2018年山东省泰安市铁路初级中学高三数学理期末试题x
时间：2020-11-23 16:16:26 来源：勤学考试网 本文已影响 人 
2018年山东省泰安市铁路初级中学高三数学理期末试题
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 三棱柱的侧棱长和底面边长均为，且侧棱底面，其正视图是边长为的正方形，则此三棱柱侧视图的面积为（ ）
A．? B．? C．? D．?
参考答案：
B
略
2. 设集合M={x∈R|x2=1}，N={x∈R|x2﹣2x﹣3=0}，则M∪N=(? )
A．{﹣1} B．{﹣1，1，3} C．{1，3} D．{﹣1，3}
参考答案：
B
考点：并集及其运算．
专题：集合．
分析：求出集合的等价条件，利用集合的基本运算进行求解．
解答： 解：M={x∈R|x2=1}={1，﹣1}，
N={x∈R|x2﹣2x﹣3=0}={3，﹣1}，
则M∪N={﹣1，1，3}，
故选：B
点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
3. 要得到函数的图象,可把函数的图象（ ▲ ）。
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
参考答案：
D
略
4. 若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积是（ ）
A．2? B．4? C．6? D．12
参考答案：
A
5. 某校通过随机询问100名性别不同的学生是否能做到“光盘”行动，得到所示联表：
?
做不到“光盘”
能做到“光盘”
男
45
10
女
30
15
?
P（K2≥k）
0.10
0.05
0.01
k
2.706
3.841
6.635
附：K2=，则下列结论正确的是（ ）
A．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别无关”
B．有99%以上的把握认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别有关”
C．在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别有关”
D．有90%以上的把握认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别无关”
参考答案：
C
【考点】独立性检验．
【专题】概率与统计．
【分析】通过图表读取数据，代入观测值公式计算，然后参照临界值表即可得到正确结论
【解答】解：由2×2列联表得到a=45，b=10，c=30，d=15．
则a+b=55，c+d=45，a+c=75，b+d=25，ad=675，bc=300，n=100．
代入K2=，
得k2的观测值k=．
因为2.706＜3.030＜3.841．
所以有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”．
即在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别有关”
故选C．
【点评】本题是一个独立性检验，我们可以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设，若值较大就拒绝假设，即拒绝两个事件无关，此题是基础题．
6. 对于非零向量，定义运算“”：，其中为的夹角，有两两不共线的三个向量，下列结论正确的是( )
A.若，则 ? B.
C. D.
参考答案：
D
略
7. 已知球O与棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的各面都相切，则平面截球O所得的截面圆与球心O所构成的圆锥的体积为 （? ）
A. B. C. D.
参考答案：
C
【分析】
内切球的球心为正方体的体对角线交点，根据三棱锥为正三棱锥及各棱长，可求得点O到平面的距离；根据内切圆半径和圆心到平面的距离可求得切面的圆心半径，进而求得圆锥的体积。
【详解】因为球与棱长为的正方体的各面都相切
所以球O为正方体的内切球，则球O的半径
球心O到A的距离为
底面为等边三角形，所以球心O到平面的距离为
所以平面截球所得的截面圆的半径为
所以圆锥的体积为
所以选C
【点睛】本题考查了正方体的内切球性质，平面截球所得截面的性质，属于中档题。
8. 已知函数（，），其图像与直线相邻两个交点的距离为，若对于任意的恒成立，则的取值范围是（? ）
A． ? B． ? C． ? D．?
参考答案：
C
9. 过抛物线：焦点的直线交抛物线于、两点，，为轴上的动点，
则的最小值为
． ．? ． ．
参考答案：
设的中点为，由抛物线的性质知到轴的距离为，故，由余弦定理得：
，
（当时等号成立）．
10. 已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）﹣1（ω＞0，|φ|＜π）的一个零点是，是y=f（x）的图象的一条对称轴，则ω取最小值时，f（x）的单调增区间是（ ）
A． B．
C． D．
参考答案：
B
【考点】正弦函数的对称性．
【分析】根据函数f（x）的一个零点是x=，得出f（）=0，
再根据直线x=﹣是函数f（x）图象的一条对称轴，得出﹣ω+φ=+kπ，k∈Z；
由此求出ω的最小值与对应φ的值，写出f（x），从而求出它的单调增区间．
【解答】解：函数f（x）=2sin（ωx+φ）﹣1的一个零点是x=，
∴f（）=2sin（ω+φ）﹣1=0，
∴sin（ω+φ）=，
∴ω+φ=+2kπ或ω+φ=+2kπ，k∈Z；
又直线x=﹣是函数f（x）图象的一条对称轴，
∴﹣ω+φ=+kπ，k∈Z；
又ω＞0，|φ|＜π，
∴ω的最小值是，φ=，
∴f（x）=2sin（x+）﹣1；
令﹣+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z，
∴﹣+3kπ≤x≤﹣+3kπ，k∈Z；
∴f（x）的单调增区间是[﹣+3kπ，﹣+3kπ]，k∈Z．
故选：B．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. (必修1P54测试6改编)已知函数f(x)＝mx2＋x＋m＋2在(－∞，2)上是增函数，则实数m的取值范围是________．
参考答案：
12. 设集合U＝N，集合M＝{x|x2－3x≥0}，则?UM＝ ．
参考答案：
13. 若变量x，y满足，且恒成立，则a的最大值为 .
参考答案：
－4
所以过时，的最小值为-4，所以的最大值为-4.
?
14. 函数f（x）=为奇函数，则实数a的值为 ．
参考答案：
1或﹣1
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】函数f（x）=为奇函数，可得=﹣，化简即可得出结论．
【解答】解：∵函数f（x）=为奇函数，
∴=﹣，
∴=﹣，
∴a=1或﹣1．
故答案为1或﹣1．
【点评】本题考查了奇函数的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
15. 行列式中元素7的代数余子式是 ．
参考答案：
16. 公比为4的等比数列中,若是数列的前项积,则有,,也成等比数列,且公比为；类比上述结论，相应的在公差为3的等差数列中，若是的前项和，则有一相应的等差数列，该等差数列的公差为____________.
参考答案：
300
略
17. 已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，若，，则使不等式成立的n的最小值是________.
参考答案：
11
【分析】
由可得数列{an}是等比数列，利用等比数列求和公式计算，解不等式即可.
【详解】由可得，则（）（）=0，
又数列的各项均为正数，∴，
即，可得数列{an}是首项为公比为q＝2的等比数列，
∴,则n>10，又，∴n的最小值是11，
故答案为11.
【点睛】本题考查了数列递推关系的应用，考查了等比数列的判断及求和公式，考查了指数不等式的解法，属于中档题．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知向量，且
（1）当时，求
（2）设函数，求函数的最大值及相应的x的值.
参考答案：
（1） ，）
由 得
＝
=
当时，=
（2）-=
=
由 得,当 ，即时
19. 设O是坐标原点, F是抛物线的焦点, C是该抛物线上的任意一点,当与y轴正方向的夹角为60°时, .
(1)求抛物线的方程；
(2)已知,设B是该抛物线上的任意一点, M, N是x轴上的两个动点,且，
,当计取得最大大值时，求的面积.
参考答案：
（1）设 ，则由抛物线的定义得.
当与轴正方向的夹角为时, ,即.
又,
所以,抛物线的方程为.
(2)因为,所以点在线段的中垂线上，
设,则，
所以，，
，
所以.
当且仅当时等号成立,此时.
所以.
20. 函数f（x）=[x2﹣（n+1）x+1]ex﹣1，g（x）=，n∈R．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当f（x）在R上单调递增时，证明：对任意x1，x2∈R且x1≠x2，＞．
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）求出f′（x）=ex﹣1（x+1）（x﹣n），分n＞﹣1，n＜﹣1和n=﹣1分析原函数的单调区间；
（Ⅱ）当f（x）在R上单调递增时，n=﹣1，此时f（x）=（x2+1）ex﹣1，则g（x）==．不妨设x1＜x2，则x2﹣x1＞0．把要证不等式＞转化为证x2﹣x1＞2，令x2﹣x1=t，则t＞2，即et（t﹣2）+t+2＞0．构造函数h（t）=et（t﹣2）+t+2，利用两次求导可得h（t）为（0，+∞）上的增函数，则h（t）＞h（0）=0．即＞．
【解答】（Ⅰ）解：f′（x）=ex﹣1（x+1）（x﹣n），
若n＞﹣1，则当x∈（﹣∞，﹣1）∪（n，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣1，n）时，f′（x）＜0，
∴f（x）的增区间为（﹣∞，﹣1），（n，+∞），减区间为（﹣1，n）；
若n＜﹣1，则当x∈（﹣∞，n）∪（﹣1，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（n，﹣1）时，f′（x）＜0，
∴f（x）的增区间为（﹣∞，n），（﹣1，+∞），减区间为（n，﹣1）；
若n=﹣1，则f′（x）=ex﹣1（x+1）2≥0，函数f（x）在R上为增函数．
（Ⅱ）证明：当f（x）在R上单调递增时，n=﹣1，此时f（x）=（x2+1）ex﹣1，
g（x）==．
不妨设x1＜x2，则x2﹣x1＞0．
要证不等式＞，即证＞，
即x2﹣x1＞2，也就是x2﹣x1＞2，
令x2﹣x1=t，则t＞2，即et（t﹣2）+t+2＞0．
令h（t）=et（t﹣2）+t+2，则h′（t）=et（t﹣1）+1．
而h″（t）=tet＞0，∴h′（t）＞h′（0）=0．
则h（t）为（0，+∞）上的增函数，
∴h（t）＞h（0）=0．
∴＞．
21. (本题满分12分)
设数列的前项和为，对，都有成立，
(Ⅰ) 求数列的通项公式；
(Ⅱ)设数列，试求数列的前项和.
参考答案：
解: (Ⅰ)当时，，∴.
当时,
即
∴数列成等比数列，其首项，公比为
数列的通项公式.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,.
为等差数列,且首相为,公差为
略
22. （本小题满分14分）已知函数(其中A>0,)的图象如图所示。
（1）求A，w及j的值；
（2）若,求的值。
参考答案：
解：（Ⅰ）由图知A=2,? ………2分
T=2()=p, ?………3分
?∴w=2, ………4分
∴f(x)=2sin(2x+j)? 又∵=2sin(+j)=2, ∴sin(+j)=1,? ………5分
∴+j=,j=+,(k?Z)? ∵,∴j=? ………7分
（Ⅱ）由（1）知：f(x)=2sin(2x+) ………9分
∴=2sin(2a+)=2cos2a ………10分
=4cos2a-2? ………12分
= ………14分
