2021届江苏省扬州市高三上学期期中调研数学试卷x
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江苏省扬州市2021届高三上学期期中检测
数学试题
2020．11
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．已知复数z满足(1﹣i)z＝2，i为虚数单位，则z等于
A．1﹣iB．1＋iC．D．
2．已知集合A＝，B＝，则AB＝
A．[﹣1，0]B．[0，1]C．(0，2]D．[0，2]
3．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．b＜c＜a
4．已知函数，则的值为
A．2B．3C．4D．5
5．函数的图象大致为
6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．根据下列条件解三角形，其中有两个解的是
A．a＝8，b＝10，A＝45°B．a＝60，b＝81，B＝60°
C．a＝7，b＝5，A＝80°D．a＝14，b＝20，A＝45°
7．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥
细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失
矣”．这可视为中国古代极限思想的佳作．割圆术可以视为将一个
圆内接正n边形等分成n个等腰三角形（如图所示），当n变得很大
时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积．运用割圆术的思想，
可得到sin2°的近似值为（取近似值3.14）
A．0.035B．0.026C．0.018D．0.033
8．已知一个球的半径为3，则该球内接正六棱锥的体积的最大值为
A．B．C．D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．下列命题中正确的是
A．命题“xR，sinx≤1”的否定是“xR，sinx＞1”
B．“a＞l”是“”的充分不必要条件
C．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋b2＞c2，则△ABC为锐角三角形
D．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2A＝sin2B，则A＝B
10．若函数的图象向右平移个单位得到的图象对应的函数为，则下列说法中正确的是
A．的图象关于对称
B．当x[0，]时，的值域为[，]
C．在区间(，)上单调递减
D．当x[0，]时，方程＝0有3个根
11．已知函数的定义域为R，为奇函数，且，则
A．B．
C．D．在区间[0，50]上至少有25个零点
12．已知正数x，y，z满足，则下列说法中正确的是
A．B．
C．D．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．已知幂函数的图象过点(2，)，则曲线在点(1，1)处的切线方程为
．
14．在△ABC中，∠BAC＝，AB＝2，AC＝3，，则＝ ．
15．黄金比例，用希腊字母表示，借用古希腊数学家欧几里德的话：当整条线段的长度与线段中较长段的比例等于较长段与较短段的比例时，就是根据黄金比例来分割一线段．从下图我们可以更直观地感受黄金比例：
用A，B分别表示较长段与较短段的线段长度，于是将欧几里德的描述用代数方法表示出来：，从而可以解出的值．类似地，可以定义其他金属比例．假设把线段分成n＋1段，其中有n段长度相等，记这n段的每一段长为A，而剩下的一段长为B（长度较短的）．如果A与B之比等于整条线段的长与A之比，我们用来表示这个比例，即．对于n(n)的每个值对应一个，则称为金属比例．当n＝1时，即为黄金比例，此时；当n＝2时，即为白银比例，我们用希腊字母表示该比例，则＝ ．
16．已知函数，其中a＞0，若函数有两个零点，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
在①a＝，②S＝cosB，③C＝这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并对其进行求解．
问题：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，bcosA＝acosC＋ccosA，b＝1， ，求c的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）求的最小正周期及对称中心；
（2）若，且(，)，求cos2的值．
19．（本小题满分12分）
已知函数(a＞0且a≠1)是定义在R上的奇函数．
（1）求实数k的值；
（2）若，且不等式对任意t[﹣1，1]成立，求实数x的取值范围．
20．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，四边形ABB1A1和AA1CC1均为菱形，平面ABB1A1⊥平面AA1C1C，∠A1AC＝，∠A1AB＝，E为棱AA1上一点，BE⊥AA1．
（1）求证：BE⊥A1C1；
（2）设AB＝2，求二面角B—CC1—A的余弦值．
21．（本小题满分12分）
某校从高二年级随机抽取了20名学生的数学总评成绩和物理总评成绩，记第i位学生的成绩为(，)(i＝1，2，3，…，20)，其中，分别为第i位学生的数学总评成绩和物理总评成绩．抽取的数据列表如下（按数学成绩降序整理）：
（1）根据统计学知识，当相关系数时，可视为两个变量之间高度相关．根据抽取的数据，能否说明数学总评成绩与物理总评成绩高度相关？请通过计算加以说明．
参考数据：，，．
参考公式：相关系数r＝．
（2）规定：总评成绩大于等于85分者为优秀，小于85分者为不优秀，对优秀赋分1，对不优秀赋分0，从这20名学生中随机抽取2名学生，若用X表示这2名学生两科赋分的和，求X的分布列和数学期望．
22．（本小题满分12分）
已知函数，．
（1）当x≥时，若不等式＞0恒成立，求正整数m的值；
（2）当x≥0时，判断函数的零点个数，并证明你的结论．
参考数据：≈4.8
江苏省扬州市2021届高三上学期期中检测
数学试题
2020．11
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．已知复数z满足(1﹣i)z＝2，i为虚数单位，则z等于
A．1﹣iB．1＋iC．D．
答案：B
2．已知集合A＝，B＝，则AB＝
A．[﹣1，0]B．[0，1]C．(0，2]D．[0，2]
答案：D
3．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．b＜c＜a
答案：A
4．已知函数，则的值为
A．2B．3C．4D．5
答案：B
5．函数的图象大致为
答案：C
6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．根据下列条件解三角形，其中有两个解的是
A．a＝8，b＝10，A＝45°B．a＝60，b＝81，B＝60°
C．a＝7，b＝5，A＝80°D．a＝14，b＝20，A＝45°
答案：A
7．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．这可视为中国古代极限思想的佳作．割圆术可以视为将一个圆内接正n边形等分成n个等腰三角形（如图所示），当n变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积．运用割圆术的思想，可得到sin2°的近似值为（取近似值3.14）
A．0.035B．0.026C．0.018D．0.033
答案：A
8．已知一个球的半径为3，则该球内接正六棱锥的体积的最大值为
A．B．C．D．
答案：C
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．下列命题中正确的是
A．命题“xR，sinx≤1”的否定是“xR，sinx＞1”
B．“a＞l”是“”的充分不必要条件
C．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋b2＞c2，则△ABC为锐角三角形
D．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2A＝sin2B，则A＝B
答案：AB
10．若函数的图象向右平移个单位得到的图象对应的函数为，则下列说法中正确的是
A．的图象关于对称
B．当x[0，]时，的值域为[，]
C．在区间(，)上单调递减
D．当x[0，]时，方程＝0有3个根
答案：AC
11．已知函数的定义域为R，为奇函数，且，则
A．B．
C．D．在区间[0，50]上至少有25个零点
答案：ABD
12．已知正数x，y，z满足，则下列说法中正确的是
A．B．
C．D．
答案：ACD
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．已知幂函数的图象过点(2，)，则曲线在点(1，1)处的切线方程为
．
答案：
14．在△ABC中，∠BAC＝，AB＝2，AC＝3，，则＝ ．
答案：
15．黄金比例，用希腊字母表示，借用古希腊数学家欧几里德的话：当整条线段的长度与线段中较长段的比例等于较长段与较短段的比例时，就是根据黄金比例来分割一线段．从下图我们可以更直观地感受黄金比例：
用A，B分别表示较长段与较短段的线段长度，于是将欧几里德的描述用代数方法表示出来：，从而可以解出的值．类似地，可以定义其他金属比例．假设把线段分成n＋1段，其中有n段长度相等，记这n段的每一段长为A，而剩下的一段长为B（长度较短的）．如果A与B之比等于整条线段的长与A之比，我们用来表示这个比例，即．对于n(n)的每个值对应一个，则称为金属比例．当n＝1时，即为黄金比例，此时；当n＝2时，即为白银比例，我们用希腊字母表示该比例，则＝ ．
答案：
16．已知函数，其中a＞0，若函数有两个零点，则实数a的取值范围是 ．
答案：0＜a＜1或a≥7
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
在①a＝，②S＝cosB，③C＝这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并对其进行求解．
问题：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，bcosA＝acosC＋ccosA，b＝1， ，求c的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：在△ABC中，因为，
所以根据正弦定理得，
所以，因为，所以
选择①，由余弦定理得，解得，
选择②，，所以
所以，即，解得
选择③，，因为，
所以由得．
18．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）求的最小正周期及对称中心；
（2）若，且(，)，求cos2的值．
解：（1）
所以的最小正周期，
由，得，，所以的对称中心为，．
（2）由得，因为，所以，
所以，
所以．
19．（本小题满分12分）
已知函数(a＞0且a≠1)是定义在R上的奇函数．
（1）求实数k的值；
（2）若，且不等式对任意t[﹣1，1]成立，求实数x的取值范围．
解：（1）方法1：因为是R上的奇函数，所以，解得，
下面检验，此时，故，所以为奇函数
方法2：因为为奇函数，所以，即，
即，所以，解得．
（2）由得，解得，
所以是R上的减函数，
因为为奇函数，所以由得
，
因为是R上的减函数，所以对任意成立
令，则对任意成立，
等价于，
解得，所以x的取值范围是．
20．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，四边形ABB1A1和AA1CC1均为菱形，平面ABB1A1⊥平面AA1C1C，∠A1AC＝，∠A1AB＝，E为棱AA1上一点，BE⊥AA1．
（1）求证：BE⊥A1C1；
（2）设AB＝2，求二面角B—CC1—A的余弦值．
解：（1）因为平面ABB1A1⊥平面AA1C1C，BE⊥AA1，
BE平面ABB1A1，平面ABB1A1平面AA1C1C＝AA1，
所以BE⊥平面AA1C1C，
又因为C1A1平面AA1C1C，所以BE⊥A1C1；
（2）作EF⊥CC1于F，因为BE⊥CC1，BEEF＝E，BE平面BEF，
EF平面BEF，所以CC1⊥平面BEF，因为BF平面BEF，所以BF⊥CC1，
所以∠BFE即为二面角B—CC1—A的平面角，
在菱形ABB1A1中，由AB＝2，∠BAA1＝，可求得BE＝，
在菱形AA1C1C中，由AB＝2，∠A1AC＝，可求得EF＝，
所以在Rt△BEF中，EF＝，BF＝，故可求得cos∠BFE＝，
所以二面角B—CC1—A的余弦值为．
21．（本小题满分12分）
某校从高二年级随机抽取了20名学生的数学总评成绩和物理总评成绩，记第i位学生的成绩为(，)(i＝1，2，3，…，20)，其中，分别为第i位学生的数学总评成绩和物理总评成绩．抽取的数据列表如下（按数学成绩降序整理）：
（1）根据统计学知识，当相关系数时，可视为两个变量之间高度相关．根据抽取的数据，能否说明数学总评成绩与物理总评成绩高度相关？请通过计算加以说明．
参考数据：，，．
参考公式：相关系数r＝．
（2）规定：总评成绩大于等于85分者为优秀，小于85分者为不优秀，对优秀赋分1，对不优秀赋分0，从这20名学生中随机抽取2名学生，若用X表示这2名学生两科赋分的和，求X的分布列和数学期望．
解：（1）
所以“数学学期综合成绩”与“物理学期综合成绩”高度相关，
（2）由题意得：X的可能取值为0，1，2，3，4．
根据赋分规则可知，7个人赋分为2，4个人赋分为1，9个人赋分为0
所以，，
，，．
所以X的分布列为：
所以．
22．（本小题满分12分）
已知函数，．
（1）当x≥时，若不等式＞0恒成立，求正整数m的值；
（2）当x≥0时，判断函数的零点个数，并证明你的结论．
参考数据：≈4.8
解：（1）分离参数得，当时，不等式恒成立，
令，则，
所以在上递增，所以，
因为，所以正整数m的值为1，
（2）当x≥0时，函数有2个零点
证明如下：显然，所以0是的一个零点，
①当时，，所以无零点；
②当时，，令，
则，所以在上递增
又，，所以存在唯一使得
所以当时，，故递减；当时，，故递增；
因为，所以，又，
所以存在唯一使得
综上得：当x≥0时，函数有2个零点．
