2018-2019学年辽宁省葫芦岛市高岭开发区中学高一数学文上学期期末试题
时间：2020-08-31 00:06:26 来源：勤学考试网 本文已影响 人 
2018-2019学年辽宁省葫芦岛市高岭开发区中学高一数学文上学期期末试题
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （5分）函数f（x）=|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点的个数为（）
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
参考答案：
C
考点： 函数的零点；对数函数的单调性与特殊点．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 先求出函数的定义域，再把函数转化为对应的方程，在坐标系中画出两个函数y1=|x﹣2|，y2=lnx（x＞0）的图象求出方程的根的个数，即为函数零点的个数．
解答： 解：由题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞）；
由函数零点的定义，f（x）在（0，+∞）内的零点即是方程|x﹣2|﹣lnx=0的根．
令y1=|x﹣2|，y2=lnx（x＞0），在一个坐标系中画出两个函数的图象：
由图得，两个函数图象有两个交点，
故方程有两个根，即对应函数有两个零点．
故选C．
点评： 本题考查了函数零点、对应方程的根和函数图象之间的关系，通过转化和作图求出函数零点的个数．
2. 已知直线a、b与平面α、β、γ，下列条件中能推出α∥β的是（
）
A．a⊥α且a⊥β B．a⊥γ且β⊥γ
C．a?α，b?β，a∥b D．a?α，b?α，a∥β，b∥β
参考答案：
A
【考点】平面与平面平行的判定．
【专题】阅读型．
【分析】根据垂直于同一直线的两个平面平行可知选项A是否正确；平面与平面垂直的性质，判断选项B的正误，对于选项C可知两个平面可能相交，选项D，若a与b平行时，两平面相交，对选项逐一判断即可．
【解答】解：选项A，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可知正确；
选项B，α⊥γ，β⊥γ可能推出α、β 相交，所以B不正确；
选项C，a?α，b?β，a∥b，α与β 可能相交，故不正确；
选项D，a?α，b?α，a∥β，b∥β，如果a∥b推出α、β 相交，所以D不正确；
故选：A
【点评】本题考查平面与平面垂直的性质，以及直线与平面平行与垂直的性质，同时考查了推理论证的能力，属于基础题．
3. 已知对任意不等式恒成立（其中，是自然对数的底数），则实数a的取值范围是（? ）
A． B． C. D．
参考答案：
A
由得，令，则，
在是增函数，在上是减函数，，.
4. 设向量，，，且，则实数的值是（ ）
A、5 B、4 C、3 D、
参考答案：
A
略
5. 在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ）
A. a=7，b=3，B=30°
B. b=6，，B=45°
C. a=10，b=15，A=120°
D. b=6，，C=60°
参考答案：
D
【分析】
根据三角形解的个数的判断条件得出各选项中对应的△ABC解的个数，于此可得出正确选项.
【详解】对于A选项，，，此时，△ABC无解；
对于B选项，，，此时，△ABC有两解；
对于C选项，，则为最大角，由于，此时，△ABC无解；
对于D选项，，且，此时，△ABC有且只有一解.故选：D.
【点睛】本题考查三角形解的个数的判断，解题时要熟悉三角形个数的判断条件，考查推理能力，属于中等题.
6. 设、是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是
A. 若，，则?
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
参考答案：
B
7. 三个数a=0.32，b=(1.9)0.3，c=20.3之间的大小关系是
A．a＜c＜b B．a＜b＜c? C．b＜a＜c D．b＜c＜a
参考答案：
B
8. 已知函数,若有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是（ ）
A. (1,3) B. (0,3)C. (0,2) D.(0,1)
参考答案：
D
9. 已知是上的奇函数，则函数的图像必过点 （ ）
A．? B．? C．(0,0) D．(1,0)
参考答案：
A
10. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座七层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A．5盏 B．4盏? C．3盏 D．2盏
参考答案：
C
设塔顶的a1盏灯，
由题意{an}是公比为2的等比数列，
∴S7==381，
解得a1=3．
故选：C．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 给出下列说法：
①集合与集合是相等集合；
②不存在实数,使为奇函数；
③若，且f(1)=2,则；
④对于函数在同一直角坐标系中，若，则函数的图象关于直线对称；
⑤对于函数在同一直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称；其中正确说法是 。
参考答案：
? ①②③
12. 扇形AOB的面积是，弧长为π，则圆心角为_____．
参考答案：
【分析】
根据扇形面积公式求得半径；再利用弧长公式求得结果.
【详解】由扇形面积：得：
，解得：
本题正确结果：
【点睛】本题考查扇形弧长和面积公式的应用，属于基础题.
13. 已知方程（a为大于1的常数）的两根为，，
且、，则的值是_________________.
参考答案：
解析：? ，
是方程的两个负根
? 又? ?即
? 由===可得
14. 已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N+，Sn=（﹣1）nan++n﹣3且（t﹣an+1）（t﹣an）＜0恒成立，则实数t的取值范围是 ．
参考答案：
（﹣，）
【考点】数列递推式．
【分析】由数列递推式求出首项，写出n≥2时的递推式，作差后对n分偶数和奇数讨论，求出数列通项公式，可得函数an=﹣1（n为正奇数）为减函数，最大值为a1=﹣，函数an=3﹣（n为正偶数）为增函数，最小值为a2=，再由（t﹣an+1）（t﹣an）＜0恒成立求得实数t的取值范围．
【解答】解：由Sn=（﹣1）nan++n﹣3，得a1=﹣；
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（﹣1）nan++n﹣3﹣（﹣1）n﹣1an﹣1﹣﹣（n﹣1）+3
=（﹣1）nan+（﹣1）nan﹣1﹣+1，
若n为偶数，则an﹣1=﹣1，∴an=﹣1（n为正奇数）；
若n为奇数，则an﹣1=﹣2an﹣+1=2（﹣1）﹣+1=3﹣，
∴an=3﹣（n为正偶数）．
函数an=﹣1（n为正奇数）为减函数，最大值为a1=﹣，
函数an=3﹣（n为正偶数）为增函数，最小值为a2=，
若（t﹣an+1）（t﹣an）＜0恒成立，
则a1＜t＜a2，即﹣＜t＜．
故答案为：（﹣，）．
15. 在等比数列中，如果，，那么等于? ．
参考答案：
8
16. 函数，则 .
参考答案：
? 2
略
17. 在数列中，，，那么的通项公式是 。
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设a∈R是常数，函数f（x）=a﹣
（Ⅰ）用定义证明函数f（x）是增函数
（Ⅱ）试确定a的值，使f（x）是奇函数
（Ⅲ）当f（x）是奇函数，求f（x）的值域．
参考答案：
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】（Ⅰ）、根据题意，设﹣∞＜x1＜x2＜+∞，则有f（x1）﹣f（x2）=﹣=，结合函数指数函数的单调性，分析可得﹣＞0以及（+1）与（+1）均大于0，即可得f（x1）﹣f（x2）＞0，即可证明函数单调性；
（Ⅱ）根据题意，结合函数的奇偶性的性质，可得a﹣=﹣（a﹣），解可得a的值，即可得答案；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得函数的解析式，将其变形可得2x=＞0，解可得y的范围，即可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，设﹣∞＜x1＜x2＜+∞，
则f（x2）﹣f（x2）=（a﹣）﹣（a﹣）=﹣，
又由函数y=2x为增函数，且x1＜x2，
则有﹣＞0，
而（+1）与（+1）均大于0，
则有f（x1）﹣f（x2）=﹣=＞0，
故函数f（x）=a﹣为增函数，
（Ⅱ）根据题意，f（x）是奇函数，
则必有f（﹣x）=﹣f（x），
即a﹣=﹣（a﹣），
解可得a=1；
（Ⅲ）根据题意，由（2）可得，若f（x）是奇函数，则有a=1，
故f（x）=1﹣，
变形可得2x=＞0
解可得：﹣1＜k＜1，
故函数f（x）的值域为（﹣1，1）．
19. 函数是定义在（-1,1）上的奇函数，且，
（1）确定函数的解析式；
（2）用定义证明在（-1,1）上是增函数；
（3）解不等式
参考答案：
解：（1）依题意得，………2分
即，∴，∴………4分
（2）任取，且，则
………6分
由于，?
所以，………8分
因此函数在（-1,1）上是增函数………9分
（3）由得，………11分
∴，………13分
解得………14分
20. （本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，点A(-l，-2）、B(2，3)、C(-2，-1)。
(Ⅰ)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长：
（Ⅱ)设实数t满足，求t的值。
参考答案：
21. 已知数列{an}满足前n的和为Sn=n2，数列{bn}满足bn=，且前n项的和Tn，设cn=T2n+1﹣Tn．
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）判断数列{cn}的单调性．
参考答案：
【考点】数列递推式；数列的函数特性．
【分析】（1）利用an+1=Sn+1﹣Sn即得结论；
（2）写出cn+1﹣cn的表达式，利用放缩法即得结论．
【解答】解：（1）∵Sn=n2，
∴a1=S1=1，an+1=Sn+1﹣Sn=（n+1）2﹣n2=2n+1，
∴bn===，
又∵b1===1满足上式，
∴bn=；
（2）∵cn=T2n+1﹣Tn
=++…+，
∴cn+1=+…+++，
∴cn+1﹣cn=+﹣＜+﹣=0，
∴数列{cn}是递减数列．
22. (本小题满分14分) 已知f(x)＝sin(π＋ωx)sin(－ωx)－cos2ωx(ω>0)的最小正周期为T＝π.
(1)求f()的值；
(2)在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若有(2a－c)cosB＝bcosC，则求角B的大小以及f(A)的取值范围．
参考答案：
(1)f(x)＝sinωxcosωx－cos2ωx
(2)∵(2a－c)cosB＝bcosC，
∴由正弦定理可得：(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，
∴2sinAcosB＝sinBcosC＋cosBsinC＝sin(B＋C)
＝sin(π－A)＝sinA，
