2021高考数学（文）2　统计与统计案例 随机事件概率、古典概型、几何概型

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专题限时集训(二)　统计与统计案例 随机事件的概率、古典概型、几何概型

1．(2017·全国卷Ⅰ)为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是(　　)

A．x1，x2，…，xn的平均数

B．x1，x2，…，xn的标准差

C．x1，x2，…，xn的最大值

D．x1，x2，…，xn的中位数

B　[评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差，故选B．]

2．(2019·全国卷Ⅲ)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为(　　)

A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8

C　[由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90－80＋60＝70，则其与该校学生人数之比为70÷100＝0.7.故选C．]

3．(2018·全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为(　　)

A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7

B　[设“只用现金支付”为事件A，“既用现金支付也用非现金支付”为事件B，“不用现金支付”为事件C，则P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.45－0.15＝0.4.故选B．]

4．(2016·全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为(　　)

A．eq \f(7,10) B．eq \f(5,8) C．eq \f(3,8) D．eq \f(3,10)

B　[如图，若该行人在时间段AB的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯．AB长度为40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为eq \f(40－15,40)＝eq \f(5,8)，故选B．]

5．(2020·全国卷Ⅲ)设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1,10x2，…，10xn的方差为(　　)

A．0.01 B．0.1 C．1 D．10

C　[由方差计算公式：x1，x2，…，xn的方差为s2，则ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2，因为s2＝0.01，则所求方差为100s2＝1.故选C．]

6．(2019·全国卷Ⅱ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为(　　)

A．eq \f(2,3) B．eq \f(3,5) C．eq \f(2,5) D．eq \f(1,5)

B　[设其中做过测试的3只兔子为a，b，c，剩余的2只为A，B，则从这5只中任取3只的所有取法有{a，b，c}，{a，b，A}，{a，b，B}，{a，c，A}，{a，c，B}，{a，A，B}，{b，c，A}，{b，c，B}，{b，A，B}，{c，A，B}，共10种．

其中恰有2只做过测试的取法有{a，b，A}，{a，b，B}，{a，c，A}，{a，c，B}，{b，c，A}，{b，c，B}，共6种，

所以恰有2只做过测试的概率为eq \f(6,10)＝eq \f(3,5)，故选B．]

7．(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论错误的是(　　)

A．月接待游客量逐月增加

B．年接待游客量逐年增加

C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

A　[根据折线图可知，2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都在减少，所以A错误．由图可知，B、C、D正确．]

8．(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(　　)

A．eq \f(1,4) B．eq \f(π,8) C．eq \f(1,2) D．eq \f(π,4)

B　[不妨设正方形边长为a，由图形的对称性可知，太极图中黑、白部分面积相等，即各占圆面积的一半．由几何概型概率的计算公式得，所求概率为eq \f(\f(1,2)×π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq \s\up12(2),a2)＝eq \f(π,8)，选B．]

9．(2016·全国卷Ⅲ)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是(　　)

A．eq \f(8,15) B．eq \f(1,8) C．eq \f(1,15) D．eq \f(1,30)

C　[∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，

∴事件总数有15种．

∵正确的开机密码只有1种，∴P＝eq \f(1,15).]

10．(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　　)

A．eq \f(1,10) B．eq \f(1,5) C．eq \f(3,10) D．eq \f(2,5)

D　[如下表所示，表中的点的横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数：

1

2

3

4

5

1

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(1,5)

2

(2,1)

(2,2)

(2,3)

(2,4)

(2,5)

3

(3,1)

(3,2)

(3,3)

(3,4)

(3,5)

4

(4,1)

(4,2)

(4,3)

(4,4)

(4,5)

5

(5,1)

(5,2)

(5,3)

(5,4)

(5,5)

总计有25种情况，满足条件的有10种．

所以所求概率为eq \f(10,25)＝eq \f(2,5).]

11．(2018·全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

建设前经济收入构成比例　建设后经济收入构成比例

则下面结论中不正确的是(　　)

A．新农村建设后，种植收入减少

B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

A　[设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；新农村建设前其他收入为0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和占经济收入的30%＋28%＝58%＞50%，所以超过了经济收入的一半，所以D正确．故选A．]

12．(2016·全国卷Ⅰ)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是(　　)

A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,2) C．eq \f(2,3) D．eq \f(5,6)

C　[从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花在同一花坛的种数有：红紫—白黄、黄白—红紫，共2种，故所求概率为P＝1－eq \f(2,6)＝eq \f(2,3)，故选C．]

13．(2019·全国卷Ⅰ)某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是(　　)

A．8号学生 B．200号学生

C．616号学生 D．815号学生

C　[根据题意，系统抽样是等距抽样，

所以抽样间隔为eq \f(1 000,100)＝10.

因为46除以10余6，所以抽到的号码都是除以10余6的数，结合选项知应为616.故选C．]

14．(2018·全国卷Ⅲ)某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．

分层抽样　[因为客户的数量较大，且不同年龄段客户对服务评价有较大的差异，所以应该选择分层抽样．]

15．(2019·全国卷Ⅱ)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．

0.98　[由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为10×0.97＋20×0.98＋10×0.99＝39.2，其中高铁个数为10＋20＋10＝40，所以该站所有高铁平均正点率约为eq \f(39.2,40)＝0.98.]

1．(2020·广州模拟)如果数据x1，x2，…，xn的平均数为eq \x\to(x)，方差为82，则5x1＋2,5x2＋2，…，5xn＋2的平均数和方差分别为(　　)

A．eq \x\to(x)，82 B．5eq \x\to(x)＋2,82

C．5eq \x\to(x)＋2,25×82 D．eq \x\to(x)，25×82

C　[∵数据x1，x2，…，xn的平均数为eq \x\to(x)，方差为82，∴5x1＋2,5x2＋2，…，5xn＋2的平均数为：5eq \x\to(x) ＋2,5x1＋2,5x2＋2，…，5xn＋2的方差为25×82.故选C．]

2.(2020·银川模拟)为了调查不同年龄段女性的平均收入情况，研究人员利用分层抽样的方法随机调查了A地[20,65]岁的n名女性，其中A地各年龄段的女性比例如图所示．若年龄在[20,50)岁的女性被抽取了40人，则年龄在[35,65]岁的女性被抽取的人数为(　　)

A．50 B．10 C．25 D．40

C　[由题意，设抽到的年龄在[35,65]岁的女性人数为x，

则eq \f(x,40)＝eq \f(30%＋20%,30%＋50%)＝eq \f(5,8)，解得x＝25，故选C．]

3．(2020·洛阳模拟)甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为50%，甲不输的概率为80%，则甲、乙下成平局的概率为(　　)

A．60% B．50% C．30% D．10%

C　[甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为50%，甲不输的概率为80%，则甲、乙下成平局的概率为：80%－50%＝30%.故选C．]

4．(2020·邯郸模拟)为了调查高一学生在分班选科时是否选择物理科目与性别的关系，随机调查100名高一学生，得到2×2列联表如表：

选择“物理”

选择“历史”

总计

男生

35

20

55

女生

15

30

45

总计

50

50

100

附：K2＝eq \f(n?ad－bc?2,?a＋bc＋da＋cb＋d?)

P(K2≥k0)

0.050

0.010

0.001

k0

3.841

6.635

10.828

由此得出的正确结论是(　　)

A．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“选择物理与性别有关”

B．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“选择物理与性别无关”

C．有99.9%的把握认为“选择物理与性别有关”

D．有99.9%的把握认为“选择物理与性别无关”

A　[由题意可知，

K2＝eq \f(100×?15×20－30×35?2,?15＋35?×?15＋30?×?30＋20?×?35＋20?)≈9.091＞6.635，

所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“选择物理与性别有关”，或有99%的把握认为“选择物理与性别有关”．故选A．]

5．(2020·洛阳模拟)在边长为4的正方形的边上随机取一点，则该点到正方形中心的距离小于eq \r(5)的概率是(　　)

A．eq \f(1,6) B．eq \f(1,5) C．eq \f(1,4) D．eq \f(1,2)

D　[如图，作OC⊥AB于C，OD＝eq \r(5)，则

CD＝eq \r(OD2－OC2)＝eq \r(?\r(5)?2－22)＝1.

故该点到正方形中心的距离小于eq \r(5)的概率是：eq \f(2CD,AB)＝eq \f(1,2)，故选D．]

6．(2020·石家庄模拟)某学校为进行一项调查，先将高三年级800名同学依次编号为1,2,3，…，800，然后采用系统抽样的方法等距抽取20名同学，已知抽取到了25号，则下列号码没被抽到的是(　　)

A．185 B．315 C．465 D．625

B　[采用系统抽样的方法从800名学生中抽取20名学生进行调査，将他们随机编号为1,2,3，…，800，

则抽样间隔为eq \f(800,20)＝40，

∵随机抽到的号码数为25，∴应抽取的号码为：25＋40(n－1)＝40n－15.(n为正整数)．经检验，只有选项B对应的n不是整数．故选B．]

7．(2020·齐齐哈尔一模)已知一组数据的茎叶图如图所示．下列说法错误的是(　　)

A．该组数据的极差为12

B．该组数据的中位数为21

C．该组数据的平均数为21

D．该组数据的方差为11

D　[由题意，极差为26－14＝12，中位数为21，

平均数为eq \f(1,9)(14＋18＋20＋20＋21＋22＋23＋25＋26)＝21，

方差为eq \f(1,9)[(14－21)2＋(18－21)2＋…＋(26－21)2]＝eq \f(106,9)，D错误，故选D．]

8．(2020·石家庄模拟)雷达图(RadarChart)，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图(SpiderChart)，原先是财务分析报表的一种，现可用于对研究对象的多维分析．图为甲、乙两人在五个方面的评价值的雷达图，则下列说法错误的是(　　)

A．甲、乙两人在次要能力方面的表现基本相同

B．甲在沟通、服务、销售三个方面的表现优于乙

C．在培训与销售两个方面上，甲的综合表现优于乙

D．甲在这五个方面的综合表现优于乙

C　[由雷达图可知，乙在培训方面的数据大于甲，乙在销售方面的数据小于甲，显然C选项的分析错误．故选C．]

9．(2020·长治一模)根据党中央关于“精准脱贫”的要求，某市农业经济部门派三位专家对A，B，C三个县区进行调研，每个县区派一位专家，则甲专家恰好派遣至A县区的概率为(　　)

A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,3) C．eq \f(1,6) D．eq \f(2,3)

B　[某市农业经济部门派三位专家对A，B，C三个县区进行调研，每个县区派一位专家，

故调研的情况的基本事件总数为ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA，六种情况，

甲专家恰好派遣至A县区的情况为ABC，ACB，两种情况，则甲专家恰好派遣至A县区的概率为：eq \f(2,6)＝eq \f(1,3)，故选B．]

10．(2020·临沂模拟)下列说法中正确的是(　　)

A．先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m，然后抽取编号为m＋50，m＋100，m＋150…的学生，这样的抽样方法是分层抽样法

B．线性回归直线eq \o(y,\s\up7(^))＝eq \o(b,\s\up7(^))x＋eq \o(a,\s\up7(^))不一定过样本中心(eq \x\to(x)，eq \x\to(y))

C．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1

D．若一组数据1，a,3的平均数是2，则该组数据的方差是eq \f(2,3)

D　[A错误，是系统抽样；B错误，线性回归直线eq \o(y,\s\up7(^))＝eq \o(b,\s\up7(^))x＋eq \o(a,\s\up7(^))一定过样本中心点(eq \x\to(x)，eq \x\to(y))；C错误，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数|r|的值越接近于1；对于D，一组数据1，a,3的平均数是2，∴a＝2，∴该组数据的方差是s2＝eq \f(1,3)×[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]＝eq \f(2,3)，D正确．故选D．]

11．(2020·碑林区校级模拟)虚拟现实(VR)技术被认为是经济发展的新增长点，某地区引进VR技术后，VR市场收入(包含软件收入和硬件收入)逐年翻一番，据统计该地区VR市场收入情况如图所示，则下列说法错误的是(　　)

A．该地区2019年的VR市场总收入是2017年的4倍

B．该地区2019年的VR硬件收入比2017年和2018年的硬件收入总和还要多

C．该地区2019年的VR软件收入是2018年的软件收入的3倍

D．该地区2019年的VR软件收入是2017年的软件收入的6倍

D　[设2017年VR市场总收入为1，该地区2019年的VR市场总收入为4，是2017年的4倍，故A正确； 2017年和2018年的硬件收入总和为1×0.9＋2×0.8＝2.5＜4×0.7＝2.8，故B正确；2019年的VR软件收入1.2是2018年的软件收入0.4的3倍，故C正确； 2019年的VR软件收入是2017年的软件收入的12倍，故D错误．故选D．]

12．(2020·西安模拟)从5个同类产品(其中3个正品，2个次品)中，任意抽取2个，下列事件发生概率为eq \f(9,10)的是(　　)

A．2个都是正品 B．恰有 1 个是正品

C．至少有 1 个正品 D．至多有 1 个正品

C　[从5个同类产品(其中3个正品，2个次品)中，任意抽取2个，基本事件总数n＝10，

在A中，2个都是正品的概率P1＝eq \f(3,10)，故A错误；

在B中，恰有 1 个是正品的概率P2＝eq \f(3,5)，故B错误；

在C中，至少有 1 个正品的概率P3＝1－eq \f(1,10)＝eq \f(9,10)，故C正确；

在D中，至多有 1 个正品的概率：P4＝eq \f(7,10).故选C．]

13．(2020·广东实验中学模拟)某公司针对新购买的50 000个手机配件的重量随机抽出1 000台进行检测，如图是根据抽样检测后的重量(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中配件重量的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．用样本估计总体，则下列说法错误的是(　　)

A．这批配件重量的平均数是101.30 (精确到0.01)

B．这批配件重量的中位数是在[100,101]之间

C．a＝0.125

D．这批配件重量在[96,100)范围的有15 000 个

B　[由已知图可知：(0.05＋0.075＋0.1＋a＋0.15)×2＝1，解得a＝0.125，故C正确；

故估计手机配件的重量的平均数为97×0.1＋99×0.2＋101×0.3＋103×0.25＋105×0.15＝101.30(克)，故A正确；

设中位数为x，则0.1＋0.2＋(x－100)×0.15＝0.5，x＝101.33，故B错误；

这批配件重量在[96,100)范围的有50 000×0.15×2＝15 000 个，故D正确．故选B．]

14．(2020·麒麟区二模)已知变量x与变量y的取值如表所示，且2.5＜m＜n＜6.5，则由该数据算得的线性回归方程可能是(　　)

x

2

3

4

5

y

2.5

m

n

6.5

A．eq \o(y,\s\up7(^))＝0.8x＋2.3 B．eq \o(y,\s\up7(^))＝2x＋0.4

C．eq \o(y,\s\up7(^))＝－1.5x＋8 D．eq \o(y,\s\up7(^))＝－1.6x＋10

A　[由表格中的数据可知，两个变量是正相关关系，所以排除C、D选项．

eq \x\to(x)＝eq \f(2＋3＋4＋5,4)＝3.5，

eq \x\to(y)＝eq \f(2.5＋m＋n＋6.5,4)＝eq \f(9＋m＋n,4)∈(3.5,5.5)，

把eq \x\to(x)＝3.5分别代入A、B选项，

对于A，有eq \o(y,\s\up7(^))＝0.8×3.5＋2.3＝5.1∈(3.5,5.5)，符合题意；对于B，有eq \o(y,\s\up7(^))＝2×3.5＋0.4＝7.4?(3.5,5.5)，不符合题意．故选A．]

15．(2020·济阳模拟)已知样本x1，x2，…，xn的平均数为x；样本y1，y2，…，ym的平均数为y(x≠y)，若样本x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym的平均数z＝ax＋(1－a)y；其中0<a<eq \f(1,2)，则n，m(n，m∈N*)的大小关系为________．

n<m　[由题意得z＝eq \f(1,n＋m)(nx＋my)＝eq \f(n,n＋m)x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(n,n＋m)))y，∴a＝eq \f(n,n＋m)，

∵0<a<eq \f(1,2)，∴0<eq \f(n,n＋m)<eq \f(1,2)，∴n<m.]

16．(2020·福州模拟)小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖．假设小王和外卖小哥都在12：00～12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是________．

eq \f(3,8)　[设小王和外卖小哥分别到达小王楼下的时间为12点x分，12点y分，

则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0≤x≤10，,0≤y≤10，))其区域是以10为边长的正方形，面积10×10＝100，

小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟，即0≤y－x≤5，其表示区域为如图所示阴影部分．

其面积为eq \f(1,2)(100－5×5)＝eq \f(75,2)，

故所求概率P＝eq \f(75,2×100)＝eq \f(3,8).

]

17．(2020·毕节市模拟)2019年7月1日，《上海市生活垃圾管理条例》正式实施，生活垃圾要按照“可回收物”“有害垃圾”“湿垃圾”“干垃圾”的分类标准进行分类，没有对垃圾分类或未投放到指定垃圾桶内都会被处罚．若某上海居民提着厨房里产生的“湿垃圾”随意地投收到楼下的“可回收物”“有害垃圾”“湿垃圾”，“干垃圾”四个垃圾桶内，则该居民会被处罚的概率为________．

eq \f(3,4)　[由题意知，基本事件总数n＝4，

该居民会被处罚包含的基本事件个数m＝3，

则该居民会被处罚的概率为p＝eq \f(3,4).]

18．(2020·保定一模)恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重．据某机构预测，n(n≥10)个城市职工购买食品的人均支出y(千元)与人均月消费支出x(千元)具有线性相关关系，且回归方程为y＝0.4x＋1.2，若其中某城市职工的人均月消费支出为5千元，则该城市职工的月恩格尔系数约为________．

64%　[把x＝5代入回归方程y＝0.4x＋1.2中，得y＝0.4×5＋1.2＝3.2，则该城市职工的月恩格尔系数约为eq \f(3.2,5)＝0.64＝64%.]