2020年高考数学精练：9.3 变量间相互关系与统计案例
时间：2020-10-12 12:28:09 来源：勤学考试网 本文已影响 人 
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(时间60分钟，满分80分)
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)
1．下列说法中正确的有( )
①若r>0，则x增大时，y也相应增大
②若r<0，则x增大时，y也相应增大
③若r＝1或r＝－1，则x与y的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个点均在一条直线上
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
解析：若r>0，表示两个相关变量正相关，x增大时，y也相应增大，故①正确．r<0，表示两个变量负相关，x增大时，y相应减小，故②错误．|r|越接近1，表示两个变量相关性越高，|r|＝1表示两个变量有确定的关系(即函数关系)，故③正确．
答案：C
2．下面关于K2说法正确的是( )
A．K2在任何相互独立的问题中都可以用于检验有关还是无关
B．K2的值越大，两个事件的相关性就越大
C．K2是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当K2的值很小时可以推断两类变量不相关
D．K2的观测值的计算公式是K2＝eq \f(n?ad－bc?,?a＋bc＋da＋cb＋d?)
解析：K2只适用于2×2型列联表问题，且K2只能推断两个分类变量相关，但不能推断两个变量不相关．选项D中K2公式错误，分子上少了平方．
答案：B
3．已知一组观测值(xi，yi)作出散点图后确定具有线性关系，若对于eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(b,\s\up6(^))x＋eq \o(a,\s\up6(^))，求得eq \o(b,\s\up6(^))＝0.51，eq \x\to(x)＝61.75，eq \x\to(y)＝38.14，则回归方程为( )
A.eq \o(y,\s\up6(^))＝0.51x＋6.65 B.eq \o(y,\s\up6(^))＝6.65x＋0.51
C.eq \o(y,\s\up6(^))＝0.51x＋42.30 D.eq \o(y,\s\up6(^))＝42.30x＋0.51
解析：∵eq \o(b,\s\up6(^))＝0.51，eq \o(a,\s\up6(^))＝eq \x\to(y)－eq \o(b,\s\up6(^))eq \a\vs4\al(\x\to(x))≈6.65，∴eq \o(y,\s\up6(^))＝0.51x＋6.65.
答案：A
4．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，数据(略)，由此建立的身高与年龄的回归模型为y＝7.19x＋73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是( )
A．身高一定是145.83 cm B．身高在145.83 cm以上
C．身高在145.83 cm左右 D．身高在145.83 cm以下
解析：用回归模型y＝7.19x＋73.93，只能作预测，其结果不一定是个确定值．
答案：C
5．下列四个命题正确的是( )
①线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；
②残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；
③用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好；
④随机误差e是衡量预报精确度的一个量，它满足E(e)＝0.
A．①③ B．②④
C．①④ D．②③
解析：线性相关系数r满足|r|≤1，并且|r|越接近1，线性相关程度越强；|r|越接近0，线性相关程度越弱，故①错误；③相关指数是度量模型拟合效果的一种指标．相关指数越大，模型拟合效果越好．故②④正确．
答案：B
6．某市政府调查市民收入增减与旅游愿望的关系时，采用独立性检验法抽查了3 000人，计算发现K2＝6.023，则根据这一数据查阅下表，市政府断言市民收入增减与旅游愿望有关系的可信程度是( )
P(K2≥k)
…
0.25
0.15
0.10
0.02
0.010
0.005
…
k
…
1.323
2.072
2.706
5.024
6.635
7.879
…
A．90% B．95%
C．97.5% D．99.5%
解析：∵K2＝6.023＞5.024，∴可断言市民收入增减与旅游愿望有关系的可信程度为97.5%.
答案：C
二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)
7．某五星级大饭店的住屋率x(%)与每天每间客房的价格y(元)关系如下：
x
100
75
65
55
50
y
2 000
2 500
2 800
3 200
4 000
则y关于x的回归直线方程是________________．
解析：根据回归方程的参数公式计算可得．
答案：eq \o(y,\s\up6(^))＝5 317.1942－35.0 318 x
8．已知x，y之间的一组数据如下表：
x
2
3
4
5
6
y
3
4
6
8
9
对于表中数据，现给出如下拟合直线：①y＝x＋1、②y＝2x－1、③y＝eq \f(8,5)x－eq \f(2,5)、④y＝eq \f(3,2)x，则根据最小二乘法的思想得拟合程度最好的直线是________(填序号)．
解析：由题意知eq \x\to(x)＝4，eq \x\to(y)＝6，∴eq \o(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )?xi－\x\to(x)yi－\x\to(y)?,\i\su(i＝1,n, )?xi－\x\to(x)?2)＝eq \f(8,5)，
∴eq \o(a,\s\up6(^))＝eq \x\to(y)－eq \o(b,\s\up6(^)) eq \x\to(x)＝－eq \f(2,5)，∴eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \f(8,5)x－eq \f(2,5)，∴选③.
答案：③
9．已知回归方程eq \o(y,\s\up6(^))＝4.4x＋838.19，则可估计x与y的增长速度之比约为________．
解析：x与y的增长速度之比即为回归方程的斜率的倒数eq \f(1,4.4)＝eq \f(10,44)＝eq \f(5,22).
答案：eq \f(5,22)
三、解答题(共3小题，满分35分)
10．在某地区的12～30岁居民中随机抽取了10个人的身高和体重的统计资料如下表：
身高(cm)
143
156
159
172
165
171
177
161
164
160
体重(kg)
41
49
61
79
68
69
74
69
68
54
根据上述数据，画出散点图并判断居民的身高和体重之间是否有相关关系．
解：以x轴表示身高，y轴表示体重，可得到相应的散点图如图所示：
由散点图可知，两者之间具有相关关系，且为正相关．
11．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归方程y＝eq \o(b,\s\up6(^))x＋eq \o(a,\s\up6(^))；
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)
解：(1)如图所示：
(2)eq \i\su(i＝1,4,x)iyi＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，
eq \o(x,\s\up6(—))＝eq \f(3＋4＋5＋6,4)＝4.5，
eq \o(y,\s\up6(—))＝eq \f(2.5＋3＋4＋4.5,4)＝3.5，
eq \i\su(i＝1,4,x)eq \o\al(2,i)＝32＋42＋52＋62＝86，
eq \o(b,\s\up6(^))＝eq \f(66.5－4×4.5×3.5,86－4×4.52)＝eq \f(66.5－63,86－81)＝0.7，
eq \o(a,\s\up6(^))＝eq \o(y,\s\up6(—))－eq \o(b,\s\up6(^)) eq \o(x,\s\up6(—))＝3.5－0.7×4.5＝0.35.
故线性回归方程为y＝0.7x＋0.35.
(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100＋0.35＝70.35，
故能耗减少了90－70.35＝19.65(吨标准煤)．
12．某学校课题组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩(满分100分)如下表所示：
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
数学成绩
95
75
80
94
92
65
67
84
98
71
物理成绩
90
63
72
87
91
71
58
82
93
81
序号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
数学成绩
67
93
64
78
77
90
57
83
72
83
物理成绩
77
82
48
85
69
91
61
84
78
86
若单科成绩85分以上(含85分)，则该科成绩为优秀．
(1)根据上表完成下面的2×2列联表(单位：人)：
数学成绩优秀
数学成绩不优秀
合计
物理成绩优秀
物理成绩不优秀
合计
20
(2)根据题(1)中表格的数据计算，有多大的把握，认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系？
(3)若从这20名学生中抽出1名来了解有关情况，求抽到的学生数学成绩与物理成绩至少有一门不优秀的概率．
参考数据：
①假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：
y1
y2
合计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
合计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
则随机变量K2＝eq \f(n?ad－bc?2,?a＋bc＋da＋cb＋d?)，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量；
②独立检验随机变量K2的临界值参考表：
P(K2≥k0)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
解：(1)2×2列联表为(单位：人)：
数学成绩优秀
数学成绩不优秀
合计
物理成绩优秀
5
2
7
物理成绩不优秀
1
12
13
合计
6
14
20
(2)根据2×2列联表可以求得K2＝eq \f(20×?5×12－1×2?2,7×13×6×14)≈8.802>7.879.
因为P(K2>7.879)＝0.005.
所以我们有99.5%的把握认为：学生的数学成绩与物理成绩之间有关系．
(3)由(1)可知数学成绩与物理成绩都优秀的学生的人数为5人，则数学成绩与物理成绩至少有一门不优秀的学生人数为15人．
故从20名学生中抽取1名，抽到的学生数学成绩与物理成绩至少有一门不优秀的概率为eq \f(15,20)＝eq \f(3,4).
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