方程 ( x 1 )2 y 1 ? 8 分
2 3
4
（ 3） 原点的直 L 与 相交的两点 M ，N 关于坐 原点 称
M (x0 , y0 ) N ( x0 , y0 ), p( x, y) ,
M , N , P 在 上， 足 方程，得
x0
2
y0
2
x2
y2
a
2
b
2
1 ， 2
b
21
a
kPM K PN = y y0 y y0
2
2
= b
2
y2
y02
2
x x0 x x0
x
x0
a
故： kPM K PN 的 与点 P 的位置无关，同 与直
L 无关 .
例 4、解：（Ⅰ） 的 准方程
x2
y2
1 ．
4
3
（Ⅱ） A(x1，y1 ) ， B( x2，y2 ) ，
y
kx
，
m
立 x2
y2
得 (3 4k2 ) x2
8mkx 4(m2 3)
0 ，
4
3
1.
64m2k 2
16(3
4k2 )(m2
3)
0，即 3
4k 2
m2
0，则
x1
x2
8mk
，
3
4k 2
x1
x2
4(m2
23) .
3
4k
又 y1 y2
(kx1
m )(kx2
m)
k 2 x1x2
mk ( x1
x2 )
m2
3(m2
4k2 )
，
3
4k 2
因 以 AB 直径的 的右焦点
D (2，0) ，
kAD kBD
1 ， 即
y1
y2
1 ，
y1 y2
x1 x2
2( x1
x2 ) 4 0 ，
x1
2
x2
2
3(m2
4k 2 )
4( m2
3)
16mk
4
0
，
9m2
16mk
4k2
0 ．
3
4k 2
3
4k 2
3
4k2
解得： m
2k ， m2
2k
，且均 足
3
4k2
m2
0
，
1
7
10
1、当
m1
2k
时， l 的方程为
y
k( x
2)
，直线过定点
， ，与已知矛盾；
(2 0)
2、当 m2
2k
时， l 的方程为 y
k
x
2
，直线过定点
2
，
．
7
7
7
0
所以，直线 l 过定点，定点坐标为
2 ， ．
7
例 5、解（ 1） y2
x2
1
F1 (0,
2), F2 (0,
2) ，设 P( x0 , y0 )( x0
0, y0
0)
4
2
。
则 PF1
( x0 , 2 y0 ), PF2
( x0 ,
2 y0 ),
PF1 PF2
x02
(2 y02 ) 1
点 P(x0 , y0 ) 在曲线上，则 x02
y02
1.
x02
4
y02
2
4
2
从而 4
2
y02
(2
y02 ) 1，得 y0
2 ，则点 P 的坐标为 (1,
2)
（ 2）由（ 1）知 PF1 // x 轴，直线 PA、PB 斜率互为相反数， 设 PB 斜率为 k( k
0) ，
则 PB 的直线方程为： y
2
k( x
1)
y
2
k( x
1)
由 x2
y2
1
得
2
4
(2
k 2 ) x2
2k(
2
k) x
(
2
k) 2
4
0
设 (
,
yB
), 则
xB
2k (k
2)
1
k 2
2
2k
2
同理可得
xA
k 2
2
2k
2 ，
B xB
2
k2
2
k2
,
2
k 2
则
xA
xB
4 2k
y
A
y
B
k( x 1 )
k( x 1 ) 8k
2
k 2
A
B
2
k 2
所以： AB 的斜率 kAB
yA
yB
2
为定值
xA
xB
例 6、 解：（1）由 2 3
1 | OF |
| FP
| sin , 得 | OF |
| FP |
4
3 ,由 cos
OF
FP
t sin
，
2
sin
| OF |
| FP |
4
3
得 tan
4
3
. 4
t 4 3
1
tan
3
[0,
]
∴夹角
的取值范围是
t
（
,
3
）. （2） 设 P( x0 , y0 ), 则 FP (x0
c, y0 ), OF
(c,0).
4
11
OF
FP
( x0
c, y0 )
(c,0)
(x0
c)c
t
( 3
1)c2
x0
3c
S OFP
1 |OF | | y0 | 2 3
y0
4
3
2
c
|OP |
x02
y02
(
3c)2
( 4
3) 2
2
3c
4
3
2
6
c
c
∴当且 当
3c
4
3 ,
即 c
2
,|
OP
|
取最小值
2
6 ,
此时
,
OP
(2
3, 2
3)
c
时
OM
3 (2
3,2
3)
(0,1)
(2,3) 或 OM
3 (2
3,
2
3)
(0,1)
(2,
1)
3
3
2
a
(2
2) 2
(3
0)2
(2
2) 2
(3
0) 2
8
a
4, b2
12
或 2a
(2
2) 2
(
1
0) 2
(2
2) 2
(
1
0) 2
1
17
a
1 17
, b 21
17
2
2
故所求 方程 x2
y 2
1
. 或
x2
y 2
1
? 14 分
16
12
9
17
1
17
2
2
12
