武汉市2018届高中毕业生四月调研测试理科数学
时间：2020-09-17 16:14:42 来源：勤学考试网 本文已影响 人 
武汉市 2018 届高中毕业生四月调研测试
理科数学
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的 .
1.
复数
5 的共轭复数是（
）
i
2
A． 2 i
B
． 2 i
C
． 2 i
D
． 2 i
2.
已知集合 M
{ x | x2
1} ，N
{ x | ax
1} ，若 N
M
，则实数 a 的取值集合为 （
）
A． {1}
B
． {
1,1}
C
． {1,0}
D
． {1, 1,0}
3.
执行如图所示的程序框图，如果输入的
t [ 2,2] ，则输出的 S 属于（
）
A． [ 4,2]
B． [ 2,2]
C． [ 2,4]D． [ 4,0]
4. 某几何体的三视图如图所示，
则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，
它们之间距离的
最大值为（
）
A． 3 B ． 6 C ． 2 3 D ． 2 6
一张储蓄卡的密码共有 6 位数字，每位数字都可以从 0 9 中任选一个，某人在银行自动
提款机上取钱时， 忘记了密码最后一位数字，
如果任意按最后一位数字，
不超过 2 次就按对
的概率为（
）
A． 2
B
． 3
C
． 1
D
． 1
5
10
5
10
6. 若实数 a ，b 满足 a
b 1， m
loga (loga b) ，n
(log a b) 2 ，l
log a b2 ，则 m， n ，
l 的大小关系为（ ）
A． m l n B ． l n m C ． n l m
D ． l m n
7. 已知直线 y kx 1 与双曲线 x2 y2 4 的右支有两个交点，则 k 的取值范围为（ ）
A． (0,
5 )
B
． [1,
5 ]
C
． (
5 ,
5 )
D
． (1,
5 )
2
2
2
2
2
8. 在
ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对应边分别为
a ， b ， c ，条件 p
： a
b
c
，条件 q ：
B
C
2
p 是条件 q 成立的（
）
A
，那么条件
2
A．充分而不必要条件
B
．必要而不充分条件
C．充要条件
D
．既不充分也不必要条件
9. 在 (x
1 1)6 的展开式中，含
x5 项的系数为（
）
x
A． 6
B
． 6
C
． 24
D
． 24
10. 若 x ， y 满足 x 1
2 y
1 2 ，则 M
2x2
y 2
2x 的最小值为（
）
A． 2
B
． 2
C
． 4
D
．
4
11
9
11. 函数 f ( x)
2sin(
x)(
0) 的图象在 [0,1]
上恰有两个最大值点，则
的取值范
3
围为（
）
． [2
, 4 ]
B
．
[2 ,
9
13
25
D
．
25
2
6
6
6
12. 过点 P(2,
1) 作抛物线 x2
4 y 的两条切线， 切点分别为 A ， B ， PA ， PB 分别交 x 轴
于 E ， F 两点， O 为坐标原点，则
PEF 与
OAB 的面积之比为（
）
A．
3
B
．
3
C
1
D
．
3
．
2 3 2 4
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 .
13.
已知 sin
2cos ，则 sin
cos
．
14.
已知向量
a ， b ， c 满足 a
b
2c 0
，且 a
1 ， b 3 ， c
2 ，则
a b 2a c
2b c
．
15.
已知 x (
,
) ， y f (x)
1为奇函数，
f '( x)
f (x) tan x
0 ，则不等式
2
2
f ( x) cos x 的解集为
．
16.
在四面体 ABCD 中， AD
DB
AC
CB
1，则四面体体积最大时，它的外接球半
径 R
．
三、解答题：共
70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 第 17 题～
第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答
. 第 22 题～第 23 题为选考题，考
生根据要求作答 .
（一）必考题：共 60 分.
17.
已知正数数列 { an } 满足： a1
2 ， an
an 1
2n
1
2) .
an
2 (n
an 1
（1）求 a2 ， a3；
（2）设数列 {bn} 满足 bn (an 1)2 n2 ，证明：数列 { bn } 是等差数列，并求数列 { an } 的通
an .
18. 如图，在棱长为
3 的正方体
1 1 1
中， E ， F 分别在棱
AB ， CD 上，且
ABCD A1 BC D
AE CF 1 .
（1）已知 M 为棱 DD1 上一点，且 D1M 1，求证： B1M 平面 A1 EC1 .
（2
）求直线
FC1 与平面 A1 EC1 所成角的正弦值 .
19.
已知椭圆
： x2
y2
1 ，过点 P(1,1)作倾斜角互补的两条不同直线
l1 ， l 2 ，设 l1 与椭
4
2
圆
交于 A 、 B 两点， l 2 与椭圆
交于 C ， D 两点 .
（1）若 P(1,1) 为线段 AB 的中点，求直线 AB 的方程；
（2
）记
AB
的取值范围 .
，求
CD
20.
在某市高中某学科竞赛中，某一个区
4000 名考生的参赛成绩统计如图所示 .
（1）求这 4000 名考生的竞赛平均成绩 x （同一组中数据用该组区间中点作代表） ；
（2）由直方图可认为考生竞赛成绩 z 服正态分布 N ( , 2 ) ，其中 ， 2 分别取考生的平
均成绩 x 和考生成绩的方差 s2 ，那么该区 4000 名考生成绩超过 84.41 分（含 84.81 分）的
人数估计有多少人？
（3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考
生中随机抽取
4
名考生，记成绩不超过
，求 P(
3) . （精确到
．．． 84.81 分的考生人数为
0.001
）
附：①
2
204.75 ，
204.75
14.31
；
② z
N (
,
2 ) ，则 P(
z
) 06826.，P(2
z
2 ) 0.9544；
0.84134 0.501.
21. 已知函数
( )
x
(ln
) ， a R .
f x
xe a x
x
（1）当 a e时，求 f (x) 的单调区间；
（2）若 f ( x) 有两个零点，求实数 a 的取值范围 .
（二）选考题：共 10 分. 请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按
所做的第一题记分 . 作答时请写清题号 .
22.[ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 ]
在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，
l 的极
坐标方程为
(cos
2sin
) 10
x
3cos
为参数，
R ） .
， C 的参数方程为
2sin
（
y
（1）写出 l 和 C 的普通方程；
（2）在 C 上求点 M ，使点 M 到 l 的距离最小，并求出最小值 .
23.[ 选修 4-5 ：不等式选讲 ]
已知 f ( x)
ax 2
x 2 .
（1）在 a
2时，解不等式
f ( x)
1；
（2）若关于
x 的不等式 4
f ( x)
4 对 x R 恒成立，求实数
a 的取值范围 .
武汉市 2018 届高中毕业生四月调研测试
理科数学参考答案
一、选择题
1-5: BDABC 6-10: BDABD 11 、 12： CC
二、填空题
13.
2
14.
13
15.
(0,
)
15
5
16.
2
6
三、解答题
17. （ 1）由已知 a2
3
2 ，而 a1
2，
a1
a1
a2
∴ a2
2
22
3
2(a2
2) ，即 a2
2
2a2
3
0 .
而 a2
0 ，则 a2
3
.
又由 a3
a2
5
2 ， a2
3 ，
a3
a2
∴ a32
9 5 2( a3 3) ，即 a32
2a3
8 0 .
而 a3
0 ，则 a3
4 .
∴ a2
3 ， a3
4 .
（2）由已知条件可知：
an2
an2
1
2( an
an 1 ) 2n 1，
∴ (an
1)2
(an
1 1)2
n2
(n
1)
2 ，
则 (an
1)2
n2
(an 1
1)2
(n
1)
2
(a3
1)2
22
( a2
1)2
12
，
而 b
(a
n
1)2
n2 ，
n
∴ b
0 ，数列
{ b } 为等差数列 .
n
n
∴ (an 1)2
n2 . 而 an
0 ，
an n 1.
18. 解：（ 1）过
M 作
MT
AA1
于点 T ，连
1
，则
1
1
.
B T
AT
易证：
AA1 E
A1 BT1
，于是
AA1E
A1BT1 .
由
A1 BT
ATB
1
90
，知
AA E
ATB
1
90
，
1
1
1
1
∴ A1 E
BT1 .
显然 MT
面 AAB11B ，而 A1E
面 AA1 B1B ，
∴ MT
A1E ，又 BT1
MT
T ，
∴ A1 E
面 MTB ，∴ A1 E MB1 .
连 B1 D1 ，则 B1D1
AC11 .
又 D1M
AC11 ， B1 D1
D1M
D1 ，
∴ AC11
面 MD1B1 ，
AC
MB
∴ 1 1
1 .
由 A1 E
MB1， AC11
MB1 ， A1E AC11
A1 ，
B1 M 面 A1EC1 .
（2）在 D1C1 上取一点 N ，使 ND1 1 ，连接 EF .
易知 A1E / /FN .
∴ VA
EFC
VN
EFC
1
VE
NFC
1
1
1
1
S NFC
3
1 ( 1
2
3)
3
3
.
3
1
3
2
对于
A1 EC1 ，
1
1
3 2
，
1
10
，
AC
A E
而 EC1
22 ，
由余弦定理可知 cos
EAC1 1
10
18
22
1 .
2
10
3
2
20
∴ A1 EC1 的面积 S
1 A1C1
A1E sin
EA1C
1
3
2
10
19
3
19 .
2
2
20
2
由等体积法可知
F 到平面
A1 EC1 之距离 h 满足
1
VA1 EFC1
1
3
h
3 ，∴ h
6
S A1EC1 h
，则
3
19
19
，
3
2
又 FC1
10 ，设 FC1
与平面 AEC1
所成角为
，
∴ sin
6
19
6
3 190
.
10
190
95
19. 解：（ 1）设直线 AB 的斜率为 k
tan
，方程为 y
1
k ( x
1) ，代入 x2
2 y2
4中，
∴ x2
2[kx
( k
1)]2
4
0.
∴ (1
2k 2 )x2
4k (k
1)x
2(k
1)2
4
0
.
判别式
[4( k
1)k ]2
4(2k 2 1)[2(k
1)2
4]
8(3k 2
2k
1).
A( x1, y1 ) ， B( x2 , y2 ) ，则
x1
x2
4k( k
1)
2k 2
1
2(k
1)2
.
x1x2
4
2k
2
1
AB 中点为 (1,1) ，
∴ 1 (x1 x2 )
2k(k 1)
1 ，则 k
1 .
2
2k2
1
2
∴直线的 AB 方程为 y
1
1 ( x 1) ，即 x
2 y
1
0 .
2
（2）由（ 1）知 AB
1
k 2 x1
x2
( x1
x2 )2
4x1 x2
1
k 2
8(3k2
2k
1)
.
2k 2
1
设直线的 CD 方程为 y 1
k (x
1)(k
0)
.
同理可得 CD
1
k 2
8(3k2
2k
1)
2k 2
1
.
AB
3k
2
2k
1 (k
∴
0) .
CD
3k 2
2k
1
∴
2
1
4k
1
4
.
3k2
1
2k
1
3k
2
1
k
令 t
3k
，
k
则 g (t ) 1
4 ， t (
, 2 3] [2 3,
) .
t
2
g(t ) 在 (
, 2
3]
， [2
3,
) 分别单调递减，
∴ 2
3 g (t) 1 或 1 g (t) 2
3 .
故 2
3
2
1 或 1
2
2
3 .
即
[ 6
2 ,1)
(1,
6
2
2 ] .
2
解：（ 1）由题意知：
中间值
45
55
65
75
85
95
概率
0.1
0.15
0.2
0.3
0.15
0.1
∴ x 45
0.1 55 0.15 65 0.2
75 0.3
85
0.15
95 0.1
70.5 ，
∴ 4000 名考生的竞赛平均成绩
x 为 70.5 分 .
（2）依题意 z 服从正态分布
N ( ,
2 ) ，其中
x
70.5
，
2
D 204.75 ， 14.31 ，
∴ z 服从正态分布 N (
, 2 )
N (70.5,14.312 ) ，
而 P(
z
) P(56.19 z 84.81)
0.6826 ，
∴ P( z
1
0.6826
0.1587
.
84.81)
2
∴竞赛成绩超过 84.81 分的人数估计为
0.1587 4000 634.8 人
634 人 .
（3）全市竞赛考生成绩不超过
84.81 分的概率 1
0.1587 0.8413 .
B(4,0.8413) ，
∴ P(
3) 1 P(
4) 1 C44 0.8413 4
1 0.501 0.499 .
解：（ 1）定义域为： (0,) ，
当 a
e时， f
'( x)
(1
x)( xex
e)
x
.
∴ f (x) 在
(0,1)
时为减函数；在
(1,
) 时为增函数 .
（2）记 t
ln x
x ，则 t
ln x
x
在 (0,
) 上单增，且 t R .
∴ f (x)
xex
a(ln x
x)
et
at
g(t) .
∴ f (x) 在
x
0
上有两个零点等价于
g(t )
et
at 在 t
R 上有两个零点 .
①在 a
0
时， g(t )
et
在 R 上单增，且 g (t )
0 ，故 g(t) 无零点；
②在 a
0
时，
'( )
t
e
a
在
R
上单增，又
g(0) 1
0
，
g t
g( 1 )
1
ea
1
0，故 g(t ) 在 R 上只有一个零点；
a
③在 a
0 时，由
t
0 可知 g(t) 在 t
g
t
e
a
ln a 时有唯一的一个极小值
'( )
g(ln a)
a(1
ln a) .
若 0
a
e， g最小
a(1
ln a)
0 ， g(t ) 无零点；
若
a
，
g最小
0
， g(t ) 只有一个零点；
e
若 a
e时， g最小
a(1
ln a) 0
，而 g (0)
1
0
，
由于 f ( x)
ln x 在
x e
时为减函数，可知：
a
时， ea
ae
a2
.
x
e
从而 g(a)
ea
a2
0 ，
∴ g (x) 在 (0,ln
a) 和 (ln a,
) 上各有一个零点 .
综上讨论可知：
a
e时 f (x) 有两个零点，即所求
a 的取值范围是 (e,
) .
22. 解：（ 1）由 l ：
cos
sin
10 0
，及 x
cos
， y
sin .
∴ l 的方程为 x
2 y
10
0 .
由 x
3cos ， y
2sin
，消去
得 x2
y2
1.
9
4
（2）在 C 上取点 M (3cos
,2sin
) ，则
3cos
d
cos 0
其中
sin 0
4sin
10
1
0 ) 10 .
5
5cos(
5
3
，
4
5
当
0 时， d 取最小值
5 .
此时 3sin3cos
9
， 2sin
2cos
8
9
8
0
0
0
， M (
, ) .
5
5
5
5
23.
1
时，
2x 2
x
2 1 .
解：（ ）在 a 2
在 x
1时， (2 x 2)
(x
2) 1 ，∴ 1 x
5；
在 x 2 时， (2 x 2) ( x 2) 1， x 3 ，∴ x无解；
在 2 x
1 时，
(2 x
2) ( x 2) 1， x
1 ，∴
1
x 1 .
3
3
综上可知：不等式
f (x)
1的解集为
1
x 5} .
{ x |
3
（2）∵ x
2
ax 2
4 恒成立，
而 x 2
ax
2
(1
a) x ，
或 x 2
ax 2
(1
a)x 4 ，
故只需
(1 a)x
4 恒成立，或
(1 a) x
4
4 恒成立，
∴ a
1 或 a
1
.
∴ a 的取值为
1或
1 .
