数学分析试题及答案解析,（1）

2014 ---2015学年度第二学期 《数学分析2》A试卷 学院 班级 学号（后两位） 姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 核分人 得分 一. 判断题（每小题3分，共21分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若在连续，则在上的不定积分可表为（ ）. 2.若为连续函数，则（ ）. 3. 若绝对收敛，条件收敛，则必然条件收敛（ ）. 4. 若收敛，则必有级数收敛（ ） 5. 若与均在区间I上内闭一致收敛，则也在区间I上内闭一致收敛（ ）. 6. 若数项级数条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散于正无穷大（ ）. 7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ）. 二. 单项选择题（每小题3分，共15分） 1.若在上可积，则下限函数在上（ ） A.不连续 B. 连续 C.可微 D.不能确定 2. 若在上可积，而在上仅有有限个点处与不相等，则（ ） A. 在上一定不可积；

B. 在上一定可积,但是；

C. 在上一定可积，并且；

D. 在上的可积性不能确定. 3.级数 A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定 4.设为任一项级数，则下列说法正确的是（ ） A.若，则级数一定收敛；

B. 若，则级数一定收敛；

C. 若，则级数一定收敛；

D. 若，则级数一定发散；

5.关于幂级数的说法正确的是（ ） A. 在收敛区间上各点是绝对收敛的；

B. 在收敛域上各点是绝对收敛的；

C. 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数；

D. 在收敛域上是绝对并且一致收敛的；

三.计算与求值（每小题5分，共10分） 1. 2. 四. 判断敛散性（每小题5分，共15分） 1. 2. 3. 五. 判别在数集D上的一致收敛性（每小题5分，共10分） 1. 2. 六．已知一圆柱体的的半径为R，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面 角向斜上方切割，求从圆柱体上切下的这块立体的体积。（本题满10分） 七. 将一等腰三角形铁板倒立竖直置于水中（即底边在上），且上底边距水表面距离为10米，已知三角形底边长为20米，高为10米，求该三角形铁板所受的静压力。(本题满分10分) 八. 证明：函数在上连续，且有连续的导函数.（本题满分9分） 2014 ---2015学年度第二学期 《数学分析2》B卷 答案 学院 班级 学号（后两位） 姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 核分人 得分 一、 判断题（每小题3分，共21分，正确者括号内打对勾，否则打叉） 1.✘ 2.✔ 3.✘ 4. ✔ 5. ✔ 6. ✔ 7. ✔ 二.单项选择题（每小题3分，共15分） 1. B ; 2.C ; 3.A ; 4.D; 5.B 三.求值与计算题（每小题5分，共10分） 1. 解：由于-------------------------3分 而 ---------------------------------4分 故由数列极限的迫敛性得：
-------------------------------------5分 2. 设 ，求 解：令 得 =----------------2分 = = -----------------------------------4分 = =---------------5分 四.判别敛散性（每小题5分，共10分） 1. 解：
-------3分 且 ，由柯西判别法知， 瑕积分 收敛 -------------------------5分 2. 解：
有 -----------------------------2分 从而 当 -------------------------------4分 由比较判别法 收敛----------------------------5分 五.判别在所示区间上的一致收敛性（每小题5分，共15分） 1. 解：极限函数为-----------------------2分 又 --------3分 从而 故知 该函数列在D上一致收敛. -------------------------5分 2. 解：因当 时，--------------2分 而 正项级数 收敛， -----------------------------4分 由优级数判别法知，该函数列在D上一致收敛.-------------5分 3. 解：易知，级数的部分和序列一致有界，---2分 而 对 是单调的，又由于 ，------------------4分 所以在D上一致收敛于0， 从而由狄利克雷判别法可知，该级数在D上一致收敛。------5分 六. 设平面区域D是由圆，抛物线及x轴所围第一象限部分，求由D绕y轴旋转一周而形成的旋转体的体积（本题满分10分） 解：解方程组得圆与抛物线在第一象限 的交点坐标为：， ---------------------------------------3分 则所求旋转体得体积为：
-------------------------------7分 =------------------ = ------------------------------------------------------10分 七.现有一直径与高均为10米的圆柱形铁桶（厚度忽略不计），内中盛满水，求从中将水抽出需要做多少功？（本题满分10分） 解：以圆柱上顶面圆圆心为原点，竖直向下方向为x轴正向建立直角坐标系 则分析可知做功微元为：
--------------------------------5分 故所求为：
-------------------------------------8分 =1250 =12250（千焦）-----------------------------------10分 八．设是上的单调函数，证明：若与都绝对收敛，则在上绝对且一致收敛. （本题满分9分） 证明：是上的单调函数，所以有 ------------------------------4分 又由与都绝对收敛， 所以 收敛，--------------------------------------7分 由优级数判别法知：
在上绝对且一致收敛.--------------------------------2013 ---2014学年度第二学期 《数学分析2》A试卷 学院 班级 学号（后两位） 姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 核分人 得分 一. 判断题（每小题2分，共16分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若在[a,b]上可导，则在[a,b]上可积. ( ) 2.若函数在[a,b]上有无穷多个间断点，则在[a,b]上必不可积。

（ ） 3.若均收敛，则一定条件收敛。

（ ） 4.若在区间I上内闭一致收敛，则在区间I处处收敛（ ） 5.若为正项级数（），且当 时有：
，则级数必发散。（ ） 6.若以为周期，且在上可积，则的傅里叶系数为：
（ ） 7.若，则 （ ） 8.幂级数在其收敛区间上一定内闭一致收敛。（ ） 二. 单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列广义积分中，收敛的积分是（ ） A B C D 2.级数收敛是部分和有界的（ ） A 必要条件 B 充分条件 C充分必要条件 D 无关条件 3.正项级数收敛的充要条件是（ ） A. B.数列单调有界 C. 部分和数列有上界 D. 4.设则幂级数的收敛半径R=（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题正确的是（ ） A 在绝对收敛必一致收敛 B 在一致收敛必绝对收敛 C 若，则在必绝对收敛 D 在条件收敛必收敛 6..若幂级数的收敛域为,则幂级数在上 A. 一致收敛 B. 绝对收敛 C. 连续 D.可导 三. 求值或计算（每题4分，共16分） 1. ；

2. 3． . 4.设在[0,1]上连续，求 四.（16分）判别下列反常积分和级数的敛散性. 1.；

2. 3. ；

4. 五 、判别函数序列或函数项级数在所给范围上的一致收敛性（每题5分，共10分） 1. 2. ；

六.应用题型（14分） 1. 一容器的内表面为由绕y轴旋转而形成的旋转抛物面，其内现有水（），若再加水7（），问水位升高了多少米？ 2. 把由，x轴，y轴和直线所围平面图形绕x轴旋转得一旋转体，求此旋转体的体积，并求满足条件的. 七．证明题型 （10分） 已知与均在[a,b]上连续，且在[a,b]上恒有，但不恒等于，证明：
2013 ---2014学年度第二学期 《数学分析2》B试卷 学院 班级 学号（后两位） 姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 核分人 得分 一、 判断题（每小题2分，共18分，正确者括号内打对勾，否则打叉） 1.对任何可导函数而言，成立。（ ） 2.若函数在上连续，则必为在上的原函数。（ ） 3.若级数收敛，必有。（ ） 4.若，则级数发散. 5.若幂级数在处收敛，则其在[-2,2]上一致收敛.（ ） 6.如果在以a,b为端点的闭区间上可积，则必有 .（ ） 7.设在上有定义，则与级数同敛散.（ ） 8.设在任子区间可积，b为的暇点，则与 同敛散.（ ） 9.设在上一致收敛，且存在，则. 二.单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 函数在上可积的必要条件是（ ） A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数 2. 下列说法正确的是（ ） A. 和收敛，也收敛 B. 和发散，发散 C. 收敛和发散，发散 D. 收敛和发散，发散 3. 在收敛于，且可导，则（ ） A. B. 可导 C. D. 一致收敛，则必连续 4.级数 A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定 5.幂级数的收敛域为：
A.（-0.5,0.5） B.[-0.5,0.5] C. D. 三.求值与计算题（每小题4分，共16分） 1. 2. 3. 4. 四.判别敛散性（每小题4分，共16分） 1.；

2. 3.. 4. 五.判别在所示区间上的一致收敛性（每小题5分，共10分） 1. 2. 六.应用题型（16分） 1.试求由曲线及曲线所平面图形的面积. 2.将表达为级数形式，并确定前多少项的和作为其近似，可使之误差不超过十万分之一. 七. （9分）证明：若函数项级数满足：
（ⅰ） ；
（ⅱ）收敛.则函数项级数在D上一致收敛. 014 ---2015学年度第二学期 《数学分析2》A卷答案 三. 判断题（每小题3分，共21分） 1. ✔ 2. ✘ 3. ✔ 4. ✘ 5. ✔ 6. ✔ 7. ✘ 二.单项选择题（每小题3分，共15分） B, C, C, D, A 三.计算与求值（ 每小题5分，共10分） 1. 解：原式= =---------------------------2分 =-------------------------3分 ==---------------------------5分 2.原式= -------------------------------2分 = --------------------4分 = ---------------------------5分 四. 判断敛散性（ 每小题5分，共15分） 1. ----------------------------2分 且 ---------------------------------3分 由柯西判别法知，收敛。---------5分 2.由比式判别法 -----4分 故该级数收敛. -------------------------------5分 3. 解：由莱布尼兹判别法知，交错级数收敛-----------2分 又 知其单调且有界，---------4分 故由阿贝尔判别法知，级数收敛. --------------------------------5分 五.1. 解：极限函数为 ---------------------2分 又 ---------------------------------4分 故知 该函数列在D上一致收敛.-----------5分 2. 解：因当 时，----------------------3分 而 正项级数 收敛， -----------------------------4分 由优级数判别法知，该函数列在D上一致收敛.---------------5分 六．已知一圆柱体的的半径为R，由圆柱下底圆直径线并保持与底圆面 角向斜上方切割，求所切下这块立体的体积。（本题满分10分） 解:在底圆面上以所截直径线为x轴，底圆的圆心为原点示坐标系， 过x处用垂直x轴的平面取截该立体，所得直角三角形的面积为：
--------------------------------5分 故所求立体的体积为：
------------7分 = -------10分 七.解：建立图示坐标系(竖直方向为x轴) 则第一象限等腰边的方程为 ------------------------------------3分 压力微元为：
故所求为 ----------------------------------------7分 ------10分 八. 证明：每一项在上连续， 又 而收敛 所以在上一致收敛，-------------------------------3分 故由定理结论知 在上连续，------------------------------5分 再者 而收敛 所以在上一致收敛，结合在上的连续性 可知在上有连续的导函数. ----------------9分 2014 ---2015学年度第二学期 《数学分析2》B试卷 学院 班级 学号（后两位） 姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 核分人 得分 二、 判断题（每小题3分，共21分，正确者括号内打对勾，否则打叉） 1.若为偶函数，则必为奇函数（ ）. 2.为符号函数，则上限函数y=在上连续（ ）. 3.若收敛，必有（ ）. 4.若在区间I上内闭一致收敛，则在区间I上处处收敛（ ）. 5.若在上内闭一致收敛，则在上一致收敛（ ）. 6.若数项级数绝对收敛，则经过任意重拍后得到的新级数仍然绝对收敛，并且其和不变（ ）. 7.若函数项级数在上的某点收敛，且在上一致收敛，则也在上一致收敛（ ）. 二.单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 函数是奇函数，且在上可积，则（ ） A B C D 2.关于积分，正确的说法是（ ） A.此为普通积分 B. 此为瑕积分且瑕点为0 C. 此为瑕积分且瑕点为1 D. 此为瑕积分且瑕点为0,1 3.就级数（）的敛散性而言，它是（ ） A. 收敛的 B. 发散的 C. 仅 时收 D. 仅 时收敛 4..函数列在区间上一致收敛于0的充要条件是（ ） A. B. C. D. 5.幂级数的收敛域为：
A.（-0.5,0.5） B.[-0.5,0.5] C. D. 三.求值与计算题（每小题5分，共10分） 1. 2. 设 ，求 四.判别敛散性（每小题5分，共10分） 1. 2. 五.判别在所示区间上的一致收敛性（每小题5分，共15分） 1. 2. 3. 六. 设平面区域D是由圆，抛物线及x轴所围第一象限部分，求由D绕y轴旋转一周而形成的旋转体的体积（本题满分10分） 七.现有一直径与高均为10米的圆柱形铁桶（厚度忽略不计），内中盛满水，求从中将水抽出需要做多少功？（本题满分10分） 八．设是上的单调函数，证明：若与 都绝对收敛，则在上绝对且一致收敛. （本题满分9分）