第七章---玻耳兹曼统计(期末复习)x

时间：2020-11-26 21:57:33　来源：勤学考试网本文已影响人

《第七章玻耳兹曼统计》（期末复习）

、热力学第一定律的统计解释:

dU dW dQ

U ai i dU

aid i

ida i

比较可知：dW aid i

dQ i dai

l l

即：从统计热力学观点看，

做功：通过改变粒子能级引起能变化; 传热：通过改变粒子分布引起能变化

二、相关公式

1、非定域系及定域系的最概然分布

aii

2、配分函数:

量子体系：乙ieaiieiieIie

量子体系：乙

半经典体系:

q, p dqi dq2

dqrdp1dp2 dpr

"h7

经典体系：乙 e

i d_

q, p

dq1dq2 dqrdp1dp2 dpr

-Ni nZj物态方程:

-N

i nZj

物态方程:

N inZi

3、热力学公式（热力学函数的统计表达式）

厶匕

能:

i nZ

i nZj

定域系：自由能：F -NkT i nZ i 熵：S ki n m.b 或 S Nk i n Zi

三、应用:

1、用玻耳兹曼分布推导单原子分子的理想气体物态方程并说明所推导的物态方程对多原子分子的理想气体也适用。

2、能量均分定理

能量均分定理的容

能量均分定理的应用：

A、熟练掌握用能量均分定理求理想气体（单原子分子，多原子分子）能、热容量。知道与实验结果的一致性及存在的问题。

B、知道经典的固体模型，熟练掌握用能量均分定理求经典固体的能及定容热容量。知道与实验结果的一致性及存在的问题。

3、定域系的量子统计理论： ①、爱因斯坦固体模型；②、熟练掌握用量子统计理论求爱因斯坦固体的能及其热容量；

、知道爱因斯坦固体模型成功之处及其不足和原因。

四、应熟练掌握的有关计算

1、求配分函数Zi进而求系统的热力学性质

2、用S kin的证明及相关应用

四、解题指导

1、求广义力的基本公式Y lb的应用;

1、求广义力的基本公式

Y lb的应用;

例1:根据公式p

V，证明：对于极端相对论粒子,

cp (n

cp (nX

2 2、1/2

ny nz) ， nx n『nz 0, 1, 2,

有p 3V。上述结论对玻尔兹曼、玻色、费米分布均存立。

3 V

证明：令 A c2 c （nX n： n；）1/2，A

证明：令 A c2 c （nX n： n；）1/2，

侖，因此得到

l 1 A

V 3V4/3 3V V1/3

压强 p la= 3V l

ai i

由于在求证过程中，并未涉及分布

因能u

向，所以p

证毕

aI的具体形式，故上述结

论对玻尔兹曼、玻色、费米分布均存立。

2、熵的统计表达式及玻耳兹曼关系的应用

例2试证明，对于遵从玻尔兹曼分布的系统，熵函数可以表

示为

S Nk PsI nPs

Ps是总粒子处于量子态 s

Ps是总粒

子处于量子态 s

的概率，

对粒子的所有量子态求和。

对于满足

经典极限条件的非定域系统，熵的表达式有何不同?

证明：对于定域系

S Nk In ZiInZ1NkPs In 乙SInZ1、

S Nk In Zi

InZ1

Ps In 乙

InZ1

、f Nk PsInZ1

证法（1）： S

Ps In 乙

as s

s N

Nk Ps In Zi

Nk Ps InZi s

Nk PsInZ1

Nk Ps In Ps

Ps s

证法（2）:对于满足玻耳兹曼分布的定域系

N!aj iaiIIn

aj i

In N! In aI!

aI In i N In

N N

In N aI In

as In N

I s

as In as

as N

— In N

3s 3s

sIn s N

PS In PS

N as

s N N

故：

S kT In

Nk Ps In Ps

讨论:

对满足对

e 1的非定域系

S Nk

InZ

In Z!

1 kin N! Nk

Ps In Ps

或S

kIn k In M.B kInN! Nk

PS In PS

ai al In al al al ln i N In N al In -

s N

kin N!

Nk Ps In Ps So

3s 3s

N 」InN N 」lnas

例3 :对如图所示的夫伦克尔缺陷，（1）假定正常位置和填

隙位置数均为N，证明：由N个原子构成的晶体，在晶体中形成n个缺位和填隙原子而具有的熵等于

S 2k In N！——

n !（N n）!

（2）设原子在填隙位置和正常位置的能量差为 U，试由自

由能F nu TS为极小证明在温度为 T时，缺位和填隙原子数为

n Ne u/2kT （设 n N）

证明：（1）当形成缺陷时，出现几个缺陷的各种占据方式就

对应不同的微观状态， N个正常位置出现n个空位的可能方

式数为N !/n !(N n)!,同样离开正常位置的 n个原子去占据 N 个间隙位置的方式数也为 N !/n !(N n)!,从而形成n个空位并有n个间隙位置为 n个原子占据的方式数即微观态数

N !/n!(N n)! 2，由此求得熵

S kin 2k ln N -

n !(N n)!

(2)系统的自由能F nu TS，取无缺陷时的晶体自由能

为零时，平衡态时系统的自由能为极小。将自由能 F对缺陷

数n求一阶导数并令其为零，求得缺位和填隙原子数为

n Ne u/2kT (设 n N )

3、求配分函数，确定体系热力学性质

例4:已知粒子遵从玻尔兹曼分布，能量表示式为

1 2 2 2 2

2m(Px py pz) ax bx

其中，a、

其中，

a、

b为常数，求粒子的平均能量

解：方法一：由配分函数求

dxdydzdp xdpydpzh3(

e 2mZ)ax2 bxdxdydzdp xdpydpzax

dxdydzdp xdpydpz

(

e 2m

ax2 bx

dxdydzdp xdpydpz

ax2 bx

b 2

—x

e4^

x 2a

A 2 m 2

3 e

2e4a

ln Zi In B

2ln

￡

2 J 2kT

方法二

由玻尔兹曼分布公式求

由玻尔兹曼分布，粒子坐标在 dxdydz，动量在dpxdpydpz围

的概率为

dW丄e乙dxdydzd

dW丄e

乙

dxdydzd以 dpydpz

dxdydzdpxdpydpz

由此求得一个粒子平均能量- dW ,积分围为：

x, y, z V； Px,Py,Pz

将代入积分，利用函数，最后得到

—2kT丄4a方法三用能量均分疋理求12m/ 2(P

—

2kT丄

方法三

用能量均分疋理求

/ 2

(Px

2 2

pz) ax bx

P；)

a(x b)2

能量表示式中，按照能量均分定律，每一平方项的平均值为

如，在上式中'对变量的平方项有4项，于是

12mI 2(Px2

I 2

(Px

2 b、2

Pz)a(x 石)

2kT

例5、试求双原子分子理想气体的振动熵

解：双原子分子原子间的振动在温度不太高时可视为简谐振

动，振动能量为

n (n 2)h n 0,1,2

单个分子的振动配分函数

e h /2

1 h lnZ, - h ln(1 e h )

双原子分子理想气体的振动熵

S Nk[ln 乙

ln "7

―]Nk[ h /(e h 1) ln(1

)]

令v/T hv为振动特征温度，则上式写为

S Nk[^ ln(1 e v/T)]

T exp( v/T) 1

例6、试求爱因斯坦固体的熵

解：据爱因斯坦模型，理想固体中原子的热运动可以视为 3N

个独立谐振子的振动，且各振子频率都相同并设为常数。

固体中一个振子能量为：

n （n 扌）,l 0、、、2

一个振子配分函数

1 e

固体中共3 N个谐振子，由此得到固体的熵

ln "7

S 3Nk[lnZ1 ] 3Nk [—

1 ln(1 e )]

例7、定域系统含有 N个近独立粒子，每个粒子有两个非简并能级1和2，求温度为T的热平衡态下系统的能和熵，在高、低温极限下将结果化简，并加解释。

解：1个粒子的配分函数为

Z1 e 1 e 2 e 1[1 e （2 1}]

lnZ1

ln[1 e (2 1}]

求得系统的能和熵分别为

N1 —

S Nk[l

ln[1

)1 (2 1)

]1 e (2 1)

讨论:

⑴当温度T较低时，e (

⑴式中的第二项可以忽

略，因而U N 1，即T 0时，

所有粒子均处于基态 1；同样，

在⑵式中的第二项为零；

第一项中e(2 J 0，则⑵为

S Nkln1 0，这与热力学第三定律一致。

⑵当温度较高时， 2 1 0，贝U⑴式变为U -2( 1 2)，

表示粒子处于1和 2是等概率的。而⑵式变为

S Nk ln[1 e

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