2020高考数学(理科)二轮专题复习课标通用版跟踪检测：概率与统计含答案x
时间：2020-11-26 12:31:36 来源：勤学考试网 本文已影响 人 
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2020高考数学（理科）二轮专题复习课标通用版跟踪检测：
概率与统计 含答案
编 辑： __________________
时 间： __________________
1/11
一部分 专题 6 第2讲
题型 对应题号
1.古典概型与几何概型 4,5,11,12
2.相互独立事件和独立重复试验 2,3
3.离散型随机变量的分布、期望与方差 1,6,7,8,9,10,13
基础热身 (建议用时： 40 分钟 )
1． (20xx ·桂林模
2
拟)在某项测试中，测量结果 ξ服从正态分布 N(1，σ)(σ>0)，若 P(0<ξ<1)＝0.4，则
P(0<ξ<2)＝(
)
A．0.4
B． 0.8
C．0.6
D．0.2
2/11
解析 由正态分布的图象和性质得 P(0<ξ<2)＝2P(0<ξ<1)＝2×0.4＝ 0.8.故
选B项．
2． (20xx ·湖北武汉调
研)小赵、小钱、小孙、小李到
4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件
A为“ 4
个人去的景点不相同”，事件
B为“小赵独自去一个景点”，则
P(A|B)＝(
)
2
1
A ．9
B． 3
4
5
C．9
D．9
解析 小赵独自去一个景点共有 4× 3× 3× 3＝108(种)情况，即 n(B)＝
108,4 个人去的景点不同的情况有 A4＝4×3×2×1＝24(种)，即 n(AB)＝24，所
以 P(A|B)＝错误! ＝错误 ! ＝错误 ! .故选 A 项．
3． (20xx ·广东广州调
研)已知甲袋中有 1个黄球和 1个红球，乙袋中有 2个黄球和 2个红球，现随机从甲
袋中取出 1个球放入乙袋中，再从乙袋中随机取出 1个球，则从乙袋中取出的球是
红球的概率为 ( )
1
1
A ．3
B． 2
5
2
C．9
D．9
解析 设事件 A 为“从甲袋中取出 1 个红球放入乙袋中，再从乙袋中取出
1 个红球”，事件 B 为“从甲袋中取出 1 个黄球放入乙袋中，再从乙袋中取出 1
1 3 1 2 1
个红球”，根据题意知所求概率为 P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝ 2×5＋2×5＝2.故选
B 项．
4．某公司安排甲、乙、丙、丁 4人到 A， B，C三个城市出差，每人只去一个
城市，且每个城市必须有人去，则
A城市恰好只有甲 1人去的概率为 ()
1
1
A ．5
B． 4
1
1
C．3
D．6
3/11
解析 由题意知，其中一个城市必须有 2 人去，即把 4 人分成 3 组，每组
分别有 2 人、 1 人、 1 人，共有 C24种分法，再将他们分到三个城市，共有 C24A3 种分法．若 A 城市恰好只有甲 1 人，则把剩下的 3 人分成 2 组，每组分别有 2 人、 1 人，有 C23种分法，再将他们分到 B，C 两个城市，共有 C23A2种分法，因
C23A2 1
此所求概率 P＝C24A3＝6.故选 D 项．
5．某电视台每天 11：30～ 12：00播放“中国梦”主题的纪录片，在此期间
会随机播出 4分钟完整的有关中国梦的歌曲，小刘
11：43开始观看该电视台，则
他听到完整的有关中国梦歌曲的概率是
()
1
17
A ．3
B． 30
2
1
C．15
D．2
D 解析 由题意可知，该电视台开始播放有关中国梦的歌曲的时间是
11：
30～ 11：56，时长 26 分钟，小刘能听到完整歌曲的时间为
11：43～11： 56，共
13 1
13 分钟，所以所求概率为 26＝2.故选 D 项．
6． (20xx ·浙江
1
卷)已知随机变量 ξi满足 P(ξi＝1)＝pi ，P(ξi＝0)＝1－ pi ，i＝ 1,2.若0<p1<p2<2，则 (
)
A ．E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)
B．E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)
C．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)
D．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)
解析 根据题意得 ξi(i＝ 1,2)服从两点分布，所以 E(ξi)＝ pi ，D(ξi)＝pi (1－
1
pi)， i＝1,2，因为 0<p1<p2 <2，所以 E(ξ1)<E(ξ2)．令 f(x)＝x(1－x)，则 f(x)在
1
0， 2 上单调递增，所以 f(p1)<f(p2)，即 D(ξ1)<D(ξ2)．故选 A 项．
7．某种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1
000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 2粒，补种的种子数记为 X，则 X的
数学期望为 ________.
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解析 记不发芽的种子数为 Y，则 Y～B(1 000,0.1)，所以 E(Y)＝1 000×0.1＝100.又 X＝2Y，所以 E(X)＝E(2Y)＝2E(Y)＝200.
答案 200
8．若离散型随机变量 X的分布列为
X0
1
P
a
a2
2
2
则X的数学期望 E(X)＝________.
a
a2
解析 因为分布列中概率和为
1，所以 2＋ 2 ＝1，即 a2＋a－2＝0，解得 a＝
1
2(舍去 )或 a＝1，所以 E(X)＝ 2.
答案
1
2
9． (20xx ·湖南师大附中月
考)在湖南师大附中的校园歌手大赛决赛中，有 6位参赛选手 (1号至 6号 )登台演出，由现场的 100位同学投票选出最受欢迎的歌手，各位同学须彼此独立地在投票
器上选出 3位候选人，其中甲同学是 1号选手的同班同学，必选 1号，另在 2号至 6 号选手中随机选 2名；乙同学不欣赏 2号选手，必不选 2号，在其他 5位选手中随机选出 3名；丙同学对 6位选手的演唱没有偏爱，因此在 1号至 6号选手中随机选出 3 名．
(1)求甲同学选中 3号且乙同学未选中 3号选手的概率；
(2)设3号选手得到甲、乙、丙三位同学的票数之和为 X，求 X的分布列和数学
期望．
解析 设 A 表示事件“甲同学选中 3 号选手”， B 表示事件“乙同学选中 3 号选手”， C 表示事件“丙同学选中 3 号选手”．
C14 2 C24 3
(1)由题意可得 P(A)＝C25＝5，P(B)＝C35＝ 5，
2
3
4
所以 P(A B )＝P(A)P( B )＝5× 1－5
＝ 25.
C25
1
(2)由题意可得 P(C)＝C36＝
2.
5/11
X 可能的取值为 0,1,2,3，
2 3 1 3 2 1 3
则 P(X＝0)＝P( A B C )＝ 1－5 × 1－5 × 1－2 ＝5×5×2＝25，
2 2 1 3 3 1 3 2
P(X＝1)＝P(A B C )＋P( A B C )＋P( A B C)＝5×5×2＋5×5×2＋5×5
19
×2＝50，
2 3 1 2 2 1 3 3 1
P(X＝2)＝P(AB C )＋P(A B C)＋P( A BC)＝5×5×2＋5×5×2＋5×5×2＝
1950，
2 3 1 3
P(X＝3)＝P(ABC)＝5×5× 2＝ 25.
所以 X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
3
19
19
3
25
50
50
25
3
19
19
3
3
所以 X 的数学期望 E(X)＝0×25＋1×50＋ 2× 50＋3×25＝ 2.
10．(20xx ·北京
卷)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月 A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了 100人，发现样本中 A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用 A和仅使用 B的学生的支付金额分布情况如表所示．
支付金额 /元
(0,1 000]
(1 000,2 000]
大于 2 000
支付方式
仅使用 A
18人
9人
3人
仅使用 B
10人
14人
1人
(1)从全校学生中随机抽取 1人，估计该学生上个月 A， B两种支付方式都使用的概率；
6/11
(2)从样本仅使用 A和仅使用 B的学生中各随机抽取 1人，以 X表示这 2人中上个月支付金额大于 1 000元的人数，求 X的分布列和数学期望；
(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用 A的学生中，随机抽查 3人，发现他们本月的支付金额都大于 2
000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用 A的学生中本月支付金额大于 2
000元的人数有变化？说明理由．
解析 (1)由题意知，样本中仅使用 A 的学生有 18＋9＋3＝30(人)，仅使用 B 的学生有 10＋14＋1＝ 25(人)， A， B 两种支付方式都不使用的学生有 5 人．
故样本中 A，B 两种支付方式都使用的学生有 100－30－ 25－5＝40(人)．所以从全校学生中随机抽取 1 人，该学生上个月 A， B 两种支付方式都使用
40
的概率估计为 100＝0.4.
(2)X 的所有可能取值为 0,1,2.记事件 C 为“从样本仅使用 A 的学生中随机抽取 1 人，该学生上个月的支付金额大于 1 000 元”，事件 D 为“从样本仅使用 B 的学生中随机抽取 1 人，该学生上个月的支付金额大于 1 000 元”．
9＋3
由题设可知，事件 C， D 相互独立，且 P(C)＝ 30 ＝0.4，
14＋1
P(D)＝ 25 ＝0.6，
所以 P(X＝2)＝P(CD)＝P(C)P(D)＝0.24，
P(X＝1)＝P(C D ∪ C D)＝P(C)P( D )＋P( C )P(D)＝0.4× (1－0.6)＋(1－
0.4)×0.6＝0.52，
P(X＝0)＝P( C D )＝P( C )P( D )＝0.24.
所以 X 的分布列为
X
0
1
2
P
0.24
0.52
0.24
数学期望 E(X)＝0×0.24＋ 1× 0.52＋2× 0.24＝ 1.
(3)记事件 E 为“从样本仅使用 A 的学生中随机抽查 3 人，他们本月的支付
金额都大于 2 000 元”．
假设样本仅使用 A 的学生中，本月支付金额大于 2 000 元的人数没有变化，
7/11
C3 1
则由上个月的样本数据得 P(E)＝C30＝4 060 .
答案示例 1：可以认为有变化．理由如下：
P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于 2 000 元的人数发生了变化，所以可以认为有变化．
答案示例 2：无法确定有没有变化．理由如下：
事件 E 是随机事件， P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．
能力提升 (建议用时： 25 分钟 )
11．(20xx ·广东六校联
考)我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种
花纹，构成种类繁多的图案．如图所示的窗棂图案，是将半径为 R的圆六等分，
分别以各等分点为圆心，以 R为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形．现在
向该圆形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在阴影部分的概率是 ________.
8/11
解析 因为阴影部分面积为 12× 1π
－ ×
3R 1
＝ (2π－ 3
3)R2 ，圆的面
6
R2 R
2 ×2
积为 πR2 ，所以飞镖落在阴影部分的概率为
错误! ＝2－错误 ! .
3
3
答案 2－ π
12．(20xx ·福建适应性练
习)关于圆周率 π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验
和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计 π的值：先请
120名同学每人随机写下一个都小于 1的正实数对 (x，y)；再统计两数能与 1构成钝角三角形三边的数对 (x，y)的个数 m；最后再根据统计数 m估计 π的值．假如统计结果是 m＝ 34，那么可以估计 π的值约为 ________.
解析 如图，由题意知点 (x，y)在以 OA，OB 为邻边的正方形内部，即
0<x<1，
且正方形面积为 S正＝ 1，又 x，y,1 能构成钝角三角形的三边，则
0<y<1，
π 1
x＋ y>1，
π 1
S阴
4 －2
x2＋y2<1，
如图阴影部分所示，面积为 S阴 ＝ 4 － 2，由题意可得 S正＝
1
34
47
＝120，解得 π＝ 15.
9/11
答案
47
15
13．(20xx ·全国卷
) 治 某种疾病，研制了甲、乙两种新 ，希望知道哪种新 更有效， 此 行 物 ． 方案如下：每一 取两只白鼠 效 行 比 ． 于两只白鼠，随机 一只施以甲 ，另一只施以乙 ．一 的治 果得出后，再
安排下一 ．当其中一种 治愈的白鼠比另一种 治愈的白鼠多 4只 ，就停止 ，并 治愈只数多的 更有效． 了方便描述 ， 定： 于每
，若施以甲 的白鼠治愈且施以乙 的白鼠未治愈， 甲 得1分，乙 得
－1分；若施以乙 的白鼠治愈且施以甲 的白鼠未治愈， 乙 得 1分，甲 得－1分；若都治愈或都未治愈， 两种 均得 0分．甲、乙两种 的治愈率分 α和β，一 中甲 的得分 X.
(1)求X的分布列；
(2)若甲 、乙 在 开始 都 予 4分， pi(i ＝0,1，2，?， 8)表示“甲 的累 得分 i ，最 甲 比乙 更有效”的概率， p0＝0，p8＝1，pi ＝
api －1 ＋bpi ＋cpi ＋1(i ＝1,2，?， 7)，其中 a＝P(X＝－ 1)， b＝ P(X＝0)， c＝P(X＝ 1)
．假 α＝0.5，β＝0.8.
① 明： { pi＋1－pi}( i＝ 0,1,2，?， 7) 等比数列；
②求 p4，并根据 p4的 解 种 方案的合理性．
解析 (1)X 的所有可能取 － 1,0,1.
P(X＝－ 1)＝ (1－α)β，
P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，
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P(X＝1)＝α(1－β)，
所以 X 的分布列
X－ 1
0
1
(1－ α)βαβ＋(1－ α)(1－β)α(1－ β)
(2)① 明：由 (1)得 a＝0.4，b＝ 0.5， c＝ 0.1.
因此 pi ＝0.4pi － 1＋ 0.5pi＋ 0.1pi＋ 1，
故 0.1(pi＋ 1－ pi )＝0.4(pi－ pi －1)，即 pi ＋ 1－pi＝4(pi－ pi －1)．又因 p1－p0＝
p1≠0，所以 { pi ＋1－pi }( i＝ 0,1， 2，?， 7)是公比 4，首 p1 的等比数列．②由①可得 p8 ＝p8－p7＋ p7 －p6＋?＋ p1－ p0＋p0＝(p8－p7)＋(p7 －p6)＋?＋
48－1
(p1－p0)＝ p1.
3
3
由于 p8 ＝1，故 p1＝48－ 1，
44－1 1
所以 p4 ＝(p4 －p3 )＋ (p3－p2 )＋(p2 －p1)＋(p1－p0)＝ 3 p1＝257.
p4 表示最 甲 更有效的概率，
由 算 果可以看出，在甲 治愈率 0.5，乙 治愈率 0.8 ， 甲
1
更有效的概率 p4 ＝257≈0.003 9，
此 得出 的概率非常小， 明 种 方案合理．
11/11
