高中课件教案说课计划 (7)

第十七讲 第一部分

好，我们来看看，这个题目不需要再看了吧！这个没问题吧，好了，这个题目呢？我们发现，还是和我们刚才一样，把（a+b）这个式子乘以2，然后呢，再加上（a+b）是不是就可以了，是这么回事吧，一定要注意，做这种题目一定不要把a和b的范围单独求出来，要做就整体带入，明白我的意思吧！好，下面我们来看一看最基本的不等式的比较，不等式的基本手法呢？是两个手法，作差或者作商，但是做商呢，一般是需要一个条件，就是当你知道，这两个式子都是正的时候，那么你可以作商，因为a比b大于1，a如果大于b想要等价于a比b大于1，它是需要一个条件，这个条件是什么呢？a和b都是正的时候才可以，是这么一回事吧！所以凡是涉及到乘除法的时候呢？可能要注意一下，这个式子是不是成立的。

好了，我们来看看，显然呢，有两组，你看他们的结构就应该知道，它们应该用什么样的方法呢，好，从这个时候开始呢，不等式的证明和判断，才开始稍微显露出一点儿威力，好，我们来看一看，第一道题当中，这个和这个，第一个应该怎么比较，，我们发现一定是大于0，没问题吧！基本的配方，第二问呢？有的同学说用除法，用除法靠不靠谱，因为用除法，你不知道这个式子是正的还是负的，是这样吗？除法显然是不靠谱的，那么把这两个作差，好，两个做完差之后呢，前两个我们可以提一个什么出来，可以提一个乘以（x-y），然后减后面两个可以提一个什么出来，乘以（x-y）。从而等于。是这么一回事吧，没问题吧，那我们知道如果x大于y，就大于。x如果小于y，就小于。所以这个式子一定是大于或等于0的，从这个式子，我们大概可以得到这样一个形式，其实这个式子，更简洁的式子不是这个，这个式子更一般的式子，应该就是，这个形式更为普遍，能不能看出来，这个加这个大于这两个的和，那么我们为什么说这种形式会更为普遍呢？因为如果x和y都正数，我们来看一下，这两边首先是齐次的，是不是一个齐次式，但是，写成这样是不是更齐一点，右边是不是更杂乱一点，可以这么理解吧！那么从这个角度，我们大概可以得出这样一个结论叫做：齐的东西是不是比杂的东西要大一些，这个时候和，谁应该大一些。左边更大，因为左边更齐一些。为什么左边更齐一点呢？我们同样可以将两个式子作差就，是不是同样将两个式子作差，这在x和y都是正的时候，作差的时候，你发现，这是减去这个，我们以提出，是不是这样的，剩下 （）。然后呢，这两个一看，我们把提出来，减去（），我是不是同样可以提出 是不是这样，如果x和y都是正的，如果x大，这个也大。这个大，这个也大。x小，这个负的，这个也是负的。是这么回事吧，那么，因此，我们大致上可以得出一个一般性的结论。（在a和b都是正数的时候）这个结论，一般情况，它的最典型就是，说明我们齐的东西比乱的东西要大。有同学说，如果左边是是不是应该大于右边呢？哪边大，你直觉告诉我哪边大？为什么，因为左边更齐一点，，其次呢？如果x，y大于0。这个式子其实是个伪式子，两边同时除以xy，可以得到一种什么结果，这边是，右边是（。x，y都是正的话，不会出现这种情况，你左边可以同时除掉很多，对不对？如果是齐次式，硬是把一边除掉了，就齐掉了。所以呢，一般情况下，我们会认为更齐一点，会更多一点。好吧，这个概念，以后在学习其他不等式时，可能会遇到，它是可以用柯西不等式来证明的，你们可以去百度，柯西不等式最核心的理念就是顺序大于乱序。我们简单来说，如果有组数，一组数是，一组数是。那么和的乘积最大就是他们一一对应的时候。

　 是其中最大的一个。因为他们都是齐的，最小的配最小的，最大的配最大的。能够明白我的意思吧，它会大于那些杂乱无章的。最小的是把她反过来的，和，和组合。你们可以试一下，正好由这个式子。

　我们一起来看看这个与，首先来告诉我，你感觉一下，这俩应该谁大？感觉一下， 谁比较大，想一想，感觉一下，应该左边大还是右边大。为什么你们觉得左边大，因为左边比较齐，非常好！那就是对的，你还真聪明，这就是对的。这边x对着x，y对着y。这边x对着y，y对着x，都说这太过分，那你给我证明一下，那我就给你一个证明。那么这个时候佐茶是很恶心的，另外他们是指数，我们作商等于什么呢？首先你会发现，这边是，所以其实是，那我们当然可以发现。如果x 大于y，那么这个数，底数是不是就大于1，上面的指数大于0，整个数是不是大于1的。一个大于1的正数次方是不是大于1的。X如果小于y，x比上y就是负的，x-y就是负的，是不是他的整个幂就大于1的。当然了，其实以后你们遇到这种情况，不仅可以用这种方式来处理，还可以用别的方式来处理。我们把这个式子取对数ln，正常情况下，都可以以e为底，凡是学数学的都以e为底。等你们以后学微积分以后就会知道，就lg 根本没人用。就一般情况学数学的，根本就没人以log

为底。好了，这个东西等于什么，是不是等于，那么相应的，我们来做这个事情， 等于什么？他应该等于，是不是应该这样的，好，我来把两个式子作差，这个式子我们知道，是保 单调性的，是这样回事吧！ 是保序的，保序的意思就是原来大的，他还是大的，是不是应该这样。把这两个作差，这个减这个，这个减这个等于什么？是不是得到是这么回事吧！是不是跟我们刚才看到的形式很接近，如果x比较大，这个正的，这个也是正的，如果x负的，这个也是负的。是这么回事吧，所以说这个东西一定是大于或等于0的。所以你说这个题目一定是大于或等于0的，所以你说这个题目他为什么说齐的比乱的大。所以更重要的是因为，当你能够写成这种式子，他跟刚才的证明过程，其实是一致的吧，其实没有区别，这个跟大家说一说，那大家来猜一猜，和 到底哪个大ok，留给你们一个小作业，回去证明一下这个作业。所以解答一个证明，我不管你们怎么做，回去给他一个证明，显然易得，因为他们比较齐，这种理由可不适用啊，可别说这是我教你们的。好吧，这两个之间谁大，这样，我们也可以做一个商，是这么回事吧， 约分之后，下面只剩一个（a+b），是这样回事吧，最后就是，这个是显然小于1的，上面可以写成，下面可以写成显然是小于1的对吧！ok，没问题吧，非常管用，其次用这个角度，你们想一想，你们初中有没有证明这个式子，是不是，还是这个式子。因为左边比较齐，你们初中有没有学过这个，是不是移到左边在配方，是不是这么回事，但是现在你仔细想一想，为什么左边比较大，因为左边比较齐，这个理由是不是比较充分。是这么回事吧，左边比较齐，左边比右边齐多了，右边是杂交比较好，左边这个是纯种，ok，所以你现在去看，要慢慢学会，去一点点积累这种基本的感觉，就是数学很多感觉是相同的。明白我的意思吧！你可以慢慢去积累，是不是，有一点儿跟以前的某些东西联系起来，想一想。通过这两个式子，我们知道齐的比乱的大，是不是这样，但是人种当中呢，混血还是更聪明一点的。好，我们解决这一块呢，我们下一块来解决一元二次不等式的相关问题，一元二次不等式大家是不是都会做，一元二次不等式会不会解？一元二次不等式，明确来说，只看两个，看根，第二个看方向，或者说看开口吧，其实说白了， 就是画图像，是不是应该这样，看讲义上面是不是有个大表，然后在什么情况，直接把不等会死下，怎么样。是不是应该这样，不要去看这个东西。把这些背下来，很没有用。就是你就记住了， 一元二次不等式，你就去看这个方程等于0有没有根，有了两个根，在看开口方向，大于0.小于0，再画一条曲线，是不是就可以了，是这么回事吧，其实就这么简单，不要去记这么多分类。首先来看看大家能不能算得快一点。我们来看这两个小题。迅速的，这两个不等式会不会解，要口算根哦，口算这两个不等式的解，直接把答案写出来。看来你们口算能力不行，有人还在用笔算，能不能算出来，第一个根是多少？一个是—，一个是5，而且他是一个开口向上，大于0，是不是这样，因此应该在两根之外，是这么回事吧，所以解应是什么呢，小于— 或大于5。是这么回事吧！第二个呢一看负的，配方之后，知道没有解。

第二部分

所以说其实这样的，你要配出来就是，就是应该这样的，是不这样的？所以说这个明显是小于零。小于零所以第二个有没有解？大于零是没有解的？数学怎么学？做题啊，做题破十万！我要是向你们这么大的时候，我绝对做题比你们多。这是真的。向你们这么大的时候他应该看不着我了，我这个时候应该在搞化学竞赛了。好吧，再来看这两个，好，这两个的话，哎，首先看一下，这两个当中你能看出那些基本的东西，首先这两个方程当中你有没有看到那些特别眼熟，特别有感觉的。哎，这个你应该看着有什么感觉？他应该是，是不是这样的？所以不等于多少就行了？都写到这份上了你还能做错？啊！你无敌于天下。好，左边那个呢，左边那个是不是看着还挺不爽的，唉，我就不说你神马了，我就不说你神马了，呵呵，把这道题解一下，我呵呵。

它的根是什么呀，正负？应该是，是吧。好了，但是呢由于它是一个开口向下，而且要求大于零，所以最后解应该是在两根之间，是不这样的。唉，是不在两根之间，因为它的开口向下，然后呢，这画一条线，这肯定不能拿鼠标当笔，如果这开画板的话就好了，哪有？哦，就这个是吧。这个把它用起来，我手机呢，好没事了。这个的解呢是我们说过是，而且这个东西开口向下，是不是应该这样的，就大于零在两根之间，没错吧。OK！就是你要记住，开口向那个方向，我的根在两根之间，还是在两根之外，是不是这样的。看这个就是，继续，这个。做这种不等式的时候我建议你先把它梳理一下，就是把整个式子调整的你看起舒服一点。这个东西应该怎么调整？你慢慢来，你最好是先乘个2，再乘个—1，别把它搞混了，对吧。先乘个2我们得到，这个式子乘以2是不这样的。是乘以2吧，然后再乘以—1我们得到，哎，最终是不是这样？好，那么你们开始来解这个问题。这个东西有点恶心，对吧，的根是应该吧，然后呢的根应该是吧。你算，你算算就知道了，呵呵。这种根不可能算错的，这种根都应该口算的，哎我记得我们在高一刚开始暑假的时候应该说过吧，就是这种方程应该怎么解的，高一暑假一开始的第一节课的时候。高一暑假的第一节课的时候我应该说过这种方程该怎么解的吧。不是，我们先把根算出来，下面应该是讲到的，是不是这样的。没有啊，我第一节课我肯定是到最后才讲集合的，而且我们应该说啊比如说的根应该怎么算，算过吧。我们应该说过这个吧，应该是，这个题就是。啊，不是不是不是，我们应该说过这个东西是多少吧。好吧，我们简单来说一下，像这种方程应该怎么解，就是怎么能快速的求它的根。它适用于说加上一个偶数的或者减去一个偶数的x，比如说减去4x，后面随便多少，比如说+1。比如说这样的方程，首先你知道，像这样的方程解出来肯定是2加多少，或者2减多少的，是不一定是这样的，我们说过吧。而且两个乘积之后肯定是1，是不是两个乘积以后肯定为1？这个能理解吧。所以说这后面肯定是和减，是不是这样的。因为这两个乘积是不是乘完了就是1，应用韦达定理。那因为这前面乘在一起是4啊，所以后面乘在一起就是3了。什么？因为这里是—4啊，—4求根你这个地方肯定是2加多少，或者2减多少。是不是这样的。—6肯定是3加减多少啊。因为你看你的求根公式前面是—b，是不这样的，下面要比个2a，是不是这样的。是这么回事吧。所以说肯定是这么个形式啊。那我们说比如说我们再举个例子啊比如说它的两个根应该是什么？首先他应该是4加多少或者4减多少，是不是应该这样的。他们两乘在一起之后要是4，是不是应该这样的。所以前面乘开是16，所以应该是，是不是这样的。16减12是4嘛。哎，这个根和这个根乘在一起的时候是不是应该是4，这个和这个乘在一起前面是不是平方，后面也要平方。4的平方是不是16，16减去4之后是不是就应该是12.这个你要做熟练的话，就觉得这种方程很简单的。那比如说这个形式为什么它的根就能够很快呢？，是不是应该这样的，所以那应该就是—1加多少，或者—1减多少，是不是应该这样。没错吧，两个乘在一起还是—1，前面乘在一起是1，所以后面是不是肯定就是，这也一样，两个乘在一起是—5，所以后面应该是。这种形式呢，如果你们足够熟练，解这种方程还是会很快的。这个我高一的时候肯定讲过。高一暑假的时候肯定讲过。初三升高一的那个暑假，这总行了吧。好啦，那这个题目呢，在这两根之外，但是呢，在这两根之间，是不是应该这样的。是这么回事吧。所以他应该是从到之间，是不是应该这样的。左边应该是谁到谁之间，从到之间，是不是应该这样的。没错吧，应该在这两个区间。所以说做这种一元二次不等式啊，很多时候不在于你会或者不会，在于你能够多迅速的把这个东西看出来。的确啊，一元二次不等式很多人都会解，但是关键就在这个地方，你们能不能解的足够的熟练。

这个地方应该插入一个什么挑战十分钟之类的东西的。正常情况这个地方就应该插入一个挑战十分钟，然后呢让大家来迅速做，然后呢出20道题。我这会还出什么出，不出了。哎，这果然有诶，不过这个太那个啥了，这个已经变难很多了。这些不等式我们要说一下，这些不等式呢，其实都是经过一次换元之后可以变成二次不等式的。大家看一看，他把能够经过一次换元之后变成二次不等式的常见的情况都写在这个地方。第一个应该把是不是看成一个东西，它是不就是二次了，第二个应该把看成一个东西，是这么回事吧。第三个这个应该把什么看成一个东西，应该把看成一个玩意是不是就可以了。这个怎么办，大家可以先想一想。这个呢，可以把什么呀，可以把看成一个变量，是不是应该这样的。然后呢，这个东西可以把看成一个变量，是这么回事吧。OK，那大家来做一下，这六个题目。六个题目给十分钟够吗？讲义上有啊，讲义上的例5。

哎，十分钟应该计时的，现在已经过去一分钟了，所以再计9分钟就可以了，应该把这个玩意挂上，这个玩意应该大，而且应该把它设计成倒计时，然后到最后10秒就滴滴的开始叫。（读秒6分钟）写完了？时间还没到，都做完吗？哎，这么快！做完的同学举手我看看。OK，那等到7分钟的时候吧，因为还有些同学改写的还是写一写，算完的同学可以再看一看。好，OK，先把这关了，要不然这写字就没法写。好，咱们速度些。第一个应该怎么样，大于3或者什么呀？哎，大于3或者什么呀，或者什么呀小于2.剩下的干嘛？因为这个的两个根一个是2一个是3，所以x大于9或者x再什么呀，零到什么呀，4之间，是不是应该这样的。因为里面的x要大于零，是这么回事吧。所以我们得到第一道题，大于9或者0到4之间。我们再看第二道题，第二道题呢，因为是，那么我们把看成一个东西，它的两个根应该是什么？应该是1和多少？1和—9，是不是应该这样的。是不是应该是1和—9，那么我们发现应该要在两根之间，所以要小于1大于—9，但是呢，大于—9跟废话一样，是不是这样的，显然其实说白了就是大于等于零，是这么回事吧。所以x的范围是什么？x就是从—1到1，应该这么写，是这么回事吧。OK，第三道题，第三道题我们以作为他的t，让，那我们得到，是不是应该这样的。他的两个根，一个根是1一个根是—2，是不是应该这样的，是一个根是1,一个根是，不不不，一个根是—3，说错了，一个根是1一个根是—3，t大于1或者t小于—3，那么t本身就是大于0的，t小于—3当然不可能。是这么回事吧。所以只能是t大于1，t大于1说明x要怎么样啊，说明x要大于0吧，大于1，当然x就要大于0，这是第三道题。第四道，第四道题相当于，是不是相当于这么一个东西，而且，然后呢，你把这个东西乘以t之后我们就得到，是不是应该这样的，唉，是这么回事吧，那么这个东西当然他有两个根，一个根是—1，一个根是多少？3，是不是应该这样的，是这样的吧，所以说我们得到t大于3，或者t小于多少？—1，当然t小于—1是不可能的，所以t只能大于3，所以x要大于多少？，OK，非常好，下面看第四道题。第四道题这个东西相当于什么呀，相当于3倍的，是不是应该这样的，所以说我们让，那我们得到，他有两个根，一个根是多少？一个根是4，还有一个根是多少？—1，所以说我们的t要在—1到4之间，也就是说我们的要在—1到4之间，所以x的范围应该是从到2，到2，哦不不不，从到，说错了，是这么回事吧，从到16之间。OK，那我们再看最后一道题，这道题呢，当然我们让，我们得到，这个方程同样有两个根，一个根是1，一个根是多少？，是这么回事吧，哎，是一个根是1一个根是吧，没问题吧。哦不不不，应该是，应该是t小于等于1大于等于，是这么回事吧，因此我们得到，好，OK，那这个时候告诉我x的范围是多少？这个时候x的范围应该是多少？？到多少？这个时候你要注意，这个函数其实是单调减的，是不是应该这样的，x肯定在的1次方和的多少次方之间，和的次方之间。是不是应该这样的，x是不是应该在这两个东西之间，那么的1次方就是，的次方就是什么呀，就是，是不是应该就是这样的。算的是吧，所以呢，x就应该在这两个东西之间。OK，讲完了。所以说你真要做题目的话，你们的计算要足够的熟练，所以说正确率怎么来的，这就是基于基本功的运算，是这么回事吧，这完全就是基于基本功的运算，这没什么好说的，每个方程的根是什么，他应该是在两根之外，还是两根之内，然后这个换元的东西怎么去解，是不是这样的，每个问题都是这样的几步奏，但是他做的速度会绝对会影响你，好了，那就这样休息会。