初中线段相等、比例关系证明方法总结计划x
时间：2020-11-14 16:25:21 来源：勤学考试网 本文已影响 人 
平面几何中线段相等的证明几种方法
平面几何中线段相等的证明看似简单， 但方法不当也会带来麻烦， 特别是在有限的两个小时考试中。恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。
一、利用全等三角形的性质证明线段相等
这种方法很普遍， 如果所证两条线段分别在不同的三角形中， 它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理 ( 添加辅助线 ) ，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。
［例 1］如图，C是线段 AB上一点， △ACD和△ BCE是等边三角形。
求证：AE=BD。
注 : 如果有两个形状相同的图形（一般是等腰三角形、等边三角形或正方形），那么可能要用到旋转全等或相似
［例 2］如图，已知△ ABC中， AB=AC，点 E 在 AB上，点 F 在 AC的延长线上，且BE=CF，EF 与 BC交于 D，求证： ED=DF。
注：添加辅助线，构造全等三角形
二、利用等腰三角形的判定（等角对等边）证明线段相等
如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法。
［例 1］ 如图，已知在△ ABC中， AD是 BC边上的中线， E 是 AD上的一点，且BE=AC，延长 BE交 AC于 F。求证： AF=EF。
注：辅助线是中线倍长法
［例 2］如图，已知△ ABC中， AB=AC，DF⊥BC于 F，DF与 AC交于 E，与 BA的延长线交于 D，求证： AD=AE。
三、利用平行四边形的性质证明线段相等
如果所证两线段在一直线上或看似平行，用上面的方法不易，可以考虑此法。
［例 1］如图，△ ABC中，∠ C=90°，∠ BAC=30°，分别以 AB、 AC为边在△ ABC 的外侧作正△ ABE和正△ ACD， DE与 AB交于 F，
求证： EF=FD。（辅助线是过 E 作 EG⊥AB，连接 DG）
注：构造平行四边形
［例 2］如图，AD是△ ABC的中线，过 DC上任意一点 F 作 EG
求证：四边形 DEFG为
平行四边形 .
五、利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证明线段相等。
如果所证两线段所在的图形能构成直角三角形， 并且可能构成斜边及斜边上的中线，用上面方法一时证不出来，可以考虑此法。
［例］ 1 已知：在△ ABC中， M是 BC的中点， CE⊥ AB， BF⊥AC。
求证： EM＝FM
A
E
F
B M C
［例］ 2 如图，正方形 ABCD中， E、 F 分别为 AB、 BC的中点， EC和 DF相交于 G，连接 AG，求证： AG=AD。
六、利用 等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边
如果所证线段在一条直线上相邻，且在一个等腰三角形中，不妨用此法
［例］如图，△ ABC中，AD是中线， AE是角平分线， CF⊥AE于 F，AB=5，AC=3，
则 DF的长为 ______．
七、线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等
如果两条线段在一个三角形中证明相等，且第三边有垂直或中点，用此法
［例］ 已知如图，在△ ABC中， BC=8， AB 的中垂线交 BC于 D， AC的中垂线交 BC与 E，则
ADE的周长等于 _________ ．
注： 1、补充 2016 年安徽中考解答题第 23 题第 2 小问是中垂线的性质
、三角形三条中垂线交于一点
八、角平分线上任一点到角的两边距离相等
适用于有角平分线和垂直的图形
［例］ 如图 , ∠AOP=∠BOP=15° ,PC∥ OA交 OB于 C,PD⊥OA垂足
为 D,若 PC=4,则 PD= .
注： 1、补充 2013 年安徽省中考解答题第 23 题第 3 小问
、三角形三条角平分线交于一点九、圆的性质和定理
同圆（或等圆）中半径相等，等弧所对的弦或与弦心距相等的两弦或等圆心角、
圆周角所对的弦相等， 圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等， 圆外一点引圆的两条切线的切线长相等
［例］ 1 如图，⊙ O中，弦 AB与 CD相交于点 E，且 AB=CD. 求证： AE=CE.
注：辅助线 AC不一定经过 O
A
E O
C D B
［例］ 2 如图所示， AB＝AC，AB为⊙ O的直径， AC、BC分别交⊙ O于 E、D，连结
ED、BE．试判断 DE与 BD是否相等，并说明理由；
十、等积法
面积相等，等底或等高可以转化
［例］ 如图 , 在平行四边形 ABCD中,E 是 CD上一点 ,F 是 AD上一点 , 且 CF=AE,AE
交 CF于点 O.求证： OB平分∠ AOC.
十一、长度相等：测量法
适用于选择题或填空题，解答题必须求出其具体长度或都是某条线段的倍数
十二、等量转化： 等于同一线段的两条线段相等以上都可以用
证明线段的比例式或等积式的方法
证明线段的比例式或等积式成立， 往往要添加辅助线， 以构造一对或多对相似三角形。
一、 添加平行线
（ 1） 添加三角形内的平行线段
添加的方法是过端点或内分点做平行线， 利用“平行于三角形的一边，并且和其他两边或其延长线相交的直线， 所截得的三角形的三边与原三角形的三边对
应成比例”的性质证明线段成比例。在几何命题中，如果出现一组（或两组）相比线段重叠在一条直线上时，可考虑添加三角形内的平行线。
［例］ 1、如图，已知 AD是△ ABC的外角平分线， AD与 BC的延长线交于 D。
求证： BD:CD=AB:AC
F
A
A
D
F
B
C
DE
C
B
［例］ 2、如图，点 D 在△ ABC的 AC边上，且 AD=BE。求证 : EF
AC .
FD
BC
［例］ 3、如图，已知 BD:DC=5:3,E 为 AD的中点，求 BE:EF的值 .
A
F
E
C
B D
(2) 添加三角形外的平行线
添加的方法是过端点作平行线
［例］ 1、如图，已知在△ ABC中， AD平分
BAC ，求证： AB
BD .
AC
DC
A
A
E
F
B D C
B D C
［例］ 3、已知△ ABC中， AD为中线， E、F 分别在 AB、AC上，且 AE=AF,EF交 AD
于 G，求证： GE AC . （过 B、C分别作 EF的平行线）
GF AB
二、利用三角形相似的性质
［例］ 1、如图，已知△ ABC中， ACB 900 ，D
F
是 AB的中点，过 D 作 AB的垂线交 AC于 E，交 BC 的延长线于 F，求证： DC 2=DE·DF
C
E
A D
B
A
F E
G
C
B D
H
［例］ 2、如图，在△ ABC中， AD、BE分别是 BC、AC边上的高，过 D作 AB边上的垂线交 AB于 F，交 BE于 G，交 AC的延长线于 H.求证： DF 2=GF·HF
三、利用面积比求比例关系
（ 1）相似三角形性质面积比等于相似比的平方
［例］如图 1，点 C 将线段 AB 分成两部分，如果 AC
BC ，那么称点 C 为线段
AB
AC
AB 的黄金分割点。某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想
到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为 S
的图形分成两部分，这两部分的面积分别为 S1
、 S2 ，如果 S1
S2
，那么称
S
S1
直线为该图形的黄金分割线 .
（ 1）如图 2，在△ ABC 中， A 36°， AB
AC ， C 的平分线交 AB 于
点 D ，请问点 D 是否是 AB 边上的黄金分割点，并证明你的结论；
2）若△ ABC 在（ 1）的条件下，如图（ 3），请问直线 CD 是不是△ ABC 的黄金分割线，并证明你的结论；
（ 2） 非相似三角形用等底或等高转化
［例］ 如图△ ABC中 D为 BC上任一点， E 为 AD或延长线上一点。
（3）S△ABE
BD
求 证 :
=
S△ ACE
CD
S
(2)
S
ABC AD
EBC ED
A
E
C
B D
四、利用长度关系求比例
