2020年新版热力学统计物理课后习题答案（13页）
时间：2020-09-05 20:07:16 来源：勤学考试网 本文已影响 人 
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第七章 玻耳兹曼统计
7. 1
7. 1试根据公式
ai
—证明，对于非相对论粒子
V
P2 12m 2m2nx2 2P2 1 2n
P2 1
2m 2m
2
nx
2 2
P2 1 2
nx，ny,nz 2m 2m L
2
nx
2 2
ny nz ( nx,ny,nz 0, 1, 2,)
(1)
为书写简便，我们将上式简记为
aV
(2)
其中V=L3是系统的体积，常量
(2 )2 2
nx
2m
2
ny
n；，并以单一指标I代表 nx,ny,nz
2 2 2 U
ny nz ，( nx,ny,nz 0, 1, 2,)有 P
V
上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。
证明：处在边长为L的立方体中，非相对论粒子的能量本征值为
个量子数。
由（2）式可得」-aV353(3)代入压强公式,ai23V
由（2）式可得」
-aV
3
53
(3)
代入压强公式,
ai
2
3V
ai
2U
3 V
(4)
式中U
i
上述证明未涉及分布的具体表达式， 都成立。
注：（4 ）式只适用于粒子仅有平移运动的情形。如果粒子还有其他的自由度，式（ U仅指平动内能。
ai i
是系统的内能。
因此上述结论对于玻尔兹曼分布， 玻色分布和费米分布
4）中的
7. 2根据公式P ai
i
L证明，对于极端相对论粒子
V
2 2 2
2 12
nz , nx,ny,nz 0, 1, 2,有 P
1 U
cp c nx ny
3V
L
上述结论对于玻尔兹曼分布，
玻色分布和费米分布都成立。
证明：处在边长为 L的立方体中，极端相对论粒子的能量本征值为
2 2 2 2 12
nx,ny,nz C L "x 山
nx,ny,nz 0, 1,
2,
(1)
为书写简便，我们将上式简记为
aV
-——(2)
其中V=L3是系统的体积，常量
a
2 2 2
2 c nx ny nz
‘2 ,并以单一指标
i 代表 nx,ny,nz
个量子数。
由（2）式可得
l 1aV 43
V 3
1 I
3 V
(3)
代入压强公式，有
P aI -
I V
1
aI I
3V I
1 U
(4 )
3V
- (4丿
式中U a,
I
I是系统的内能。
上述证明未涉及分布的具体表达式，
因此上述结论对于玻尔兹曼分布，
玻色分布和费米分布
都成立。
S Nk Ps In Ps，s式中P
S Nk Ps In Ps，
s
式中Ps是粒子处在量子态 S的概率, 求和。
Ps
对粒子的所有量子态
s
证明：根据式（6-6-9），处在能量为的量子态 s上的平均粒子数为 fs e
以N表示系统的粒子数，粒子处在量子态显然，
以N表示系统的粒子数，粒子处在量子态
显然，Ps满足归一化条件 Ps 1
s
式中 是对粒子所有可能的量子态求和。
s
根据式（7-1-13），定域系统的熵为
s Nk(ln Z1 ——In Z1) Nk(ln Z1
==== s Nk Ps In Ps (5)
s
最后一步用了（ 2）式，即In Ps InZ1
s上的概率为
P e
e
(2)
Ps
s N
乙
-(3)
E Ps s ⑷
s
粒子的平均能量可以表示为
_) Nk
Ps(I nZ1
s)
s
s
⑹
（5）式的熵表达式是具有启发性的。熵是广延量，具有相加性。 （5）式意味着一个粒子的
熵等于 。它取决于粒子处在各个可能状态的概率 Ps。如果粒子肯定处在某个状态 r,即
=s r，粒子的熵等于零；反之，当粒子可能处在多个微观状态时，粒子的熵大于零。这与熵 是无序度的量度的理解自然是一致的。 如果换一个角度考虑， 粒子的状态完全确定意味着我
们对它有完全的信息。粒子以一定的概率处在各个可能的微观状态意味着我们对它缺乏完全 的信息。所以，也可以将熵理解为信息缺乏的量度。
7. 5固体含有A、B两种原子?试证明由于原子在晶体格点的随机分布起的混合熵为
kinN!Nx
kin
N!
Nx ! N 1
Nk xln x 1 x In 1 x
其中N是总原子数，
其中N是总原子数，x是A原子的百分比,
（1 一 x）是B原子的百分比.注意 x<1 .上式给出
的熵为正值.证明：A、B两种原子在晶体格点的随机分布状态数等于 布的状态数：Nx个
的熵为正值.
证明：A、B两种原子在晶体格点的随机分布状态数等于 布的状态数：
Nx个A种原子在N个格点随即分
所以混合熵S kin
kin
Nx
CN
N!
Nx ! N 1
N!
Nx ! N 1
k in N! ln( Nx)! in N 1 x
当N很大时，利用公式in m! m in m 1 ,得
Nk xin x 1 x in 1 xS k N i n N 1 Nx i n Nx 1 N 1 x i nN Nx 1
Nk xin x 1 x in 1 x
证毕
7. 8气体以恒定的速度沿 Z方向作整体运动。试证明，在平衡状态下分子动量的最概然分
[Px2 Py2 （Pz Po）2] V
布为 e 2m 3dPxdPYdPz。
h3
证明：气体是非定域系统，由于满足经典极限条件而遵从玻尔兹曼分布。与分布 a相应的
ai
l
气体的微观状态数为
（1）
1
a!
其对数为in ai i n ]
in ai! ai in 丨
ai(in ai 1)
(2)
i II i
在气体沿Z方向作整体运动的情形下，分布必须满足下述条件：
ai N ; ai i E； ai Pz Pz ⑶
I i i
其中PZ是气体在Z方向的总动量，Plz是处在能级I的分子所具有的Z方向动量。
气体分子的最概然分布是在限制条件（ 3）下，使in为极大的分布。令各有 ai的变化ai,
ai
in将因而有变化 in in ai
TOC \o "1-5" \h \z i i
限制条件（3）要求 ai N； i ai E 0； PiZ ai PZ 0
i i i
用拉氏乘子 1,和乘这三个式子并从 i n中减去，得
a丨
in 1 N E PZ （ i n」 i PiZ） ai 0
| i
a
根据拉氏乘子法原理，每个 ai的系数都等于零，所以有i n L i PiZ 0
I
或 ai ie 1 s Pz (4)
可以将式（
可以将式（4）改写成为动量的连续分布:
在体积 V=L3 内，在 Px 到 Px+dPx,PY 到 PY+dPY ,
Pz到Pz+dPz，的动量范围内的分子数为/ 21
Pz到Pz+dPz，的动量范围内的分子数为
/ 2
1 2m(px
2 2、
Py Pz)
"VdPXd&dPZ h
(5)
其中Po
2 2
2m[Px Py
(p
P0)2] v
3 dPx dPydPZ h
(6)
P0
P02
2m
(7)
式中的参量1,和
式中的参量
1,
和Po由（3）式确定。由（3）
式中的
e V3 4(8)7：—[pX py (Pz P0)2
e V3 4
(8)
2m pdPxdRdPz
h
代入（6）式消去，可将气体分子的动量分布表达为
3； —[ pX py (Pz P0)2]
N( ) 2e 2m dPxdPydPZ——(9)
2 m
利用(9)式求Pz的平均值，得
Pz(厂)322
Pz
(厂)32
2 m
P： (Pz P0)2 ]
PZdPXdPYdPZ
Po
所以Po是Pz的平均值。Po与Pz的关系为Pz=NPo
在气体具有恒定的整体速度的情形下， 气体的平衡状态不受破坏， 其物态方程仍由PV=NKT
描述。根据此容易证明 =1/KT
7. 9气体以恒定速度 vo沿Z方向作整体运动。求分子的平均平动能量。
解：根据上题，以恒定速度 vo沿z方向作整体运动的气体，其分子的速度分布为
肌亠)?歸V：
肌亠)?歸V：Vy2
2 kT
(Vz Vo)2]
dvx dvY dvz
(1)
分子平均动量的平均值为m2 kT
分子平均动量的平均值为
m
2 kT
1 2 2 2 mM2 Vy (Vz Vo)2]
r(Vx Vy Vz )e 2kT dvxdvYdvz
m2 kT)1
m
2 kT
)1中
mVx2
Vx2e 2kT dvx
1m V；e跻昵1m Vz^e弊心址)
2 2
上式头两项积分后分别等于 1/2KT，第三项的积分等于
m i2 i(〒)2 2m(m(Vz Vo)2e 殒(Vz Vo)2 mdVz 2Vo Vze 2kT(VzVo)2dvZVo2e^(VzeVo)2dVz)^kT2mVo2i
m i2 i
(〒)2 2m(
m
(Vz Vo)2e 殒
(Vz Vo)
2 m
dVz 2Vo Vze 2kT
(Vz
Vo)2
dvZ
Vo2
e^(Vz
e
Vo)2
dVz)
^kT
2
mVo2
i 2
2mVo
因此，一
3kT
4 mVo
2
(2 )式表明，气体分子的平均能量等于无规热运动的平均能量 i/2mvo2 之和。
3/2KT及整体运动能量
7. 11试根据麦氏速度分布律导出两分子的相对速度
0ZX和相对速率 vr
Vr
的概率分布,
并求相对速率的平均值
解：先求速度分布:
两分子的相对速度
Vr在dVrxdVrydVrz内的几率
V Vr
dviV vi V V2
dviV vi V vi
3
m
2 kT
e 2kT
m 2
Vix
2 2 /
Viy Viz (Vi
Vrx)2
(Viy Vry)2 (Vi
、2
Vrz)
dvixdviydviz
其中与vix有关的分量为
m 2
Vi x
2kT ix
e
(Vix Vrx )2
dViX
e 2kT
m
kT
e
Vrx
~2
dvi
m必
2kT~2
m 2 x kT
dx
m vrx
e 2kT 2
i/2
同理可求得
Viy、viz分量分别为
m Vry
2kT T
i/2
m vr|
2kT
i/2
kT
kT
kT
V Vr
m v2
2kT "2
3/2
3/2
2 kT
kT
kT
m vf
e^7
m
引入?，则速度分布为:
3/2
2 kT
2kT dv/VrydVrz
把变数换为Vr, QQ并对QO积分，则得到速率分布为
3/2 2
Vx n
e 2kT v2dvr
2 kT
相对速率的平均值
3/2Vr 42 kT
3/2
Vr 4
2 kT
vre 2kT v；dv
8kT
7. 14分子从器壁的小孔射出，求在射出的分子束中，分子的平均速率和方均根速率。
解：上题已经求得了单位时间内，碰到单位面积器壁上，速率在到范围的分子数为
d (v) nm2 kT3/2
d (v) n
m
2 kT
3/2
e
m 2 v 2kT
v3dv
如果器壁有小孔，分子可以通过小孔逸出。当小孔足够小，对容器内分子的平衡分布影响可 以忽略时，单位时间内逸出的分子数就等于碰到小孔面积上的分子数。 因此在射出的分子束
中，分子的平均速率为 Vvd (v)d (v)0m 2 v速率平方的平均值为 v2v2d (v)
中，分子的平均速率为 V
vd (v)
d (v)
0
m 2 v
速率平方的平均值为 v2
v2d (v)
2kT dv
d (v)
m 2
3 v
v e 2kT dv
4kT
m
0
1
平均动能为一mv2 2kT
2
1）式含有因子v3,而平衡态分上述结果表明，分子束中分子的平均速率和平均动能均大于容器内气体分子的相应平均 值。原因在于，大速率分子有较大的概率从小孔逸出，使（ 子速率分布（
1）式含有因子v3,而平衡态分
7. 15已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为
1 2 2 2 2 .
Px Py Pz ax bx
2m
其中a、b是常数，求粒子的平均能量.
解：该能量表达式可改写为
1
2m
2 2
Px Py
2
Pz
a x
2 2
b b2
2a 4a
由能量均分定理可知：
- kT
b2
b2
4
2kT
2
4a
4a
7. 16气柱的高度为 H，截面为S,处在重力场中，试证明此气柱的内能和热容量为
U。
NKTNmgH
U。
NKT
mgH
(e KT 1)
CvC0v NK证明：为明确起见,1 2 2 Px Py 2mmgH /N（mgH）2e KT 1
Cv
C0v NK
证明：为明确起见,
1 2 2 Px Py 2m
mgH /
N（mgH）2e KT 1
mgH " KT 2
（e KT 1）2 KT
假设气体是单原子分子理想气体。在重力场中分子的能量为
2
Pz
mgz
(1)
粒子的配分函数为
1
h3
/ 2 2 話Px Py
2、
Pz ) mgz
dxdydzdPx dFYdPZ
1 (2 m)32
H
dxdy o e
mgzdz
丄(1 e1
mg
mgH)
(2)
其中 A
dxdy是气柱的截面积。
气柱的内能为
3U N——lnZ
3
U N——lnZ1 NKT NKT
2
NmgH
mgH
(e KT 1)
Uo NKT
NmgH ―(3)
(e mgH 1) (3)
3
式中 U0 NKT
2
气体的热容量为cv —9 c°v
气体的热容量为cv —9 c°v
NK N(mgH)2
mgH
e KT
mgH
（e KT 上述结果显然也适用于双（多）原子分子气体，只要将 能和热容量。
2 （ 4）
1）2 KT2
Uo和C0v理解为无外场时气体的内
TOC \o "1-5" \h \z 当mgHKT 1时，（4）式右方后两项相互消去而有 Cv=Cov （ 5）
这意味着，当气柱不高，分子在气柱顶部（ Z=H ）与底部（Z=0 ）的重力势能差远小于热运
动能量的情形下，气柱的热容量与无外场时的热容量是相同的。
当mgHKT 1时，（4）式右方第三项趋于零，因此 Cv=C°v+NK （6）
这意味着，当气柱很高，分子在气柱顶部（ Z=H ）与底部（Z=0 ）的重力势能差远大于热运
动能量的情形下，气柱在重力场中具有附加的热容量 NK。
mgH / .
对于300K的空气，相应于 KT 1的H约为104m。因此在通常情形下，（5）式是 适用的。实际上大气温度随高度而降低。 当气柱很高时，应用玻尔兹曼分布时所作的恒温假
设并不成立。
7. 17试求双原子分子理想气体的振动熵.
解：双原子分子理想气体的振动配分函数
Z； e ^ /1 e
In Z； In 1 e
2
振动熵Sv
振动熵Sv Nk lnZ：
InZ： Nk
e 1 ln1 e
引入v /k ，得
Nk1e v
Nk
1
e vT1
Nkln 1
/T
7. 21试求爱因斯坦固体的熵。 S 3Nk[ In 1 e ]
e 1
解：根据式(7-7-2)求得的配分函数，容易求得爱因斯坦固体的熵为
S 3NK(InZ1 —In Z1) 3Nk[ In 1 e ]
e 1
7. 22以n表晶体中磁性原予的密度?设原了的总角动量量子数为 1 ?在外磁场下，原子磁
矩可以有三个不同的取向，即平行、 垂直、反平行于外磁场?假设磁矩之间的相互作用可以
忽略.试求在温度为 T时晶体的磁化强度 口及其在弱场高温极限和强场低温极限下的近似 值.
解：依题意，原子具有三个状态，能量分别为 -口 B、0、口B。按玻尔兹曼分布，原子处于
这些态的几率分别为 Ce B,C,Ce
其中C为归一化常数，由下式决定:
晶体的磁化强度
弱场高温极限下:
Ce
1/e
Ce
B 1
Ce B
Ce
2
此时 e
B,e
强场低温极限下:
B /3
2
-B
3 kT
此时E N
e2
B/e
2 B/e2 B N
