模拟试卷 广东省韶关市第一中学2019届高三上学期第一次调研考试数学（理）试题（13页）

2019 届高三上学期第一次调研考试

数学(理科)试题

第Ⅰ卷（共 60 分）

一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.若复数 z 满足 z (3 4i) 1 ，则 z 的虚数是（



）

A． B． i



2.已知集合 A?x1 x 2?， B?x y



C．



? x 2 2x? ，则 A∪B=（



D．

）

4

25



i

A．x1 x 0?

B．?x1 x 0?

C．?x 0 x 2?

D．?x 0 x 2?

3.平面直角坐标系 xOy 中， i ， j 分别是与 x 轴、 y 轴正方向同向的单位向量，向量 a 2i ， b i j ，

以下说法正确的是（



）

A． a b 1



B． a b

C． a b b



D． a / /b

4.已知直线 a 、 b ，平面 、 、 ，下列命题正确的是（



）

A．若 ， ，?



a ，则 a?



B．若



a ， b ，?



c ，则 a / /b / /c

C.若



a ， b / / a ，则 b / /?



D．若 ，



a ， b / /? ，则 b / / a

5.已知直线 4 x 3 y a 0 与



C : x 2 y 2 4x 0 相交于 A 、 B 两点，且AOB 120 ，则实数 a 的

值为（



）

A． 3

B．10

C. 11或 21

D． 3 或13

?

?



x

5



）

A． 2

B．2

C.2

D． 4

7.已知函数 f x? A sinx A 0,? 0, 0 2 的部分图象如图所示，则 的值为（



）

第页



14 425254256.已知 x 1 ax1 的展开式中常数项为40

4 4

25

25

4

25

6.已知 x 1 ax

1

? 的展开式中常数项为40 ，则 a 的值为（

A．



?

3



或



2?

3



B．



2?

3



C.



4?

3



D．



?

3



或



4?

3

8.在如图的程序框图中，输出的 n 值为（

）

A．14



B． 32



C. 46



D． 53

9.已知双曲线的焦距为 4 ， A 、 B 是其左、右焦点，点 C 在双曲线右支上，△ABC 的周长为10 ，则 AC

的取值范围是（



）

A． 2,5?



B． 2, 6?



C.



?3,5?



D．3, 6?

10.如图是某几何体的三视图，图中每个小正方形的边长为1，则此几何体的体积为（



）

第页



2

A．



8

3



B．



16

3



C. 4



D．



20

3

x 2 x

）

A． (, e]



B． [0, e]



C． (, e)



D． [0, e)

12.在直角梯形 ABCD ， AB AD ， DC / / AB ， AD DC 1 ， AB 2 ， E ， F 分别为 AB ， BC 的

中点，点 P 在以 A 为圆心， AD 为半径的圆弧 DEM 上变动（如图所示）.若 AP? ED? AF ，其中

? ,? R ，则 2 的取值范围是（



）

A． [? 2,1]



B． [? 2, 2]



C． [?



1 1

2 2



D． [?



2

2



,



2

2



]

第Ⅱ卷（共 90 分）

二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）

13.函数 f ( x) 3 sin(2x

?

3

?

2



．

14.已知数列 {an}是等差数列，数列 {bn}是等比数列，满足： a1000 a1018 2? ， b6b2012 2 ，则

tan



a2 a2016

1 b3b2015



?



．

15.已知等差数列an? 中， a2 a4 16 ， a1 1 、 a2 1、 a4 1成等比数列，把各项如下图排列：

则从上到下第10 行，从左到右的第11个数值为



．

16.平面四边形 ABCD 中，?A 60 ，AD DC ，AB

3

-15第页



3 ，BD 2 ，则 BC 的最小长度为



．11.已知函数 f ( x) xe kx 2e 2kx 只有一个零点，则实数 k 的取值范围为（, ]) 的图象在区间 (0, ) 上的对称轴方程为

11.已知函数 f ( x) xe kx 2e 2kx 只有一个零点，则实数 k 的取值范围为（

, ]

) 的图象在区间 (0, ) 上的对称轴方程为

三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

2 7?

? 6



?

?

（Ⅰ）求函数 f x 的最小正周期及单调递增区间；

（Ⅱ）在ABC 中，三内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 f A

AB AC 6 ，求 a 的值.

1

2



，若 b c 2a ，且

18. 如图，在四面体 ABCD 中，ABC?ADC 90 , BC BD



2

2



CD .

（Ⅰ）求证： AD BD；

（Ⅱ）若 AB 与平面 BCD 所成的角为 60 ，点 E 是 AC 的中点，求二面角 C BD E 的大小.

19. 甲、乙、丙三人去某地务工，其工作受天气影响，雨天不能出工，晴天才能出工.其计酬方式有两种，

方式一：雨天没收入，晴天出工每天 250 元；方式而：雨天每天120 元，晴天出工每天 200 元；三人要选

择其中一种计酬方式，并打算在下个月（ 30 天）内的晴天都出工，为此三人作了一些调查，甲以去年此月

的下雨天数（10 天）为依据作出选择；乙和丙在分析了当地近 9 年此月的下雨天数（ n ）的频数分布表（见

下表）后，乙以频率最大的 n 值为依据作出选择，丙以 n 的平均值为依据作出选择.

（Ⅰ）试判断甲、乙、丙选择的计酬方式，并说明理由；

（Ⅱ）根据统计范围的大小，你觉得三人中谁的依据更有指导意义？

（Ⅲ）以频率作为概率，求未来三年中恰有两年，此月下雨不超过11天的概率.

20. 已知椭圆 C1 :



x 2

a 2



y 2

b

两个顶点，点 P 在椭圆 C1 上，且 PF1 2 2 ， PF2 2 2 .

第页

4n8910111213频数312021

n

8

9

10

11

12

13

频数

3

1

2

0

2

1

17. 已知函数 f

17. 已知函数 f x? 2 cos x sin

? 2x? 1 x R .

? 2 1?a b 0 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，圆 C2 经过椭圆 C1 的两个焦点和

（Ⅰ）求椭圆 C1 的方程和点 P 的坐标；

（Ⅱ）过点 P 的直线 l1 与圆 C2 相交于 A 、 B 两点，过点 P 与 l1 垂直的直线 l2 与椭圆 C1 相交于另一点 C ，

求 △ABC 的面积的取值范围.

21. 已知函数 f x? e



xm

? ln x 2 axx 2? m ，

（Ⅰ）若 a 0 ，且 f?1? 是函数的一个极值，求函数 f x 的最小值；

（Ⅱ）若 a 0 ，求证：x1, 0? ， f x? 0 .

请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修 4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，已知圆 C 的圆心坐标为 (2, 0) ，半径为 2 ，以坐标原点为极点， X 轴的正半轴为极轴

? x?t

? y 1 t



（ t 为参数）.

（1）求圆 C 和直线 l 的极坐标方程；

? 2

23.选修 4-5：不等式选讲

已知函数 f x? 2x a x 2 （其中 a R ）.

（1）当 a?1 时，求不等式 f ( x) 6 的解集；

2

第页



5建立极坐标系，直线 l 的参数方程为：（2）点 P 的极坐标为1,? ，直线 l 与圆

建立极坐标系，直线 l 的参数方程为：

（2）点 P 的极坐标为1,

? ，直线 l 与圆 C 相交于 A ， B ，求 PA PB 的值.

（2）若关于 x 的不等式 f ( x) 3a 2 x 恒成立，求 a 的取值范围.

试卷答案

一、选择题

1-5:CBCAD

二、填空题



6-10:CCDCB



11、12：DA

13. x



?

12



14. 3



15. 275



16.



7

2

三、解答题

（17）解答：

f ( x) sin(



7?

6



1

2



3

2



sin 2 x cos 2 x



1

2



cos 2 x



3

2



sin 2 x

?

6

（Ⅰ）最小正周期： T ，

2

2 6 2 3 6

?

3 6

?

6 2 6 6 6

，

又因为 2a b c ，

而 AB AC bc cos A

1

2



bc 6,? bc 12 ，

? cos A

1

2



?

(b c) 2 a 2

2bc



? 1

4a 2 a 2

24



? 1

a 2

8



? 1 ，? a 2 3 .

2 2 2

? BD BC ，

又 AB BC ， BD

? BC 平面ABD ，

? BC AD ，

又 CD AD ， BC

AB B ，

CD C ，

? AD 平面BCD ，

? AD BD .

（Ⅱ）解法 1：由（Ⅰ）知，AB 与平面 BCD 所成的角为ABD ，即ABD 60? ，

设 BD＝2，则 BC＝2，在 Rt?ADB 中，AB＝4，

第页



6? 2 x) 2sin 2 x 1? cos 2 x sin(2 x ) .2?由 2k? 2k(k Z ) 可解得： k? x k? 2 x(k?

? 2 x) 2sin 2 x 1? cos 2 x

? sin(2 x ) .

2?

由 2k

? 2k

(k Z ) 可解得： k

? x k

? 2 x

(k Z ) ，

所以 f ( x) 的单调递增区间为： [k

, k ](k Z ) ;

? 2k?或

? 2k? (k Z )

（Ⅱ）由 f ( A) sin(2 A

)

可得： 2 A

而 A? 0, 所以 A

3

（18）解：（Ⅰ）由已知得 BC BD CD ，

由（Ⅰ）中 BC 平面ABD ，得平面 ABC⊥平面 ABD，在平面 ABD 内，过点 B 作 Bz AB ，则 Bz

平面 ABC，以 B 为原点，建立空间直角坐标系 B xyz ，

则 B(0, 0, 0) ， A(4, 0, 0) ， C (0, 2, 0) ，

E (2, 1, 0) ，由 xD| BD | cos 60 1，

z D| BD | sin 60 3 ，

得 D(1, 0,

3) ，

∴ BE (2, 1, 0) ， BD (1, 0,

3) ，

设平面 BDE 的法向量为 m ( x, y, z) ，

m BE 2 x y 0

则

m BD x 3z 0



，取 z 1，解得

y 2 3



，

∴ m (? 3, 2 3, 1) 是平面 BDE 的一个法向量，

又 AD (?3, 0,

3) 是平面 CBD 的一个法向量．

设二面角 A BD E 的大小为? ，易知 为锐角，

则 cos| cos m, AD|?

| m AD |

| m || AD |



?

4 3

4 2 3



?

1

2



，

∴? 60 ，即二面角 C BD E 的大小为 60 ．

【解法 2：由（Ⅰ）知， AB 与平面 BCD 所成的角为ABD ，即ABD 60 ，

分别取 CD 、 BD 的中点 F 、 G ，连 EG 、 FG ，

在 Rt?ABC 和 Rt?ADC 中， E 为斜边 AC 中点，故 BE DE

∴ EG BD；

又∵ BC 平面 ABD ，∴ BC BD ，

又∵ BC // FG ∴ FG BD；

∴EGF 为二面角 C BD E 的平面角，

由（Ⅰ）知 AD 平面 BCD ，又 AD // EF ，

故 EF 平面 BCD ，从而 EF FG ，

7

-15第页



1

2



AC ，

x? 3

∴ tanEGF



EF

FG



1

1

2



AD

BC



?



3BD

BC



? 3 ，

EGF 60 ，即二面角 C BD E 的大小为 60 ．

（19）解：（Ⅰ）按计酬方式一、二的收入分别记为 f (n) 、 g (n) ，

f (10) 250 (3010) 5000 ，

g (10) 120 10 200 20 5200 ，

所以甲选择计酬方式二；

由频数分布表知频率最大的 n=8，

f (8) 250 (30 8) 5500 ，

g (8) 120 8 200 22 5360 ，

所以乙选择计酬方式一；

n 的平均值为

1

9



? (8 3 9 1 10 2 12 2 13 1) 10 ，

所以丙选择计酬方式二；

（Ⅱ）甲统计了 1 个月的情况，乙和丙统计了 9 个月的情况，

但乙只利用了部分数据，丙利用了所有数据，

所以丙的统计范围最大，

三人中丙的依据更有指导意义；

（Ⅲ）任选一年，此月下雨不超过 11 天的频率为

6

9



?

2

3



，以此作为概率，则未来三年中恰有两年，此月下

2 2 2

3

2

3

)

4

9



.

（20）解：（I）设 F1 (?c, 0) ， F2 (c, 0) ，

可知圆 C 2 经过椭圆焦点和上下顶点，得 b c ，

由题意知 2a| PF1 | | PF2 |? 4 ，得 a 2 ，

2 2 2

2 ，

所以椭圆 C1的方程为

2

4



?

2

2



? 1，

点 P 的坐标为 (2, 0) .

（II）由过点 P 的直线 l2 与椭圆 C1相交于两点，知直线 l2 的斜率存在，

设 l2 的方程为 y k ( x 2) ，由题意可知 k 0 ，

2 2 2 2

设 C ( x2 , y 2 ) ，则 2 x 2



8k 2 4

2k 2 1



，得 x 2



4k 2 2

2k 2 1



，

2

4 k 2 1

2k 2 1



；

由直线 l1 与 l2 垂直，可设 l1 的方程为 y?

第页

1

k

( x 2) ，即 x ky 2 0

8? 2雨不超过 11 天的概率为 C3 ( ) (1由 b c a ，得 b cxy联立椭圆方程，得 (2

? 2

雨不超过 11 天的概率为 C3 ( ) (1

由 b c a ，得 b c

x

y

联立椭圆方程，得 (2k 1) x 8k x 8k 4 0 ，

所以 | PC |? 1 k | x 2 2 |?

圆心 (0, 0) 到 l1 的距离 d



2

1 k 2



，又圆的半径 r



2 ，

所以 (

| AB | 2 2 2 4

2 k 1



?

2 (k 2 1)

k 2 1



，

| AB |? 2 2

k 2 1

k 2 1



，

由 d r 即

2

1 k



2

? 2 ，得 k 2 1 ，

SABC



?

1

2



| AB || PC |? 2



k 2 1 2k 2 1



?



? 4 2

k 2 1

2k 2 1



，

设 t



k 2 1 ，则 t 0 ， S?ABC

4 2t

2



?

4 2

3

t



?

4 2

2 6



?

2 3

3



，

当且仅当 t

6

2



即 k?

10

2



时，取“＝”，

所以△ABC 的面积的取值范围是 (0,

2 3

3



] ．

（21）解：（I） f ( x) e

x m

? ln( x 2) ax 2 2ax m ，定义域为 (?2,?) ，

f ' ( x) e x m

1

x 2



? 2ax 2a ．

由题意知 f ' (?1) 0 ，即 e

m?1

? 1 0 ，解得 m 1，

所以 f ( x) e



x1



? ln( x 2) ax( x 2) 1， f ' ( x) e x1

1

x 2



? 2ax 2a ，

又 y e

x1

、 y?

1

x 2

、 y 2ax 2a （ a 0 ）在 (?2,?) 上单调递增，

可知 f ' ( x) 在 (?2,?) 上单调递增，又 f ' (?1) 0 ，

所以当 x (?2, 1) 时， f ' ( x) 0；当 x (?1,?) 时， f ' ( x) 0 ．

得 f ( x) 在 (?2, 1) 上单调递减， f ( x) 在 (?1,?) 上单调递增，

所以函数 f ( x) 的最小值为 f (?1) 1 a 1?a ．

（II ）若 a 0 ，得 f ( x) e



x m



? ln( x 2) m ， f ' ( x) e x m

1

x 2

由 f ' ( x) 在 [?1, 0] 上单调递增，可知 f ( x) 在 [?1, 0] 上的单调性有如下三种情形：

①当 f ( x) 在 [?1, 0] 上单调递增时，

可知 f ' ( x) 0 ，即 f ' (?1) 0 ，即 e

m?1

? 1 0 ，解得 m 1，

f (?1) e m?1 m ，令 g (m) e m?1 m ，则 g ' (m) e m?1 1 0 ，

所以 g (m) 单调递增， g (m) g (1) 0 ，所以 f ( x) f (?1) g (m) 0；

②当 f ( x) 在 [?1, 0] 上单调递减时，

第页



m

1

2



? 0 ，解得 m? ln 2 ，

9) r

) r d 2 2

k 2 1 4 k 2 1

2t 3

2t

可知 f ' ( x) 0 ，即 f ' (0) 0 ，即 e

m m



m



? 0 ，所以 f ( x) f (0) 0；

m m

1

2



? 0 ，

所以 h(m) 单调递减， h(m) h(? ln 2)

1

2

? 0 ，所以 f ( x) f (0) h(m) 0；]

③当 f ( x) 在 [?1, 0] 上先减后增时，得 f ' ( x) 在 [?1, 0] 上先负后正，

所以x0 (?1, 0) ， f ' ( x0 ) 0 ，即 e



x m



?

1

x0 2



，取对数得 x0 m? ln( x0 2) ，

可知 f ( x) min f ( x0 ) e



x m



? ln( x0 2) m

1

x0 2



? x0

( x0 1) 2

x0 2



? 0 ，

所以 f ( x) 0；

综上①②③得：x [?1, 0] ， f ( x) 0 ．

【或：若 a 0 ，得 f ( x) e



x m



? ln( x 2) m ， f ' ( x) e x m

1

x 2

由 f ' ( x) 在 [?1, 0] 上单调递增，分如下三种情形：

①当 f ' ( x) 0 恒成立时，只需 f ' (?1) 0 ，即 e

m?1

? 1 0 ，解得 m 1，

可知 f ( x) 在 [?1, 0] 上单调递增， f (?1) e

m?1

? m ，令 g (m) e m?1 m ，

则 g ' (m) e

m?1

? 1 0 ，所以 g (m) 单调递增， g (m) g (1) 0 ，

所以 f ( x) f (?1) g (m) 0；

m

1

2



? 0 ，解得 m? ln 2 ，

m m

所以 f ( x) f (0) 0；

③当 f ' ( x) 在 [?1, 0] 上先负后正时， f ( x) 在 [?1, 0] 上先减后增，

m

? 0 ，

所以x0 (?1, 0) ， f ' ( x0 ) 0 ，即 e



x m



?

1

x0 2



，取对数得 x0 m? ln( x0 2) ，

可知 f ( x) min f ( x0 ) e



x m



? ln( x0 2) m

1

x0 2



? x0

( x0 1) 2

x0 2



? 0 ，

所以 f ( x) 0；

综上①②③得：x [?1, 0] ， f ( x) 0 . 】

（22）解：圆



的直角坐标方程为



，

代入圆



得：



，

化简得圆



的极坐标方程：



，

第页



? x?t

? y 1 t



得



，



10得 f (0) e ln 2 m e ln 2 ln 2

得 f (0) e ln 2 m e ln 2 ln 2 e

[或：令 h(m) e m ln 2 ，则 h' (m) e 1?

②当 f ' ( x) 0 恒成立时，只需 f ' (0) 0 ，即 e

可知 f ( x) 在 [?1, 0] 上单调递减时， f (0) e ln 2 m e ln 2 ln 2 e

由 l :

?l 的极坐标方程为 cos sin? 1即?

?

2



1



?

4



.

? 2

? 2

直线 的参数的标准方程可写成

2



（ t 为参数），

代入圆



得： (?



2

2



t 2)2 (1



t ) 2 ，

化简得：



，

，

.

(23)解：（1）当 a?1时，函数 f ( x) 2x1 x 2 ，

则不等式为 2x1 x 2 6 ，

1



x 2 时，原不等式为 2x1 x 2 6 ，解得： x 3；

②当

③当 x

原不等式的解集为 {x | x?1或x 3}.

方法二：当



?

?3x 3, x 2

?

? 2



? 1

结合图象可得原不等式的解集为 {x | x?1或x 3}.

第页



11) 得点 P 的直角坐标为 P(1, 0) ，（2）由 P(1,2 sin(

) 得点 P 的直角坐标为 P(1, 0) ，

（2）由 P(1,

2 sin( )

? x? t

? y 1 2 t

2 2

2

? x 2 时，原不等式为 2x1 2 x 6 ，解得： x 5 .此时不等式无解；

1

2

时，原不等式为1 2x 2 x 6 ，解得： x?1，

1

2

a?1时，函数 f ( x) 2x1 x 2 x 1, 1 x 2 ，画出函数 f ( x) 的图象，如图：

3x 3, x 2

2 2

2

而 2x a 2 x 2 2x a 2x 4 (2x a) (2x 4) a 4 ，

2

解得 a 4 3a 2 或 a 4?3a 2 ，

4

3

4

3

第页



12（2）不等式 f ( x) 3a 2 x 即为 2x a x 2 3a

（2）不等式 f ( x) 3a 2 x 即为 2x a x 2 3a 2 x ，

即关于 x 的不等式 2x a 2 x 2 3a 恒成立.

所以 a 4 3a ，

或 a .

解得1 a

所以 a 的取值范围是 [?1, ].