第2讲相关性最小二乘估计与统计案例x
时间：2020-11-14 16:26:09 来源：勤学考试网 本文已影响 人 
第2讲相关性、最小二乘估计与统计案例
一、选择题
.在一组样本数据(xi , yi), (X2, y2),…,(xn, yn)(n> 2, X1, X2,…，Xn 不全相
TOC \o "1-5" \h \z 1 .
等)的成点图中，石所有样本点(x, yi)(i = 1,2,…，n)都在直线y= ^x+ 1上，
则这组样本数据的样本相关系数为( ).
1 ―.
A?—1 B ? 0 C?2 D? 1
答案 D
.已知x, y取值如下表：
x
0
1
4
5
6
8
y
1.3
1.8
5.6
6.1
7.4
9.3
TOC \o "1-5" \h \z 从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且y= 0.95x+ a,则a=( ).
1.30 B. 1.45 C. 1.65 D. 1.80
,、— 1 1
解析 依题意得，x = gX (0 + 1+ 4+ 5+ 6+ 8) = 4, y = &X (1.3+ 1.8 + 5.6+
6.1+ 7.4+ 9.3)= 5.25.乂直线 y= 0.95x + a 必过样本中心点(；，；)，即点
(4,5.25),于是有 5.25= 0.95X 4+ a,由此解得 a= 1.45,选 B.
答案 B
3.设(x〔，y〔)，(x2, y2),…，(xn, yn)是变量 x 和 y 的 n
个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得 ,
到的线性回归直线(如图)，以下结论正确的是
(). J——
A .直线l过点(x , y)
x和y的相关系数为直线l的斜率
x和y的相关系数在0到1之间
当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同
解析 由样本的中心(x , y)落在回归直线上可知A正确；x和y的相关系数
表示为x与y之间的线性相关程度，不表示直线l的斜率，故B错；x和y的
相关系数应在一1到1之间，故C错；分布在回归直线两侧的样本点的个数并
不绝对平均，即无论样本点个数是奇数还是偶数，故 D错.
答案 A
4.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x（万元）
4
2
3
5
销售额y（万元）
49
26
39
54
根据上表可得回归方程y= bx+ a中的b为9.4,据此模型预报广告费用为6万元
时销售额为 （）.
A. 63.6万元 B . 65.5万元
C. 67.7万元 D . 72.0万元
—4+ 2+ 3+ 5
解析 x = 4 = 3.5（万元），
—49 + 26+ 39+ 54
y = 4 = 42（万元），
. a= 7 — b7 = 42 - 9.4X 3.5= 9.1,
.回归方程为丫= 9.4x+ 9.1 ,
当乂 = 6（万元）时，y= 9.4X 6+ 9.1= 65.5（万元）.
答案 B
5.为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取 5对父子的身高数据如下：
父亲身高x/cm
174
176
176
176
178
儿子身高y/cm
175
175
176
177
177
则y对x的线性回归方程为 ().
A. y=x— 1 B. y=x+1
1
C. y= 88+ 2x D. y= 176
解析由题意得x =—
解析由题意得x =
— 174+ 176+ 176+ 176+ 178
=176(cm),
175+ 175+ 176+ 177+ 177=176（cm）,由丁（x , y ）一定满足线性回归方
175+ 175+ 176+ 177+ 177
程，经验证知选C.
答案 C
下列说法：
将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差包不变；
设有一个回归方程y= 3-5x,变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位;
线性回归方程y= bx+ a必过（x , y ）；
在一个2X2列联表中，由计算得 x = 13.079,则有99%以上的把握认为这 两个变量问有关系.
其中错误的个数是（）.
A. 0 B . 1 C . 2 D. 3
解析 只有②错误，应该是y平均减少5个单位.
答案 B
二、填空题
已知施化肥量x与水稻产量y的试验数据如下表，则变量x与变量y是
相关（填“正”或“负”）.
施化肥量x
15
20
25
30
35
40
45
水稻产量y
330
345
365
405
445
450
455
解析 因为散点图能直观地反映两个变量是否具有相关关系， 所以画出散点图
如图所示:
通过观察图象可知变量x与变量y是正相关.
答案正
8 .考古学家通过始祖鸟化石标本发现：其股骨长度 x(cm)与肱骨长度y(cm)的线
性回归方程为y= 1.197x- 3.660,由此估计，当股骨长度为50 cm时，肱骨长 度的估计值为 cm.
解析 根据线性回归方程y= 1.197x-3.660,将x= 50代入得y= 56.19,则肱
骨长度的估计值为56.19 cm.
答案 56.19
9.为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系， 现随机抽取50名学生，
得到如下2X 2列联表：
则认为选修文科与性别有关系的可能性约为 .
解析 X-4.844,这表明小概率事件发生.根据假设检验的基本原理，应该
断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断正确的可能性约
为 95%.
答案 95%
10.某数学老师身高176 cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是 173 cm、170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预 测他孙子的身高为 cm.
解析 由题意父亲身高x cm与儿子身高y cm对应关系如下表：
x
173
170
176
y
170
176
182
173+ 170+ 176170+ 176+ 182
173+ 170+ 176
170+ 176+ 182
=176,= 173, y =
=176,
_ _
￡ (xi — x )(yi - y ) = (173 — 173)X (170 — 176)+ (170 — 173) X (176 — 176) +
i= 1
(176— 173)(182- 176)=18,
S (xi -歹)2= (173- 173)2+ (170- 173)2+ (176- 173)2= 18.? b =18 = 1. . a = i= 1
y — b x = 176- 173= 3.
线性回归直线方程y= bx+ a = x+ 3.
.L可估计孙子身高为182+ 3= 185(cm).
答案 185
三、解答题
11.某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查.数据如下表:
认为作业多
认为作业不多
合计
喜欢玩游戏
18
9
小喜欢玩游戏
8
15
合计
请完善上表中所缺的有关数据；
试通过计算说明有多大把握认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系?
解(1)
认为作业多
认为作业不多
合计
喜欢玩游戏
18
9
27
小喜欢玩游戏
8
15
23
合计
26
24
50
o n ad— bc 2
⑵将表中的数据代入公式x =但+ b \ c+ d <a + c (b+ d)
@5.059>3.841,50X (18X 15— 8X 9 f
26X 24X 27X 23
@5.059>3.841,
即说明有95%以上的把握认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系.
下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相
应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
请画出上表数据的散点图；
请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y关丁 x的线性回归方程y= bx
+ a；
已知该厂技改前生产100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求 出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标 准煤？
（参考数值：3X 2.5+ 4X 3+ 5X 4+ 6X 4.5 = 66.5）
解(1)由题设所给数据，可得散点图如图所示.
4.5
4
3
2.5
3 4 5 6双产量：吨)
4
(2)由对照数据，计算得： 公2= 86,
i = 1
-3+4+5+6
-3+4+5+6 …-
x = 4 = 4.5（吨）,y
2.5+ 3 + 4 + 4.5 …
= 4 — 3.5（吨）.
4
已知 ￡xiyi= 66.5,
i = 1
所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数为:
Exiyi — 4 x y
i = 1 66.5— 4X 4.5X 3.5
b= 4 _ = 86 - 4X 4.52 = °.乙
Zx2-4x2
a= y — b x = 3.5-0.7X4.5= 0.35.
因此，所求的线性回归方程为y= 0.7x+ 0.35.
⑶由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能 耗为：
90 - (0.7X 100+ 0.35)= 19.65(吨标准煤).
某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进 行分析研究，他们分别记录了 12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室 每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：
日期
12月1日
12月2日
12月3日
12月4日
12月5日
温差x/C
10
11
13
12
8
发牙数y/颗
23
25
30
26
16
该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据
求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验.
求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；
若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4 日的数据，求出y关丁 x的线性回归方程y= bx+ a.
解(1)设抽到不相邻两组数据为事件 A,因为从5组数据中选取2组数据共
有10种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有
4种，
一. 4 3
所以 P(A)= 1-布=5.
— —
(2)由数据，求得x= 12, y= 27.
11X 25+ 13X 30+ 12X 26= 977, 112+ 132+ 122 = 434,
5
由公式，求得b = j, a= y— b x= — 3.
5
所以y美丁 x的线性回归万程为y=|x- 3.
有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大丁等丁 85分为优秀,85分以下为
非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.
优秀
非优秀
总计
甲班
10
乙班
30
合计105
2
已知从全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为7.
请完成上面的列联表；
根据列联表的数据，若按 95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关 系”；
若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的 10名学生从
2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取
人的序号.试求抽到6号或10号的概率.
解(1)
优秀
非优秀
总计
甲班
10
45
55
乙班
20
30
50
合计
30
75
105
(2)根据列联表中的数据，得到
一2
2 105X (10X 30- 20X 45 2
顶= q 6.109> 3.841,
* 55 X 50 X 30 X 75 '
因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”.
⑶设“抽到6号或10号”为事件A,先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的 点数为(x, y),则所有的基本事件有(1,1)、(1,2)、(1,3)、…、(6,6),共36个.
事件 A包含的基本事件有(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1), (4,6), (5,5), (6,4), 共8个，
8 2
?P(A)= 36= 9.
