概率统计§116几何概型教案x
时间：2020-11-19 12:37:13 来源：勤学考试网 本文已影响 人 
高三数学(理)一轮复习
教案 第^一编概率统计
总第59期
§ 11.6 几何概型
匕基础自测
质点在数轴上的区间［0, 2］上运动，假定质点岀现在该区间各点处的概率相等，那么质点落在区间
:0, 1］上的概率为 .
答案1
2
某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为
（第 2 题）（第
（第 2 题）
（第 5 题）
答案-
某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过 3分钟的概
率是 .
答案3
5
设D是半径为R的圆周上的一定点，在圆周上随机取一点 C,连接CD得一弦，若A表示“所得弦的长
大于圆内接等边三角形的边长”，则P (A)= .
答案1
3
如图所示，在直角坐标系内，射线 OT落在30°角的终边上，任作一条射线 OA则射线OA落在
/ yOT内的概率为 .
答案1
6
匕例题精讲
例1有一段长为10米的木棍，现要截成两段，每段不小于 3米的概率有多大？
解 记“剪得两段都不小于 3米”为事件A,从木棍的两端各度量出 3米，这样中间就有10-3-3=4 (米).
在中间的4米长的木棍处剪都能满足条件，所以 P (A) = _3_ =— =0.4.
10 10
例2街道旁边有一游戏：在铺满边长为 9 cm的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为 1 cm的小圆
板，规则如下：每掷一次交 5角钱，若小圆板压在正方形的边，可重掷一次；若掷在正方形内，须再
交5角钱可玩一次；若掷在或压在塑料板的顶点上，可获 1元钱.试问：
小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？
小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？
解 (1)考虑圆心位置在中心相同且边长分别为 7 cm和9 cm的正方形围成的区域内，所以概率为
92 72 = 32
92 81 '
(2 )考虑小圆板的圆心在以塑料板顶点为圆心的 丄圆内，因正方形有四个顶点,4例3 (14分)在1升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出种子的概率是多少？从中随机取岀 30毫升，含有麦锈病种子的概率是多少?解 1升=1 000毫升，记事件A: “取岀10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子”所以概率为 .g2 8110毫升，含有麦锈病则P (A)
(2 )考虑小圆板的圆心在以塑料板顶点为圆心的 丄圆内，因正方形有四个顶点,
4
例3 (14分)在1升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出
种子的概率是多少？从中随机取岀 30毫升，含有麦锈病种子的概率是多少?
解 1升=1 000毫升，
记事件A: “取岀10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子”
所以概率为 .
g2 81
10毫升，含有麦锈病
则P (A)=』=0.01，即取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子的概率为
1 000
0.01.
记事件B: “取30毫升种子含有带麦锈病的种子”
则P (B) =_凹 =0.03，即取30毫升种子含有带麦锈病的种子的概率为 0.03.
1 000
14分
例4 在Rt△ ABC中，/ A=30° 过直角顶点 C作射线CM交线段AB于M,求使|AM >| ACC的概率. 解 设事件D “作射线CM使| AM > | AC ” .
在AB上取点C'使|AC'|=| Aq，因为△ ACC是等腰三角形，
所以/ ACC =空辽=75°
2
15 1
a=90-75=15 — =90,所以，P(D) 2=6
例5甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离
去.求两人能会面的概率.
解 以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是 | x-y| < 15.
在如图所示平面直角坐标系下， (x, y)的所有可能结果是边长为 60的正方形区域，而事件 A “两人能够 会面”的可能结果由图中的阴影部分表示 .由几何概型的概率公式得： “
P (A) = Sa = 602 452 _3 600 2 025 一 7 S 602
3 600
16
所以，两人能会面的概率是
7
16
O 15
60
匕巩固练习
1.如图所示，A、B两盏路灯之间长度是 30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯 与C, B与D之间的距离都不小于 10米的概率是多少？
C、D，问 A
1 =10 (米)，3/? P (
1 =10 (米)，
3
30 3
2的点构成的(2008 ?江苏，6)在平面直角坐标系xOy中，设D
2的点构成的
区域，E是到原点的距离不大于 1的点构成的区域，向D中随机投一点，贝U落入E中的概率为
答案 一
16
如图所示，有一杯2升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出 0.1升水，求小杯水中
含有这个细菌的概率.
解 记“小杯水中含有这个细菌”为事件 A,则事件A的概率只与取岀的水的体积有关，符合几何概型 的条件.v a =0.1 升, q =2升，由几何概型求概率的公式，得 P (A) =—A =°r1 =^ =0.05.
q 2 20
在圆心角为90 °的扇形AOB中，以圆心0为起点作射线 0C求使得/ AOC和/ BOC都不小于
30°的概率.
解 如图所示，把圆弧 ,三等分，则/ AOF=Z BOE=30°，记A为
“在扇形AOB内作一射线 0C，使/ AOC和/ BOC都不小于30
，要使/ AOC和/ BOC都不小于30°，
30 1
则0C就落在/ EOF内，/. P (A)=注=丄.
90 3
将长为I的棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率.
解 设A= “ 3段构成三角形”，x,y分别表示其中两段的长度，则第 3段的长度为l-x-y.
则试验的全部结果可构成集合 Q ={ (x，y) |0 < xv I ,0 < y < I ,0 < x+y < I},
要使3段构成三角形，当且仅当任意两段之和大于第 3段，即x+y > l-x-y x+y>
要使3段构成三角形，当且仅当任意两段之和大于第 3段，即x+y > l-x-y x+y>丄，x+l-x-y>y
y< L,y+I-x-y>x
2
r故所求结果构成集合
A= (x,y)|x y 2,y
-.由图可知，所求概率为
2
2 1?丄 p (=A的面积=2 2
( Q的面积
i_2
~2
匕回顾总结
知识
方法
思想 匕课后作业 一、填空题
在区间(15，25］内的所有实数中随机取一个实数 a,则这个实数满足17< a< 20的概率是 」
答案 -
10
在长为10厘米的线段AB上任取一点 G用AG为半径作圆，则圆的面积介于 36 平方厘米到64
方厘米的概率是
答案1
5
当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为 30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看
到黄灯的概率是
答案丄
16
如图为一半径为2的扇形（其中扇形中心角为 90°），在其内部随机地撒一粒黄豆， 则它落在阴影部分
的概率为
答案1--
在面积为S的厶ABC勺边AB上任取一点 卩，则厶PBC的面积大于S的概率是
4
答案3
4
已知正方体 ABC—ABGD内有一个内切球 Q则在正方体 ABC— ABC Di内任取点M,点M在球O内的概
率是 .
答案 一
6
已知如图所示的矩形，其长为 12,宽为5.在矩形内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆
数为550颗，则可以估计出阴影部分的面积约为 .
答案 33
在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于 6 ”的概率为
5
答案17
25
二、解答题
射箭比赛的箭靶涂有 5个彩色的分环，从外向内白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色，金色靶心叫
“黄心”，奥运会的比赛靶面直径是 122 cm靶心直径12.2 cm,运动员在70米外射箭，假设都能中靶,
且射中靶面内任一点是等可能的，求射中“黄心"的概率
解 记“射中黄心”为事件A,由于中靶点随机的落在面积为 1 X 1222亦
4
2 2
的大圆内，而当中靶点在面积为 一 X 12.2 cm的黄心时，事件 A发生，
4
于是事件A发生的概率
1 12.22
P (A) =4 =0.01,所以射中“黄心”的概率为 0.01.
1 1222
4
10.假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上
的时间在早上7： 00至8： 00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件 解设事件A “父亲离开家前能得到报纸”
开家的时间，则父亲能得到报纸的充要条件是 得到报纸的所有可能结果由图中阴影部分表示，
6 : 30至7 : 30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作
A）的概率是多少？
.在平面直角坐标系内，以 x和y分别表示报纸送到和父亲离
x < y,而（x, y）的所有可能结果是边长为 1的正方形，而能
这是一个几何概型问题，
A =12- 1 X 1 X 1= 7
2 2 2 8
Q =1，所以P
(A)=
Q
11.已知等腰 Rt △ ABC中，
在线段BC上任取一点M，求使/ CAMk 30 °的概率;
在/ CAB内任作射线AM，求使/ CAMfc 30°的概率.
（1）设 CM=x，贝U 0<xv a.（不妨设 BC=a）.
(1)
（2）
解
/ C=90° .
若/ CAMV 30° ,则 0< x < _^ a,故/ CAMV 30° 的概率为
3
区间0,_2 a的长度
P (A) = 3 =_3 .
一 3
<45° .
< 30 ° ,
一 _ (0 ,30 )的长度—2
3
区间(0,a)的长度
(2)设/ CAM ，则 0°<
若/ CAM< 30° ,则 0°<
故/ CAMc 30°的概率为P
(B)=-
(0,45 )的长度
2 2
x +2ax+b =0.
12.设关于x的一元二次方程
（1） 若a是从0, 1，2，3四个数中任取的一个数， 程有实根的概率.
（2） 若a是从区间］0， 3］任取的一个数，b是从区间］0，2］任取的一个数，求上述方程有实根的 概率.
解 设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”.
当a>0, b >0时，方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为 a> b.
（1）基本事件共有12个：
（0, 0），（0，1），（0，2），
（3, 2）.其中第一个数表示
b是从0, 1 , 2三个数中任取的一个数，求上述方
（1，0），（ 1，1），（ 1，2），（ 2，0），（ 2，1），（ 2，2），（ 3, 0））（ 3，1）， a的取值，第二个数表示 b的取值.
事件A中包含9个基本事件,
事件 A发生的概率为P （A） = - = 3
12 4
（2）试验的全部结果所构成的区域为 {（ a, b）|0 < a< 3,0 < b< 2}.构成事件A的区域为
{( a, b)|0 < a< 3,0 < b< 2,a> b}.所以所求的概率为 P( A)= 3 2 2 = 2
3 2 3
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