2020年厦门质检数学试题及答案

2018年厦门市初中总复习教学质量检测数学试题

一、选择题(共40分)

1．计算21+-，结果正确的是

A ．1

B ．1-

C ．2-

D ．3- 2．抛物线y=ax 2+2x +c 的对称轴是

A ．a x 1-

= B ．a x 2-= C ．a x 1= D ．a

x 2= 3．如图1，已知四边形ABCD ，延长BC 到点E ，则∠DCE 的同位角是

A ．∠A

B ．∠B

C ．∠BC

D D ．∠D

4．某初中校学生会为了解2017年本校学生人均课外阅读量，计划开展抽样调查．下列抽样调查方案中最合适的是

A ．到学校图书馆调查学生借阅量

B ．对全校学生暑假课外阅读量进行调查

C ．对初三年学生的课外阅读量进行调查

D ．在三个年级的学生中分别随机抽取一半学生进行课外阅读量的调查 5．若967×85=P ，则967×84的值可表示为

A ．1-p

B ．85-p

C ．967-p

D ．

p 84

85

6．如图2在△ACB 中，∠C=90°，∠A=37°，AC=4，则BC 的长约为 (sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)

A ．2.4

B ．3.0

C ．3.2

D ．5.0

7．在同一条直线上依次有A 、B 、C 、D 四个点，若AB BC CD =-，则下列结论正确的是 A ．B 是线段AC 的中 B ．B 是线段AD 的中点 C ．C 是线段BD 的中点 D ．C 是线段AD 的中点

8．把一些书分给几名同学，若________；若每人分11本，则不够．依题意，设有x 名同学可列不等式 9x +7<11 x ，则横线的信息可以是

A ．每人分7本，则可多分9个人

B ．每人分7本，则剩余9本

C ．每人分9本，则剩余7本

D ．其中一个人分7本，则其他同学每人可分9本 9．已知a ，b ，c 都是实数，则关于三个不等式：a >b ，a >b +c ，c <0的逻辑关系的表述．下列正确的是 A ．因为a >b +c ，所以a >b ，c >0 B ．因为a >b +c ，c <0，所以a >b C ．因为a >b ，a >b +c ，所以c<0 D ．因为a >b ，c<0 ，所以a >b +c

10．我国古代数学家刘徽发展了“重差术”，用于测量不可到达的物体的高度，比如，通过下列步骤可测量山的高度PQ(如图3)：

(1)测量者在水平线上的A 处竖立一根竹竿，沿射线QA 方向走到M 处，测得山顶P 、竹竿顶端B 及M 在一条直线上；

(2)将该竹竿竖立在射线QA 上的C 处，沿原方向继续走到N 处，测得山顶P 、竹竿顶端D 及N 在一条直线上；

(3)设竹竿与AM 、CN 的长分别为l 、a 1、a 2，可得公式：

C A

B

E

D

图

1

B

图2

PQ ＝d ·l

a 2－a 1

＋l .

则上述公式中，d 表示的是

A ．QA 的长

B ．A

C 的长 C ．MN 的长

D ．QC 的长

二、填空题(共24分)

11．分解因式：=-m m 22

________．

12．投掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数为奇数的概率是________． 13．如图4，已知AB 是⊙O 的直径，C ，D 是圆上两点，∠CDB=45°，

AC=1，则AB 的长为________．

14．A ，B 两种机器人都被用来搬运化工原料，A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运30kg ．A 型机器人

搬运900kg 所用时间与B 型机器人搬运600kg 所用时间相等．设B 型机器人每小时搬运xkg 化工原料，依题意，可列方程________________．

15．已知2

2

200120001+=+a ，计算：12+a =__________．

16．在△ABC 中，AB=AC ．将△ABC 沿∠B 的平分线折叠，使点A 落在BC 边上的点D 处，设折痕交AC

边于点E ，继续沿直线DE 折叠，若折叠后，BE 与线段DC 相交，且交点不与点C 重合，则∠BAC 的度数应满足的条件是__________．

三、解答题(共86分)

17．(8分)解方程：x x =+-1)1(2

18．(8分)如图5，直线EF 分别与AB 、CD 交于点A 、C ，若AB ∥CD ，

CB 平分∠ACD ，∠EAB=72°，求∠ABC 的度数．

19．(8分)如图6，在平面直角坐标系中，直线l 经过第一、二、四象限，点A （0，m ）在l 上．

(1)在图中标出点A ；

(2)若m =2，且过点（－3，4），求直线l 的表达式．

20．(8分)如图7，在□ABCD 中，E 是BC 延长线上的一点，

A

B

C 图5

D

E F

B

且DE=AB ，连接AE 、BD ，证明AE=BD ．

21．(8分)某市的居民交通消费可分为交通工具、交通工具使用燃料、交通工具维修、市内公共交通、

城市间交通等五项．该市统计局根据当年各项的权重及各项价格的涨幅计算当年居民交通消费价格的平均涨幅．2017年该市的有关数据如下表所示：

(1)求p 的值；

(2)若2017年该市的居民交通消费相对上一年价格的平均涨幅为1.25%，求m 的值．

22．(10分)如图8，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ．

(1)若AB=2，AO=5，求BC 的长；

(2)若∠DBC=30°，CE=CD ，∠DCE<90°，OE=2

2

BD ，

求∠DCE 的度数．

23．(11分)已知点A ，B 在反比例函数 x

y 6

(x >0)的图象上，且横坐标分别为m 、n ，过点A 向y 轴 作垂线段，过点B 向x 轴作垂线段，两条垂线段交于点C ．过点A 、B 分别作AD ⊥x 轴于D ，BE ⊥y 轴于E ．

A D

E 图7 图8

(1)若m =6，n =1，求点C 的坐标；

(2)若3)2(=-n m ，当点C 在直线DE 上时，求n 的值．

24．(11分)已知AB=8，直线l 与AB 平行，且距离为4．P 是l 上的动点，过点P 作PC ⊥AB 交线段AB 于点C ，点C 不与A 、B 重合．过A 、C 、P 三点的圆与直线PB 交于点D ． (1)如图9，当D 为PB 的中点时，求AP 的长；

(2)如图10，圆的一条直径垂直AB 于点E ，且与AD 交于点M ．当ME 的长度最大时，判断直线PB 是否与该圆相切?并说明理由．

图9

25．(14分)已知二次函数12-++=t bx ax y ，0

①若二次函数图象经过点（1，－4），（－1，0），求a ，b 的值；

②若12=-b a ，对于任意不为零的实数a ，是否存在一条直线y=kx +p (k ≠0)，始终与二次函数图象交于不同的两点?若存在，求出该直线的表达式；若不存在，请说明理由； (2)若点A （－1，t ），B(m ，n t -)(m >0，n >0)是函数图象上的两点，且S △AOB =t n 22

1

-, 当－1≤x ≤m 时，点A 是该函数图象的最高点，求a 的取值范围．

参考答案

说明：解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照评分量表的要求相应

评分.

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

11. m （m －2）. 12. 12. 13. 2. 14. 900x ＋30

＝600

x .

15. 4001. 16.100°＜∠BAC ＜180°. 三、解答题（本大题有9小题，共86分）

17.（本题满分8分）

解：2x －2＋1＝x .…………………………4分 2x －x ＝2－1.…………………………6分 x ＝1.…………………………8分

18.（本题满分8分）

解法一:如图1∵ AB ∥CD ，

∴ ∠ACD ＝∠EAB ＝72°.…………………………3分

E A

B

∵ CB 平分∠ACD ，

∴ ∠BCD ＝1

2∠ACD ＝36°. …………………………5分 ∵ AB ∥CD ，

∴ ∠ABC ＝∠BCD ＝36°. …………………………8分 解法二:如图1∵ AB ∥CD ，

∴ ∠ABC ＝∠BCD . …………………………3分 ∵ CB 平分∠ACD ，

∴ ∠ACB ＝∠BCD . …………………………5分 ∴ ∠ABC ＝∠ACB .

∵ ∠ABC ＋∠ACB ＝∠EAB ，

∴ ∠ABC ＝1

2∠EAB ＝36°. …………………………8分

19.（本题满分8分）

（1）（本小题满分3分）如图2；…………………………3分

（2）（本小题满分5分）

解：设直线l 的表达式为y ＝kx ＋b （k ≠0），…………………………4分 由m ＝2得点A （0，2）， 把（0，2），（－3，4）分别代入表达式，得 ???b ＝2，－3k ＋b ＝4.

可得?

????b ＝2，

k ＝－23 ．…………………………7分

所以直线l 的表达式为y ＝－2

3x ＋2． …………………………8分

20.（本题满分8分）

证明：如图3∵ 四边形ABCD 是平行四边形，

∴ AB ∥DC ，AB ＝DC ．………………………… 2分 ∵ DE ＝AB ， ∴ DE ＝DC ．

∴ ∠DCE ＝∠DEC ．…………………………4分 ∵ AB ∥DC ，

∴ ∠ABC ＝∠DCE ． …………………………5分

∴ ∠ABC ＝∠DEC ． …………………………6分 又∵ AB ＝DE ，BE ＝EB ，

∴ △ABE ≌△DEB ． …………………………7分 ∴ AE ＝BD ． …………………………8分

21.（本题满分8分）

（1）（本小题满分3分）

解：p ＝1－（22%＋13%＋5%＋26%）…………………………2分

＝34%． …………………………3分 （2）（本小题满分5分）

l 图2

.A

图3

A B

C

D

解：由题意得

22%×

1.5%＋13%×m %＋5%×2%＋34%×0.5%＋26%×1%

22%＋13%＋5%＋34%＋26%

＝1.25%． …………………7分

解得m ＝3． …………………………8分

22.（本题满分10分）

（1）（本小题满分4分）

解：如图4∵四边形ABCD 是矩形，

∴ ∠ABC ＝90°，AC ＝2AO ＝25．………………………2分 ∵ 在Rt △ACB 中，

∴ BC ＝AC 2－AB 2 ………………………3分

＝4．………………………4分 （2）（本小题满分6分）

解：如图4∵ 四边形ABCD 是矩形，

∴ ∠DCB ＝90°，BD ＝2OD ，AC ＝2OC ，AC ＝BD ．

∴ OD ＝OC ＝1

2BD ． ∵ ∠DBC ＝30°，

∴ 在Rt △BCD 中，∠BDC ＝90°－30°＝60°，

CD ＝1

2BD ． ∵ CE ＝CD ，

∴ CE ＝1

2BD ．………………………6分

∵ OE ＝2

2BD ，

∴ 在△OCE 中，OE 2＝1

2BD 2．

又∵ OC 2＋CE 2＝14BD 2＋14BD 2＝1

2BD 2， ∴ OC 2＋CE 2＝OE 2．

∴ ∠OCE ＝90°．…………………8分 ∵ OD ＝OC ，

∴ ∠OCD ＝∠ODC ＝60°．…………………9分

∴ ∠DCE ＝∠OCE －∠OCD ＝30°．…………………10分

23.（本题满分11分）

（1）（本小题满分4分）

解：因为当m ＝6时，y ＝6

6＝1,…………………2分 又因为n ＝1， 所以C （1，1）．…………………4分 （2）（本小题满分7分）

解：如图5，因为点A ，B 的横坐标分别为m ，n ，

图4

O

A

B

C

D

E

所以A （m ，6m ），B （n ，6

n ）（m ＞0，n ＞0），

所以D （m ，0），E （0，6n ），C （n ，6m ）．………………………6分

设直线DE 的表达式为y ＝kx ＋b ，（k ≠0），

把D （m ，0），E （0，6n ）分别代入表达式，可得y ＝－6mn x ＋6

n ．………………………7分 因为点C 在直线DE 上，

所以把C （n ，6m ）代入y ＝－6mn x ＋6

n ，化简得m ＝2n ． 把m ＝2n 代入m （n －2）＝3，得2n （n －2）＝3．，………………………9分

解得n ＝2±10

2．………………………10分 因为n ＞0，

所以n ＝2＋10

2．………………………11分

24.（本题满分11分）

（1）（本小题满分5分）

解法一：如图6，∵ PC ⊥AB ，

∴ ∠ACP ＝90°．

∴ AP 是直径．…………………2分

∴ ∠ADP ＝90°． …………………3分

即AD ⊥PB ．

又∵ D 为PB 的中点，

∴ AP ＝AB ＝8．…………………5分

解法二：如图7，设圆心为O ，PC 与AD 交于点N ，连接OC ，OD ．

∵ ︵CD ＝︵

CD ，

∴ ∠CAD ＝12∠COD ，∠CPD ＝1

2∠COD ． ∴ ∠CAD ＝∠CPD ．…………………1分

∵ ∠ANC ＝∠PND ， 又∵ 在△ANC 和△PND 中，

∠NCA ＝180°－∠CAN －∠ANC ，

∠NDP ＝180°－∠CPN －∠PND ，

∴ ∠NCA ＝∠NDP ． …………………2分 ∵ PC ⊥AB ，

∴ ∠NCA ＝90°．

∴ ∠NDP ＝90°． …………………3分 即AD ⊥PB ．

又∵ D 为PB 的中点，

∴ AP ＝AB ＝8．…………………5分

（2）（本小题满分6分）

解法一：当ME 的长度最大时，直线PB 与该圆相切．

图6

A l C

B D

P O · 图7 A l C B

D

P N

理由如下：

如图8，设圆心为O ，连接OC ，OD ．

∵ ︵CD ＝︵CD ，

∴ ∠CAD ＝12∠COD ，∠CPD ＝1

2∠COD ． ∴ ∠CAD ＝∠CPD ． 又∵ PC ⊥AB ，OE ⊥AB ， ∴ ∠PCB ＝∠MEA ＝90°．

∴ △MEA ∽△BCP ． …………………7分

∴ ME BC ＝AE PC ． ∵ OE ⊥AB ， 又∵ OA ＝OC ， ∴ AE ＝EC ．

设AE ＝x ，则BC ＝8－2x ． 由ME BC ＝AE PC ，可得ME ＝－1

2（x －2）2＋2．…………………8分 ∵ x ＞0，8－2x ＞0， ∴ 0＜x ＜4．

又∵ －1

2＜0，

∴ 当x ＝2时，ME 的长度最大为2．…………………9分 连接AP ，

∵ ∠PCA ＝90°， ∴ AP 为直径．

∵ AO ＝OP ，AE ＝EC ， ∴ OE 为△ACP 的中位线．

∴ OE ＝1

2PC ．

∵ l ∥AB ，PC ⊥AB ， ∴ PC ＝4． ∴ OE ＝2．

∴ 当ME ＝2时，点M 与圆心O 重合．…………………10分 即AD 为直径．

也即点D 与点P 重合．

也即此时圆与直线PB 有唯一交点．

所以此时直线PB 与该圆相切．…………………11分

解法二：当ME 的长度最大时，直线PB 与该圆相切． 理由如下：

如图8，设圆心为O ，连接OC ，OD ． ∵ OE ⊥AB ， 又∵ OA ＝OC ， ∴ AE ＝EC ．

设AE ＝x ，则CB ＝8－2x ．

∵ ︵CD ＝︵CD ，

图8

l A

M

E

C B

D P

O · 图8

l A

M

E

C B

D P

O ·

∴ ∠CAD ＝12∠COD ，∠CPD ＝1

2∠COD ．

∴ ∠CAD ＝∠CPD ．

又∵ PC ⊥AB ，OE ⊥AB ， ∴ ∠PCB ＝∠MEA ＝90°．

∴ △MEA ∽△BCP ． …………………7分

∴ ME BC ＝AE PC ．

可得ME ＝－1

2（x －2）2＋2．…………………8分 ∵ x ＞0，8－2x ＞0， ∴ 0＜x ＜4．

又∵ －1

2＜0，

∴ 当x ＝2时，ME 的长度最大为2．…………………9分 连接AP ，

∵ AE ＝x ＝2，

∴ AC ＝BC ＝PC ＝4． ∵ PC ⊥AB ，

∴ ∠PCA ＝90°，

∴ 在Rt △ACP 中，∠PAC ＝∠APC ＝45°． 同理可得∠CPB ＝45°． ∴ ∠APB ＝90°．

即AP ⊥PB ． …………………10分 又∵ ∠PCA ＝90°， ∴ AP 为直径．

∴ 直线PB 与该圆相切．…………………11分 25.（本题满分14分） （1）（本小题满分7分） ①（本小题满分3分）

解：当t ＝－2时，二次函数为y ＝ax 2＋bx －3． 把（1，－4），（－1，0）分别代入y ＝ax 2＋bx －3，得 ???a ＋b －3＝－4，a －b －3＝0．

…………………………1分 解得???a ＝1，b ＝－2．

所以a ＝1，b ＝－2．…………………………3分 ②（本小题满分4分）

解法一：因为2a －b ＝1，

所以二次函数为y ＝ax 2＋（2a －1）x －3．

所以，当x ＝－2时，y ＝－1；当x ＝0时，y ＝－3． 所以二次函数图象一定经过（－2，－1），（0，－3）．…………………………6分 设经过这两点的直线的表达式为y ＝kx ＋p （k ≠0）， 把（－2，－1），（0，－3）分别代入，可求得该直线表达式为y ＝－x －3．…………7分 即直线y ＝－x －3始终与二次函数图象交于（－2，－1），（0，－3）两点．

解法二：当直线与二次函数图象相交时，有kx ＋p ＝ax 2＋（2a －1）x －3． 整理可得ax 2＋（2a －k －1）x －3－p ＝0． 可得△＝（2a －k －1）2＋4a （3＋p ）．…………4分

若直线与二次函数图象始终有两个不同的交点，则△＞0． 化简可得4a 2－4a （k －p －2）＋（1＋k ）2＞0． 因为无论a 取任意不为零的实数，总有4a 2＞0，（1＋k ）2≥0 所以当k －p －2＝0时，总有△＞0．………………………6分 可取p ＝1，k ＝3．

对于任意不为零的实数a ，存在直线y ＝3x ＋1始终与函数图象交于不同的两点．…………7分 （2）（本小题满分7分）

解：把A （－1，t ）代入y ＝ax 2＋bx ＋t －1，可得b ＝a －1．………………………8分 因为A （－1，t ），B （m ，t －n ）（m ＞0，n ＞0），

又因为S △AOB ＝1

2n －2t ，

所以12[（－t ）＋（n －t ）]（m ＋1）－12×1×（－t ）－12×（n －t ）m ＝1

2n －2t ． 解得m ＝3．………………………10分 所以A （－1，t ），B （3，t －n ）． 因为n ＞0，所以t ＞t －n ． 当a ＞0时，【二次函数图象的顶点为最低点，当－1≤x ≤3时，若点A 为该函数图象最高点，则y A ≥y B 】，分别把A （－1，t ），B （3，t －n ）代入y ＝ax 2＋bx ＋t －1，得

t ＝a －b ＋t －1，t －n ＝9a ＋3b ＋t －1． 因为t ＞t －n ，

所以a －b ＋t －1＞9a ＋3b ＋t －1． 可得2a ＋b ＜0． 即2a ＋（a －1）＜0．

解得a ＜1

3．

所以0＜a ＜1

3． 当a ＜0时，

由t ＞t －n ，可知：

【若A ，B 在对称轴的异侧，当－1≤x ≤3时，图象的最高点是抛物线的顶点而不是点A ；

若A ，B 在对称轴的左侧，因为当x ≤－b

2a 时，y 随x 的增大而增大，所以当－1≤x ≤3时，点A 为该函数图象最低点；

若A ，B 在对称轴的右侧，因为当x ≥－b

2a 时，y 随x 的增大而减小，所以当－1≤x ≤3时，若点A 为该函数图象最高点，则】

－b

2a ≤－1．

即－a －1

2a ≤－1． 解得a ≥－1．

所以－1≤a ＜0．………………………13分

综上，0＜a ＜1

3或－1≤a ＜0．………………………14分