立体几何文科体积问题归类总结计划x
时间：2020-10-19 08:16:48 来源：勤学考试网 本文已影响 人 
立体几何大题（文科） ---体积问题
学前了解：
立体几何体积问题，几乎是作为文科大题第二问的必考选项。里面考查思想中，重点考察了等体积、等面积的转化思想。其中，有两个难点。一是寻找垂线转移顶点，二是计算边长。那么，针对转化的模型不同，我对其进行以下分类。
针对求体积、和求点到面的距离问题，通常采用等体积法。 （三棱锥）
一、 简单等体积法。
1、如图，四棱锥 P－ ABCD的底面 ABCD是矩形，侧面 PAB是正三角形， AB＝2， BC＝ 2 ，
PC＝ 6 ， E， H 分别为 PA、 AB 中点。
I）求证： PH⊥平面 ABCD；
II）求三棱锥 P－ EHD的体积。
2 、 如 图， 在 三 棱柱 中， 三 条棱 两两互 相垂 直 ，且
， 分别是 的中点．
（Ⅰ ）求证： ；
（Ⅱ ）求 到 的距离．
3、如图，直三棱柱 ABC A1B1C1 中， AC=CB，D， E 分别是 AB ， BB1 的中点。
1）证明： BC1 // 平面 A1CD；
2）求证： CD⊥平面 ABB1A1；
3）设 AA1＝ AC＝ CB＝2, AB＝2 2 ，求 E 到截面 A1DC 的距离 d.
4、
C
1 1C1 中，底面
C 为等腰直角三角形，
C 90o ，
4 ，
1 6 ，
点
是
1 中点．
（I ）求证：平面1
C
平面
1 C1C；
（II
）求点
到平面
1
C 的距离．
二、 平行线转移顶点法（找好顶点后，看有没有过顶点平行底面的直线）
1、如图，在直角梯形 ABCD 中， AB ∥ CD ，且 AB ＝ AD ＝ 2，CD ＝ 4，四边菜 ADE 1F1 是正方形，且平面 ADE 1F1⊥平面 ABCD ， M 是 E1C 的中点。
1）证明： BM ∥平面 ADE 1F1；
2）求三棱锥 D－ BME 1 的体积。
2、如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中， PA⊥平面 ABCD ，PA=AB=AD=2 ，四边形 ABCD 满足 AB ⊥AD ， BC∥ AD 且 BC=4，点 M 为 PC 中点．
1）求证：平面 ADM ⊥平面 PBC；
2）求点 P 到平面 ADM 的距离．
3、在如图所示的几何体中，
平面 ACE⊥ 平面 ABCD ， 四边形
ABCD 为平行四边形，
∠ CAD＝ 90°， EF // BC， EF ＝
1
，
AC
＝
2
，
＝
EC
＝ ．
BC
AE
1
2
1）求证： CE ⊥AF；
2）若三棱锥 F － ACD 的体积为 1 ，求点 D 到平面 ACF 的距离．
3
三、 斜三棱柱（或多边锥体）变三棱锥法（等高等低的柱体和锥体是 3 倍关系）
1、（全国卷 2014 文科） 如图 1-4，三棱柱 ABC - A1 B1C1 中，侧面 BB1C1C 为菱形， B1C 的中点为 O，且 AO⊥平面 BB1C1C.
图 1-4
(1)证明： B1C⊥ AB；
(2)若 AC⊥ AB ，∠ CBB
＝ 60°， BC＝ 1，求三棱柱 ABC - A B C
的高．
1
1
1
1
1
2
、 如 图 4,
三 棱 柱
ABC A1B1C1
中 ,
侧 面
AAC
C
侧
面
1 1
ABB A ,
AC
AA2 AB ,
AAC
1
60 , AB
AA ,
H
为棱 CC
的中点 ,
D
为
1 1
1
1
1
1
BB1 的中点 .
( Ⅰ ) 求证 : A1D
平面 AB1H；
C
H
C1
( Ⅱ ) 若 AB
2 , 求三棱柱 ABC
A1B1C1 的体积 .
A
A1
B
B 1
D
图 4
3、如图，在三棱柱
ABC A1 B1C1 中， BAC
90 ， AB AC
2 ， A1 A
4 ， A1 在底面 ABC
的射影为 BC 的中点， D 是 B1C1 的中点 .
（Ⅰ）证明：
A1D
平面 1
；
ABC
（Ⅱ）求四棱锥
A1
BB1C1C 的体积 .
4、如图所示的多面体 ABCDE 中，已知 ABCD 是边长为 2 的正方形，平面 ABCD ⊥平面
ABE ，∠ AEB=90°， AE=BE.
（Ⅰ）若 M 是 DE 的中点，试在 AC 上找一点 N，使得 MN// 平面 ABE ，并给出证明；
（Ⅱ）求多面体 ABCDE 的体积。
四、 已知体积求边长算表面积
1、全国卷（ 2015 文科）如图四边形 ABCD为菱形，G 为 AC 与 BD 交点，BE 平面 ABCD ，
（I）证明：平面 AEC 平面 BED；
（ II）若 ABC 120o ， AE EC, 三棱锥 E ACD 的
体积为 6 ，求该三棱锥的侧面积 .
3
2、（全国卷 2017 文科） 如图，在四棱锥 P-ABCD中， AB//CD，且 BAP CDP 90o
（ 1）证明：平面 PAB⊥平面 PAD；
（ 2）若 PA=PD=AB=DC, APD
90o , 且四棱锥 P-ABCD的体
积为 8 ，求该四棱锥的侧面积 .
3
3、如图，四边形
ABCD是平行四边形，
AB＝1，AD＝2, AC＝
3 ， E
是 AD的中点，
BE与AC
交于点
F
，
GF⊥ 平面 ABCD
.
求证： AB ⊥面AFG ；
(2) 若四棱锥
G－ ABCD
的体积为
3
，求 E到
6
平面 ABG
的距离
.
