立体几何证明平行方法总结计划及专题训练学生
时间：2020-11-27 16:29:48 来源：勤学考试网 本文已影响 人 
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立体几何证明平行的方法及专题训练
立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为
线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法
1） 通过“平移”。
2） 利用三角形中位线的性质。
3） 利用平行四边形的性质。
4） 利用对应线段成比例。
5） 利用面面平行的性质，等等。
通过“平移”再利用平行四边形的性质
1．如图，四棱锥 P－ ABCD 的底面是平行四边形， 点 E、F 分 别为棱 AB、 PD 的中点．求证 AF∥平面 PCE；
P
分析取 PC 的中点 G，连 EG.， FG，则易证 AEGF 是平行四边形
F
A D
E
B C
（ 1 题图）
2、如图，已知直角梯形 ABCD 中， AB∥ CD， AB⊥ BC， AB＝ 1， BC＝ 2， CD＝1＋ 3 ，
过 A 作 AE⊥ CD，垂足为 E， G、 F 分别为 AD、 CE 的中点，现将 △ ADE 沿 AE 折叠，使得 DE⊥ EC.
（Ⅰ）求证 BC⊥ 面 CDE； （Ⅱ）求证 FG∥ 面 BCD；
.
.
D E F C
G
A B
分析取 DB 的中点 H，连 GH,HC 则易证 FGHC 是平行四边形
3、已知直三棱柱 ABC－ A1B1C1 中， D, E, F 分别为 AA 1, CC1, AB 的中点，
为 BE 的中点 , AC⊥ BE. 求证
（Ⅰ） C1D⊥ BC； （Ⅱ） C1D∥ 平面 B1FM.
分析连 EA，易证 C1 EAD 是平行四边形，于是 MFEA
D
G
F
C
E
A B
C1
B1
E
M
C
B
F
A1
D
A
4、如图所示 , 四棱锥 P ABCD底面是直角梯形 , BA AD, CD
AD , CD=2AB, E为 PC
的中点 , 证明: EB平面PAD;
分析 :取 PD 的中点 F，连 EF,AF则易证 ABEF 是
平行四边形
.
.
利用三角形中位线的性质
5、如图，已知
E、 F 、G、M 分别是四面体的棱 AD、 CD、BD、BC的中点，求
证 AM ∥平面 EFG 。
A
分析法一连
MD 交 GF 于 H，易证 EH 是△ AMD 的中位线
E
法二证平面
EGF∥ 平面 ABC，从而 AM ∥ 平面 EFG
B
G
F
D
M
C
6、如图，直三棱柱 ABC
ABC ，
BAC
9 ，
AB AC2,
′ ，点 M，N 分别为
和
C
的中
AA=1
A B
B
点。
7．如图，三棱柱 ABC— A1B1C1 中， D 为 AC 的中点 .
求证 AB1 面 BDC1；
分析连 B1C 交 BC1 于点 E，易证 ED 是
△ B1AC 的中位线
.
.
8、如图 ,直三棱柱 ABC-A 1B1C1 中 ,D,E 分别是 AB,BB1 的中点 .证明 :
BC1 平面 A1CD;
分析此题与上面的是一样的， 连结 AC1 与 A1C 交 F,连结 DF，则 DFBC 1
9、如图所示，四边形
ABCD 是平行四边形，点
P 是平面 ABCD 外一
点， M 是 PC的中点，在 DM 上取一点 G，过 G 和 AP 作平面交平面
BDM
于
.求证
∥ .
GH
AP GH
利用平行四边形的性质
1．正方体 ABCD—A1 B1C1D1 中 O 为正方形 ABCD的中心，求证 D1O 平面 A1BC1;
.
.
D
1
11、在四棱锥 P-ABCD 中， AB∥ CD，AB=
DC， E为PD 中点 .A
2
求证 AE∥平面 PBC；
E
B
C
P
12、在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为平行四边形，∠ ACB=9 ，ＥＡ⊥平面Ａ
ＢＣＤ， EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ .ＡＢ=２ＥＦ .
（Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ ; （Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ ,求二面角Ａ - ＢＦ - Ｃ的大
小．
利用对应线段成比例
13、如图 S 是平行四边形 ABCD 平面外一点， M 、 N 分别是 SA、 BD 上的点，
AM BN
（1）=， 求证 MN ∥平面 SDC
SM ND
AM DN
（2） , 求证 MN ∥平面 SBC
SM BN
.
.
（6） 利用面面平行
15、如图，三棱锥 P ABC 中， E 为 PC 的中点， M 为 AB 的中点，点 F 在 PA 上，
且 AF 2FP. 求证 CM 平面 BEF；
16、如图 , 在直三棱柱 ABC A1B1C1中， AC 3， BC 4 ， AB 5, AA1 4 ，点 D 是
AB 的中点，
（ 1）求证 AC BC1；（ 2）求证 AC1 平面 CDB 1；
（ 3）求三棱锥 C1 CDB1 的体积。
分析 :取 A1B1 的中点 E，连结 C1E 和 AE，易证
C1E∥ CD,AE∥ DB1，则平面 AC1 E∥DB1C,于是
AC1 平面 CDB1
.
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17 在长方体 ABCD A1 B1C1 D1 中 , AB
BC 1,AA1 2,
点M 是BC的中点 ,点N是 AA1的中点.
A1
D 1
(1)
求证 : MN 平面 A1CD ;
B1
C1
(2)
过 N ,C , D 三点的平面把长方体 ABCD
A1B1C1 D1
截成
N
两部分几何体 , 求所截成的两部分几何体的体积的比值 .
A
D
B M C
.
