人大附中2019-2020学年度高三6月统一练习题 数学及其答案6.29x
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人大附中?2019-2020?学年度高三数学?6?月质量检测题
人大附中?2019-2020?学年度高三?6?月统一练习题
数 学
命题人:侯立伟?唐庚?王鼎 审题人:于金华 2020?年?06?月?27?日
本试卷共?5?页,150?分。考试时长?120?分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上
作答无效.
第一部分(选择题 共?40?分)
一、选择题共?10?小题,每小题?4?分,共?40?分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目
要求的一项.
1.集合
1.集合?P?3,?loga?,?Q?a,?b?,若?P
Q?0?,则?P?Q(?)
A.0,3?
B.0,2,3
C.0,1,3?
D.0,1,2,3?
2.若复数?z
2
13i?,则?z(
)
A. 1
2
B.3
2
C.?1
D.?2
12?
1
2?3
3 5 ,?clog
?3.?已知?a?5?,?b
?
A.?abc B.?cba
2
3?5
,则()
C.?bcaD.?cab
4.?已知函数?f?(?x)?的图象沿?x?轴向左平移?2?个单位后与函数?y2x?的图象关于?x?轴对称,若
f?(x?)?1?,则?x?=?( )
0 0
A.2 B.?2 C.log
2
3?D.?log
2
3
5.?为了解某年级?400?名女生五十米短跑情况,从该年级中随机抽取?8?名女生进行五十跑测
试,她们的测试成绩(单位:秒)的茎叶图(以整数部分为茎,小数部分为叶)如图所
示.由此可估计该年级女生五十米跑成绩及格(及格成绩为?9.4?秒)的人数为( )
7
8
9
8
6?1?8
1?5?7?8
A.150 B.250
C.200
1
D.50
”是“函数?fx
”是“函数?fxsin(2x )(xR)?与函数?gxcos(2?x+)(?xR)?为同一
?
6
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?
3
函数”的( )
A.充分而不必要条件
C.充分必要条件
B.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
n(n
n(nN?*?)?的最小值为( )
25 B.4
9 C.1
( )
A.6 B.12
C.24 D.36
8.等比数列{an}中?a1=1,且?4a1,2a2,a3?成等差数列,则
A.?16
2
a
n
3
3
4
正视图?侧视图
俯视图
D.?1
9.?如图,四个棱长为?1?的正方体排成一个正四棱柱,是一条侧
棱?,(=?1,2,,8) 是上底面上其余的八个点,则集合
i
i 8中的元素个数()
y?yABAP?,?i1,2,3,
A.?1
C.?4
B.?2
D.?8
反射光相对探测光会发生频移?f
反射光相对探测光会发生频移?f? ,其中?v?为测速仪测得被
复兴号高铁在某时刻的速度,其工作原理是:激光器发出的光平均
分成两束射出,在被测物体表面汇聚,探测器接收反射光.当被测物
体横向速度为零时,反射光与探测光频率相同.当横向速度不为零时,
2v?sin
p ?
测物体的横向速度,为激光波长,为两束探测光线夹角的一半,
如图.若激光测速仪安装在距离高铁?1?m?处,发出的激光波长为?1600
nm?(?1nm10?9?m?),测得某时刻频移为8.0109(1/h),则该时刻高铁
的速度?v?约等于
2
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A.320?km/h B.330?km/h
C.340?km/h D.350?km/h
第二部分 (非选择题 共?110?分)
二、填空题共?5?小题,每小题?5?分,共?25?分.
11.抛物线?yx2的焦点到准线的距离是
1
12.?二项式?(?x2)5?的展开式中含?x?4?的项的系数是 (用数字作答).
x
13.?已知关于?x?的不等式?ax?22?x3a0?在0,2上有解,则实数?a?的取值范围为_______
14.在平面直角坐标系中,以双曲线
x2y2
?
a2?b2
1,(a0,?b0)?的右焦点为圆心,以实半轴?a
为半径的圆与其渐近线相交,则双曲线的离心率的取值范围是
15.?在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的?9?个小球,将它们分别编号为?1,2,
3,…,9,甲、乙、丙三人从口袋中依次各抽出?3?个小球.
甲说:我抽到了?8?号和?9?号小球;
乙说:我抽到了?8?号和?9?号小球;
丙说:我抽到了?2?号小球,没有抽到?8?号小球.
已知甲、乙、丙三人抽到的?3?个小球的编号之和都相等,且甲、乙、丙三人都只说对了一半.
给出下列四各结论:
①甲抽到的?3?个小球的编号之和一定为?15;
②乙有可能抽到了?2?号小球;
③丙有可能抽到了?8?号小球;
④3?号,5?号和?7?号小球一定被同一个人抽到.
其中,所有正确结论的序号是________________.
注:全部选对得?5?分,不选或有错选得?0?分,?其他得?3?分.
三、解答题共?6?小题,共?85?分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16.(本小题满分?14?分)
在△ABC?中,?a3?,?b2?6?,______________.
求?c?的值.
从①B2A?,?②?sin?Bsin?2?A?,③?S
2?ABC3?15
2
,这三个条件中任选一个,补充在
上面问题中并作答.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
3
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17.?(本小题满分?14?分)
如图,在多面体?ABCDEF?中,平面?ADEF平面?ABCD?.四边形?ADEF?为正方形,四边形
ABCD?为梯形,且?AD?//BC?,BAD90,?ABAD1?,?BC3?.
(Ⅰ)求证:?AFCD?;
(II)求直线?BF?与平面?CDE?所成角的正弦值.
FE
AD
B
C
18.?(本小题满分?14?分)
国家环境标准制定的空气质量指数(简称?AQI)与空气质量等级对应关系如下表:
空气质量等 优 良 轻度污染 中?度?污 重度污染 严重污染
AQI?值范围 [0,50) [50,100 [100,150) [150,200) [200,300)
300?及以上
下表是由天气网获得的全国东西部各?6?个城市在某一个月内测到的数据的平均值:
西部城市
西安
合肥
克拉玛依
鄂尔多斯
巴彦淖尔
库尔勒
AQI?数值
108
90
37
56
61
456
东部城市
北京
金门
上海
苏州
天津
石家庄
AQI?数值
104
42
82
114
105
93
合计:808 合计:540
(Ⅰ)?从表中东部城市中任取一个?,空气质量为良的概率是多少?
(Ⅱ)环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随机选取?3?个城市组织专家进行调研,
记选到空气质量“轻度污染”的城市个数为,求的分布列和数学期望.
(III)设东部城市的?AQI?数值的方差为?S?2?,如果将合肥纳入东部城市,则纳入后?AQI?数
1
值的方差为?S?2?,判断?S?2?和?S?2?的大小.(只需写出结论)
2 1 2
n附:方差计算公式?S?2
n
n1xx2?.
n
i
i?1
4
1?a>b>0?的离心率是 ,过点?P(
1?a>b>0?的离心率是 ,过点?P(0,1)做斜率为?k?的直线?l,椭
椭圆E:?
19.(本小题满分?15?分)
已知函数?f?(?x)2?xm?(其中?m?为常数).
e?x
(I)若?m0?且直线?ykx?与曲线?yf?(?x?)?相切,求实数?k?的值;
(II)若?yf?(?x?)?在?[1,2]?上的最大值为?2?,求?m?的值.
e2
20.(本小题满分?14?分)
x2 y?2 5
a?2 b2 3
圆?E?与直线?l?交于?A,B?两点,当直线?l?垂直于?y?轴时?AB3?3?.
(I)求椭圆?E?的方程;
(II)当?k?变化时,在?x?轴上是否存在点?M(m,0),使得△AMB?是以?AB?为底的等腰三角
形,若存在求出?m?的取值范围,若不存在说明理由.
21.?(本小题满分?14?分)
在平面直角坐标系中,对于任意相邻三点都不共线的有序整点列(整点即横纵坐标都是
整数的点)?A(n)?:?A?,?A?,?A?, ,?A?与?B(n)?:B?,?B?,?B?, ,?B?,其中?n3?,若同时满足:
1 2 3 n 1 2 3 n
①两点列的起点和终点分别相同;②线段?A?A
i i?1
则称?A(n)?与?B(n)?互为正交点列.
B?B?,其中?i1,2,3,?,?n1?,
i?i?1
(Ⅰ)试判断?A(3)?:?A?(0,2),?A
1 2
正交点列,并说明理由;
(3,0),?A?(5,2)?与?B(3)?:?B?(0,2),?B?(2,5),?B?(5,2)?是否互为
3?1?2?3
(Ⅱ)求证:?A(4)?:?A?(0,0),?A
1 2
(3,1),A?(6,0),?A?(9,1)不存在正交点列?B(4)?;
3?4
(Ⅲ)是否存在无正交点列?B(5)?的有序整数点列?A(5)??并证明你的结论.
5
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参考答案和评分标准 2020.6.27
一、选择题(共?10?个小题,每小题?4?分,共?40?分)
题号
答案
1
C
2
C
3
D
4
B
5
B
6
A
7
B
8
D
9
A
10
A
二、填空题(本大题共?5?小题,每小题?5?分,共?25?分.请把结果填在答题纸中.)
题
号
1112131415
2
2 10? (,?3
3 (1,2)
案
1
)
①②④
注:15?题给出的结论中,有多个符合题目要求。全部选对得?5?分,不选或有错选得?0?分,
其他得?3?分
三、解答题共?6?小题,共?85?分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16.(本小题满分?14?分)
解:
如果选①:因为?a3?,?b2?6?,B2A?,
? .………………3?分所以
? .………………3?分
所以2sin?A?cos?A
.
2?6
sin?A 3
3?2?6
sin?Asin?2?A
故?cos?A
6
3
.……………………6?分
A(0,)?,?所以?sin?A1cos2?A 3?.
3
又因为B2A?,所以?cos?B2cos?2?A1
1
3
.………………9?分
所以?sin?B1cos2?B
2?2
3
.在△ABC?中,?sin?Csin(?AB)
sin?Acos?Bcos?Asin?B
5?3?.……………………12?分
9
所以?ca?sin?C5?.……………………14?分
sin?A
如果选②:因为?a3?,?b2?6?,?sin?Bsin?2?A?,
1
sin?B2sin?Acos?A?,由正弦定理得:……………………3?分
b2a?cos?A?.
故?cos?A 6?,……………………6?分
3
由余弦定理可得:?924c22c2?6
6
3
,………………9?分
c28c150?,解得?c5?或?3.……………………14?分
如果选③:?S
?ABC
3?15
2
,则?S
?ABC
3?151
=?ab?sin?C
22
则:?sin?C
10
4
,………………3?分
所以?cos?C?
6
4
.………………6?分
时,?c2a
时,?c2a2b22ab?cos?C9242326 15?,?c15?;
66
44
时,?c2a2?
时,?c2a2b22ab?cos?C924+2326 51?,?c51?.
6?6
4?4
……………………14?分
17.?(本小题满分?14?分)
解:(Ⅰ)证明:因为?ADEF?为正方形,
所以?AFAD?.……………………1?分
又因为平面?ADEF平面?ABCD?,………2?分
且平面?ADEF 平面?ABCDAD?,………3?分
AF平面?ADEF?.
所以?AF平面?ABCD?.………………4?分
CD平面?ABCD?.
所以?AFCD?.………………6?分
(II)由(Ⅰ)可知,?AF平面?ABCD?,
所以?AFAB?.又?AFAD?,BAD90,所以?AB,?AD,?AF?两两垂直.
分别以?AB,?AD,?AF?为?x?轴,?y?轴,?z?轴建立空间直角坐标系(如图).…………8?分
因为?ABAD1?,?BC3?,
所以?A(0,0,0),?B(1,0,0),C(1,3,0),D(0,1,0),?E(0,1,1),F?(0,0,1)?,
所以?BF(?1,0,1),DC(1,2,0),?DE(0,0,1)?.
2
z0.设平面?CDE?的一个法向量为?n(?x,?y,?z)?,
z0.
nDC0, x2?y0,
?
则 即 ……………………10?分
nDE0.
令?x2?,则?y?1?,
所以?n(2,1,0)?.…………………………12?分
设直线?BF?与平面?CDE?所成角为,
则?sin?|?cos?n,?BF||?2(?1)|
52
10
.………………14?分
5
PA?
PA2
解:
(Ⅰ)设事件?A?为”?从表中东部城市中任取一个,空气质量为良” 1?分
6?个东部地区空气质量为良的有上海,石家庄?2?个城市 --------3?分
1
? --------------------------------------4?分
6 3
(Ⅱ)“优”类城市有?2?个,“轻度污染”类城市有?4?个.4?分
根据题意的所有可能取值为:1,?2,?3?. ………………5?分
C1C?2 1
P(?1) 4 2 ,?P(?2)
C?3 5
6
C?2C1
4?2
C?3
6
3
5
,?P(?3)
C?3C?0
4?2
C?3
6
1
5
.…8?分
?的分布列为:
?
1?2?3
P
1
5
3
5
1
5
所以?E?1?
------------------------10?分
1?3?1
232?.………………11?分
5?5?5
2? ------------------14?分(III)?S?
2? ------------------14?分
1
2
2?x
2?xf?'(x)2e?x2?xex22?x
解:(I)?m0?时,?f?(?x)
3
2e?xe?xe?x---------------3?分
2
ex0?设切点为x0?,
ex0
?
?
2?x
0
,
e?x0则切线方程为?y2?x
e?x0
e?x0
22?x0xx
0
-----------------------------5?分
e?x0? e?x0?0,0点代入,2?x022?x0?x化简解得?
e?x0? e?x0
0 0
kf?0?2 ------------7?分
(II)法?1:?由题意知?f?(?x)
2
且存在?x0?使得?f?(?x0?)
e2
2?xm2
?
e?x?e2
在[1,2]上恒成立,-------------9?分
整理得?m2?x
2
e2
e?x
--------------------11?分
令?g?
令?gx2?x?2e?x?,则?m?为?gx在[1,2]上的最大值---------12?分
e2
g?x2
2
e2
e?x?,在[1,2]上单调递减,令?gx0x2
所以?gx0?在[1,2]上恒成立,当且仅当?g2?0 -------13?分
所以?gx?在[1,2]上单调递增,所以?gx?在[1,2]上的最大值为?g2?2
所以?m2 --------------------15?分
(法?2:?f′?x)= , -----------------------8?分
(
①当?m+2≥4,即?m≥2?时,f′(x)>0?在(1,2)上恒成立,
故?f(x)在(1,2)上单调递增,则?f(x)在[1,2]上的最大值为?f(2)=
,
故?m=2,满足?m≥2; ----------------------------------?10?分
②当?m+2≤2,即?m≤0?时,f′(x)<0?在(1,2)上恒成立,
故?f(x)在(1,2)上单调递减,则?f(x)在[1,2]上的最大值为?f(1)= ,
故?m=2﹣ ,不满足?m≤0,舍去;?------------------------12?分
③当?2<m+2<4,即?0<m<2?时,由?f′(x)=0?可得?x=
x 时,f′(x)>0;当?x 时,f′(x)<0,
4
.
故?f(x)的最大值为fm?2 m?2,即?即?f(x)在[1, )上单调递增,在( ,2]上单调递减,
故?f(x)的最大值为f
m?2 m?2,即
?
m2 m2m 2
? ?
2? ?
2
e?2 e?2
,?---?--14?分
所以,m=2,不满足?0<m<2,舍去.
综上可知,m=2. -----------------15?分
20.(本小题满分?14?分)
5 c b2
解:(Ⅰ)因为椭圆的离心率为 ,所以 1
3 a a2
5?4
?,整理得?b2a2?.
3?9
x2 y2 33?
x2 y2 33? ?
,1,
故椭圆的方程为?a2
.由已知得椭圆过点
a ?2
?
所以27
4a 4a
所以椭圆的?E?方程为 1?.……………………5?分
4 2
9
9
? 1?,解得?a29?,
2 2
x2 y?2
9 4
(Ⅱ)由题意得直线?l?的方程为?ykx1?.………………6?分
设?Ax?,?y,?Bx?,?y
1 1 2 2
?,?AB?的中点?Cx?,?y
0?0
? ?由x2 y?2
? ?
由x2 y?2 消去?y?整理得49k?2x?218kx270?,
?
?
1
9 4
其中(18k)2427(49k?2?)432(3k?21)0?.
2? 49k?
2? 49k?2
1 2
18k
49k?2
,?x?x?
1?2
27
49k?2
,所以
xx9k
x1?2
0
,…………9?分
,
,∴点?C?的坐标为?C4? 9
,∴点?C?的坐标为?C
4? 9k 4 ?
.………………10?分
0 0
,
49k?249k?2?49k?2
假设在?x?轴存在点?Mm,0,使得AMB?是以?AB?为底的等腰三角形,
则点?Mm,0为线段?AB?的垂直平分线与?x?轴的交点.
yx①当?k0?时,则过点
yx
?
5
19k4
?
k?49k?249k?2
,
4? .9k令?y0?,则得?xm
4? .
9k
5k?5
49k?2
k
5
若?k0?,则?49k
k
?
55
?5
4?12?,∴m0?.………………11?分
2?9k12
k
5
若?k0?,则?4
k9k
5
4
?9k
k
5?5
12?,∴?0m?.………………12?分
12
②当?k0?时,则有?m0?.…………………………13?分
? 5? 5所以存在点?
? 5? 5
所以存在点?M?满足条件,且?m?的取值范围是
1212
解:
?
,
.……………………14?分
(Ⅰ)有序整点列?A?(0,2),?A
1 2
理由如下:
(3,0),?A?(5,2)?与?B?(0,2),?B?(2,5),?B?(5,2)?互为正交点列.
3?1?2?3
-------------------------1?分
由题设可知
B ?A?A(3,?2),?A?A(2,2)?,?B?B(2,3),?B(3,?3)
B ?
1?2?2?3?1?2?2?3
因为
A?A?B?B0?,?A?A?B?B0
1?2?1?2?2?3?2?3
所以?A?AB?B?,A?AB?B?.
1 2 1 2 2 3 2 3
所以整点列?A?(0,2),?A?(3,0),?A?(5,2)?与?B?(0,2),?B?(2,5),?B?(5,2)?互为正交点列.
1 2 3 1 2 3
----------------------------4?分
A(Ⅱ)证明?:由题意可得 A?A(3,1),A?A(3,?1),?A(3,1),
A
1?2 2 3 3 4
设点列?B?,?B
1 2
,?B?,?B?是点列?A?,?A?,?A?,?A?的正交点列,
3?4?1?2?3?4
3?Z-+-=9 ① …………………………8?分B则可设?B?B(?1,3),?B?B
3?Z
-+-=9 ①
…………………………8?分
B
1 2 1 2 3 2 3 4 3 1 2
因为?A?与B?,?A?与B?相同,所以有
1 1 4 4
1 2 3
3?1?+3?2?+3?3?=1?②
因为,,?Z?,方程②不成立,
1 2 3
所以有序整点列?A?(0,0),?A
1 2
(3,1),A?(6,0),?A?(9,1)不存在正交点列.----------10?分
3?4
6
(Ⅲ)存在无正交点列的整点列?A(5)?. -------------------------------------------11?分
i i当?n5?时,设?A?A
i i
(a?,?b?),?a?,?bZ,?其中?a?,b?是一对互质整数,?i1,2,3,4
i?i?i?i?i?i
若有序整点列?B?,?B
1 2
,?B?,?B?,?B?是点列?A?,?A?,?A?,?A?,?A?的正交点列,
3?4?5?1?2?3?4?5
?(?b
?(?b?,?a?),i1,2,3,4,由?AA
?B?B
i i?1
i?i?i?i?i1
4
i?=1
4
i?1
i?i+1
?b
?ba?,①
i?=1
得 ……………………13?分
ab?.? ②
? i?i i
i?1
4 4
i i i
i?=1 i?1
取?A?(0,0),?a?=3,i1,2,3,4?,?b2,b?1,b1,b?1
1 i 1 2 3 4
由于?B?,?B
1 2
,?B?,?B?,?B?是整点列,所以有Z?,?i1,2,3,4?.
3?4?5?i
等式②中左边是?3?的倍数,右边等于?1,等式不成立,
所以存在无正交点列的整点列?A(5)?. -------------------------------14?分
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