等差数列常考题型归纳总结计划很全面x
时间：2020-11-20 20:24:11 来源：勤学考试网 本文已影响 人 
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等差数列及其前 n 项和
教学目标：
1、熟练掌握等差数列定义；通项公式；中项；前 n 项和；性质。
2、能熟练的使用公式求等差数列的基本量，证明数列是等差数列，解决与等差数列有关的简单问题。
知识回顾：
1．定义：
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个
数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示。用递推公式
表示为 (2)
ann 或 an1and(n1) 。（证明数列是等差数列的关键）
a1dn
2．通项公式：
等差数列的通项为： ana1(n1)d ，当 d0 时， an 是关于 n 的一次式，它的图象是一
条直线上自然数的点的集合。推广： ana m(nm)d
3．中项：
ab
如果 a，A ， b 成等差数列，那么
A 叫做 a 与 b 的等差中项；其中
A。
2
4．等差数列的前 n 项和公式
n(aa)n(n1)
d
2 ＋ad)n
1n
2 n( 1。当d≠0时是 n 的一个常数
Snad 可以整理成 Sn＝
n1
2
22
项为 0 的二次函数。
5．等差数列项的性质
（ 1）在等差数列
a
中，若
，
，
，
qN
且
，则
m n p q；特
m n
p
mnpq
a a a a
n
别的，若 m，p， qN 且 2mpq，则 2a ma paq。
（ 2）已知数列 an,b n 为等差数列， Sn,T n 为其前 n 项和，则
a
S
1
n
2
b
n
1
T
n
（ 3）若等差数列的前 n 项和为 Sn，则n ,SS, SS,
2n
；
S 也成等差数列，公差
dnd
'2
2nn3n2n
S,(n1)
a
1
；
nSS
4）,(n2)
nn1
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（ 5）若数列 {a n} 是公差为 d 的等差数列，则数列
Sn
n
也是等差数列，且公差为 ______。
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考点分析
考点一：等差数列基本量计算
例 1、等差数列 {a n} 中， a13a8a15120，则 3a9a11 的值为
习练
1）设 Sn 是等差数列a 的前 n 项和．已知 a2＝ 3， a6＝ 11，则 S7 等于 n
A． 13B． 35C． 49D． 63
（ 2）数列 an 为等差数列，且
aa， a30，则公差 d＝
7241
A．－ 2B．－
1
1
2C．
2D． 2
（ 3）在等差数列
a 中，已知 a32，则该数列的前
5 项之和为
n
A． 10B． 16C． 20D． 32
4）若等差数列 {an} 的前 5 项和 S5＝ 25，且 a2 ＝ 3，则 a7 等于 () A． 12B． 13C． 14D． 15
1
（ 5）记等差数列 {a2 ， S4＝ 20，则 S6 等于 ()
n} 的前 n 项和为 Sn，若 a1 ＝
A． 16B． 24C． 36D． 48
（ 6）
a 的前 n 项和为
13
a 等于 ()
S，若 a 2， S12，则
n
n
6
A． 8B． 10C． 12D． 14
考点二：等差数列性质应用
例 1、等差数列 a 中， 3(a 3a5)2(a 7a10a13)24 ，则该数列前 13 项的和是 ()
n
A． 13B． 26C． 52D． 156
习练
1、在等差数列 an 中， a1 a910，则 a5 的值为
A． 5B． 6C． 8D． 64
2、在等差数列 {a} 中 ,
aaa，则
a（）
n
12, 3510
7
A． 5B． 8C． 10D． 14
3、设数列 {a n} 是等差数列，若 a3＋ a4＋ a5 ＝ 12，则 a1＋ a2＋ ?＋a7 等于 ()
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A． 14B． 21C． 28D． 35
例 2、设等差数列 {a n} 的前 n 项和为 Sn，若 S3＝ 9， S6＝ 36，则 a7＋ a8＋ a
9等于 ()
A． 63B． 45C． 36D． 27
练习、已知等差数列 {a n} 的前 n 项和为 Sn ，且 S10＝ 10， S20＝ 30，则 S30＝ ________.
S2014
S2008
n
是等差数列 {a
n
} 的前 n 项和，若 a1＝－ 2014，
－
＝ 6，则 S2016＝
例 3、已知 S
2008
2014
________.
SS
练习、 (1) 已知等差数列 {a n} 的前 n 项和为 S
3
2
－
n，且满足
＝ 1，则数列 {a n} 的公差是
32
()
1
2B． 1C． 2D． 3
例 4、设 Sn,T n 分别是等差数列
an、bn 的前 n 项和，
S7n2
a
。
n，则
5
Tn3
b
例 5、已知等差数列
n
5
a 的公差为 2，项数是偶数，所有奇数项之和为
15，所有偶数项之
n
和为 25，则这个数列的项数为
________。
练习 1、若一个等差数列前
3 项的和为 34，最后 3 项的和为
146，且所有项的和为
390，
则这个数列有（）
A．13 项 B． 12 项 C．11 项 D．10 项
2、等差数列 a 的公差 d2 ， a1a4a7a9750，那么 a3a6a9 a99=
n
A．－ 78B．－ 82C．－ 148D．－ 182
考点三：等差数列的证明
例 1：在数列 {a n } 中， a11，
1
2
*
.
a
1 1
， b
，其中 nN
n
4a
n 2a1
n
n
（ 1）求证：数列 {b n} 是等差数列；
（ 2）求证：在数列 {a n} 中对于任意的
*
nN，都有 an an1
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练习1、数列 a 满足 a1 1， a22， an22an1an2。
n
（ 1）设b1，证明bn 是等差数列；
naa
nn
（ 2）求数列 a 的通项公式。
n
3
1
1
2、已知数列 {a n} 中， a
(n ≥2
*
(n ∈
1＝ 5
， n ∈ Nn}满足 b ) ，数列 {b
， an＝ 2－
n＝ an－ 1
an
1
Nn} 是等差数列；
) ．求证：数列 {b
2a
1
是等差数列；
n
a
3、数列 an 满足： a12，1nN。求证：
n
an，
a2
n
小结与拓展：
1）定义法： an1ad（ nN， d 是常数） an 是等差数列；
n
2）中项法： 2a n1a nan2(nN)a n 是等差数列；
3）通项公式法： aknb
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n（ k , b 是常数） an 是等差数列；
2
（ 4）前 n 项和法： Sn ＝
kn＋ bn（k,b 是常数） an 是等差数列
考点四：等差数列前 n 项和的最值
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1） a10， d0 时， Sn 有最大值； a10， d0 时， Sn 有最小值；
2） Sn 最值的求法：①若已知 Sn，可用二次函数最值的求法（ nN）；②找到正负项分界的是第几项。
例 1、数列
n
2n49，当数列
n
n
取得最大值时， n
n
练习 1、设等差数列
n1
4 6
6
，则当
n
取最小值时
a 的前 n 项和为 S，若 a 11， a a
S
n
n 等于 ()
A． 6B． 7C． 8D． 9
2、若等差数列
an 满足 a7a8a90， a8a90，则当 n________时 a n 的前 n 项和
最大。
例 2、在等差数列
1
项和为
n
n
取得
n
最大值，则 d 的取值范围为 ________。
例 3、等差数列
a
中， 1
，前
n
项和为n，且仅当5
12
则当
n
时， n 取最大
a 0
S
S S ,
S
n
值。
练习 1、设数列
a
是等差数列，且
2
8
，15，
n 是数列
n 的前
n
项和，则（）
a
a 5
S
a
n
A． S10S11B． S10S11C． S9S10D． S9S10
2．设 an( n N)是等差数列， Sn 是其前 n 项的和，且 S5S6,S 6S7S8 则下列结论错．
误．的是（）
A． d0B. ． a70C． S9S5D． S6 与 S7 均为 Sn 的最大值
a
( n
1)
考点五：等差数列和项转换
a
1
(n
n
S
S
n
n 1
2)
1 a。
2，求 n
例 1、已知数列 a n 的前 n 项和为 Snn
n2
2
练习 1、已知数列 an 的前 n 项和为 n2，求 a n。
Sn
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2
2、设数列 {a n } 的前 n 项和 Sn，则 a8 的值为（）
n
A． 15B． 16C． 49D． 64
习题 15.2
1、在等差数列
an 中，
（ 1）已知
1
求
a
；
a 2,d3,n10,
n
2）已知 aan21,d2, 求 n
3,
1；
3）已知 a12,a27, 求 d
1；
（ 4）已知
6
1
d,a 78, 求 a。
1
3
2、在等差数列 {a n} 中，
1）已知 S848,S12168，求 a1, 和 d
2）已知 a610,S55，求 a8 和 S8
（ 3） a120,a n54,Sn599, 求 d 及 n；
（ 4）
1
；
d,n37,S n629,
求 a1 及 a
n
3
51
5） a, d ,S n5, 求 n 及 an 1；
66
（ 6）
d2,n15,a
n
10,
求
a
1 及
。
S
n
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3、等差数列 {a n} 的前 n 项和记为 Sn，已知 a1030,a 2050。
（ 1）求通项公式 {a n }；
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2）若 S242，求 n。
n
4、设 Sn 为等差数列 {a n } 的前 n 项和，若 S33， S624，则 a9
5、等差数列 {a n} 的前 n 项和 Sn，若 a12,S312，则 a6()
A． 8B． 10C． 12D． 14
6、已知道单调递增的等差数列 an 的前三项和为 21，前三项积为 231，则 an
7、在等差数列 an 中， a5120，则 a2a4a6a8
8、数列
a
中，
n
，当数列
n
取得最大值时， n
n
n
9、数列 an 是首项为 23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负 .
1）求数列的公差；
2）求前 n 项和 Sn 的最大值；
3）当 S0 时，求 n 的最大值。
n
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