江苏省苏州市2017届高三调研测试数学试题x

苏州市 2017 届高三第一学期期末调研数学试卷

一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）

1、已知集合 A

x x

1 ， B x x 3

，则集合 A B

．

1

i

，其中 i 为虚数单位，则复数

z 的虚部为

．

2、已知复数 z

2

i

3、在平面直角坐标系

x 2

y2

1的离心率为

．

xOy 中，双曲线

6

3

4、用分层抽样的方法从某高中校学生中抽取一个容量为 45 的样本，其中高一年级抽 20

人，高三年级抽 10 人，已知该校高二年级共有学生

300

人，则该校学生总数为

．

5、一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为

0.2

，目标未受损的概率为

0.4 ，则目标受损

但未完全击毁的概率为

．

6、阅读下面的流程图，如果输出的函数

f ( x) 的值在区间 [ 1 , 1 ] 内，那么输入的实数 x 的

4

2

取值范围是

．

开始

y

x

1

输入 x

7

x, y

满足

x 3

，则目标函数

z 2x

y

的最大值是

．

、已知实数

N

x y 4

x [ 2, 2]

f (x) 2

8、设 Sn 是等差数列

an

的前 n 项和，若 a2

7, S7

7，则 a7 的值是

Y

．

x

f (x) 2

9、在平面直角坐标系

xOy 中，已知过点

M (1,1)

的直线 l 与

输出 f (x)

圆 (x 1) 2

( y 2) 2

5 相切，且与直线 ax

y

1 0 垂直，则实数 a

．

结束

10、一个长方体的三条棱长分别为

3,8,9 ，若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面

积没有变化，则圆孔的半径为 ．

11、已知正数 x, y 满足 x

4

1

．

y 1，则

的最小值为

x 2 y

1

12、若 2 tan

3 tan ，则 tan(

)

．

8

8

13

x 2

, x

f (x) ax 5

0

4

0

，若关于 x

的方程

恰有三个不同的

、已知函数

ex

5, x

0

实数解，则满足条件的所有实数

a 的取值集合为

个．

14、已知 A, B, C 是半径为

1的圆

O 上的三点， AB 为圆 O 的直径， P 为圆 O 内一点（含

圆周），则 PA PB PB PC PC PA 的取值范围为 ．

二、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分．解答应写出必要的文字说明、证明

或演算步骤）

15、已知函数 f ( x)

3 sin 2x cos2 x

1

．

2

2

（1）求函数 f (x) 的最小值，并写出取得最小值时的自变量

x 的集合

（2）设

ABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为

a, b,c ，且 c

3 ， f (C )

0 ，若

sin B

2 sin A ，求 a, b 的值．

16、如图，已知直四棱柱 ABCD A1 B1C1 D1 的底面是菱形， F 是 BB1 的中点， M 是线

段 AC1 的的中点．

（1）求证：直线 MF // 平面 ABCD；（2）求证：平面 AFC1 平面 ACC1 A1 ．

x2

y 2

3

，且过点

P(2,

1)

．

、已知椭圆

C : a2

b21( a b 0)

的离心率为

2

17

（1）求椭圆 C 的方程；

（2）设点 Q 在椭圆 C 上，且 PQ 与 x 轴平行，过 P 点作两条直线分别交椭圆

C 于 A( x1 , y1 )

B( x2 , y2 ) 两点，若直线 PQ 平分 APB ，求证：直线

AB 的斜率是定值，并求出这个定

值．

18、某湿地公园内有一条河，现打算建一座桥（图 1）将河两岸的路连接起来，剖面设计图

纸（图 2）如下：

其中，点 A, E 为 x 轴上关于原点对称的两点，曲线

BCD 是桥的主体， C 为桥顶，且曲线

段

BCD

在图纸上的图形对应函数的解析式为

y

8

, x

[ 2,2] ，曲线段 AB , DE 均

4 x 2

为开口向上的抛物线段，且 A, E 分别为两抛物线的顶点．设计时要求：保持两曲线在各衔

接处 (B, D ) 的切线的斜率相等．

（1）求曲线段 AB 在图纸上对应函数的解析式，并写出定义域；

（2）车辆从 A 经 B 到 C 爬坡．定义车辆上桥过程中某点

P 所需要的爬坡能力为： M P

（该点 P 与桥顶间的水平距离）

（设计图纸上该点 P 处的切线的斜率） ，其中 M P 的单

位：米．若该景区可提供三种类型的观光车：①游客踏乘；②蓄电池动力；③内燃机动力，

它们的爬坡能力分别为 0.8 米， 1.5 米， 2.0 米，又已知图纸上一个单位长度表示实际长度

1米，试问三种类型的观光车是否都可以顺利过桥？

19、已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 Sn 2an 2（ n N ）．

（1）求数列 an 的通项公式；

（2）若数列

bn 满足

1

b1b2

b3

1

( 1) n 1bn

，求数列

bn 的

an

2122

1 23

2n

1

通项公式；

（3）在（ 2）的条件下，设 cn

2n

bn ，问是否存在实数

，使得数列

cn （ n

N ）

是单调递增数列？若存在，求出

的取值范围；若不存在，请说明你的理由．

20、已知函数 f ( x) (ln x k 1) x （ k R ）．

（1）当 x 1时，求函数 f ( x) 的单调区间和极值；

（2）若对于任意

x

[ ,

2

]

，都有

f ( x)

4 ln x 成立，求实数

k 的取值范围；

e e

（3）若 x1

x2 ，且 f (x1 )

f ( x2 ) ，证明： x1 x2 e2k

．

附加题

21. 【选做题】在 A、B、 C、 D四小题中只能选做 2 题 ,每小题 10 分,共 20 分 . 解答时应写出

必要的文字说明、证明过程或演算步骤 .

A . 选修 4-1:几何证明选讲

如图 ,E 是圆 O 内两条弦 AB 和 CD 的交点 ,过 AD 延长线上一点 F 作圆 O 的切线 FG ,G 为切

点,已知 EF=FG ,求证 :EF∥CB.

(第 21-A 题)

选修 4-2: 矩阵与变换

2

1

1

1

已知矩阵 A=

,B=

0

,求矩阵 C,使得 AC=B.

1

3

1

选修 4-4: 坐标系与参数方程

x 1

2 t

在平面直角坐标系

xOy 中 ,直线 l 的参数方程为

2



(t 为参数 ),以坐标原点 O 为极

y 2

2 t

2

点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中

,曲线 C 的极坐标方程为

ρsin2θ-4cos θ=0,已知直线 l 与曲

线 C 相交于 A,B 两点 ,求线段 AB 的长 .

D. 选修 4-5:不等式选讲

已知 a,b,x,y 都是正数 ,且 a+b= 1,求证 :(ax+by )(bx+ay ) ≥xy.

【必做题】 第



22,23 题 ,每小题



10 分,共



20 分 . 解答时应写出必要的文字说明、



证明过程或演

算步骤 .

22.口袋里装有大小相同的卡片八张



,其中三张标有数字



1,三张标有数字



2,两张标有数字



3.

第一次从口袋里任意抽取一张 ,放回口袋后第二次再任意抽取一张

卡片上的数字之和为 ξ.



,记第一次与第二次取到

ξ为何值时 ,其发生的概率最大 ?请说明理由 ;

求随机变量 ξ的数学期望 E(ξ).

23.在平面直角坐标系



xOy



中,已知两点



M(1,-3), N(5,1),



若 点



C 的坐标满足

=t



+ (1-t)



(t ∈ R),且点



C 的轨迹与抛物线



y2= 4x 交于



A,B 两点 .

(1) 求证



:OA⊥OB ;

(2) 在 x 轴上是否存在一点



P(m,0),使得过点



P 任作一条抛物线的弦



,并以该弦为直径的圆都

过原点



?若存在



,求出



m 的值及圆心的轨迹方程



;若不存在



,请说明理由



.

苏州市 2017 届高三第一学期期末考试答案

1.

(1,3)

1

先化 z=a+b i( a,b∈ R)的形式或设 z=a+b i(a,b∈ R),再去分母 .

2.

-2

思路分析

(1 -i )i

1+i

1

1

1

解法 1 z= 2i ·i=

-2

=- 2

-2i,所以 z 的虚部是 -2.

解法 2

设 z=a+b i( a,b∈ R), 则 2i( a+b i) = 1-i,即 -2b+ 2ai= 1- i,所以 -2b= 1,得 b=- 1.

2

易错警示 复数 z=a+b i(a,b∈ R)的虚部是 b, 不是 bi.

3. 3 思路分析 先求出 a2∶b2∶ c2.

2

由已知 ,得 a2 ∶b2∶c2 = 3∶6∶9,得 e2= 2 =3,所以 e= 3 .

900 思路分析 根据分层抽样的特点 ,建立比例式 .

300 45-20 -10

设该校学生总数为 n,则 = ,得 n= 900.

5. 0.4 设“目标受损但未完全击毁 ”为事件 A,则其对立事件 是 “目标未受损或击毁目

标 ”.

P(A)= 1-P( )= 1-(0.4+ 0.2)= 0.4.

解后反思

在数学中 ,“但 ”与“且 ”的意义本质上是相同的 .

6. [-2,-1]

流程图表示输出分段函数 f(x)= 2 ,

∈ [- 2,2], 的值 .令 f(x)∈ 1

,

1

,得

2,

? [- 2,2]

4

2

-2 ≤ ≤2,

1 解得 -2≤x≤-1.

4≤2 ≤2,

5 思路分析 先画出可行域 ,并解出 .

可行域是以 A(3,1),B(3,2), C(2.5,1.5)为顶点的 △ABC 及它的内

部 .z=2x-y= (2,-1) ·(x,y)≤(2,-1) ·(3,1)= 5.

解后反思 利用向量数量积的几何意义 —— 一个向量的模与另一个向量在该向量上的投

影的乘积 ,比平移直线更直观 .

8. -13 思路分析 可先求出基本量

在等差数列 { an} 中 ,S7 =7a4=- 7,所以



a1 ,d,再求

a4=- 1.又



a7; 也可利用

a2= 7,所以公差



S7= 7a4 先求出

d=- 4,从而



a4.

a7=a 4+ 3d=- 1-12=- 13.

9. 1 思路分析 可用过圆上一点的切线方程求解 ;也可用垂直条件 ,设切线方程

2

( x-1)-a(y-1)=0,再令圆心到切线的距离等于半径 .

因为点 M 在圆上 ,所以切线方程为 (1+ 1)(x+ 1)+ (1- 2)(y-2)= 5,即 2x-y-1=0.由两直线的法向

量 (2,-1)与 ( a,1)垂直 ,得 2a-1= 0,即 a= 1.

2

思想根源

以圆 (x-a)2

2

=r

2 上一点 T(x0 0

+(y-b)

,y )为切点的切线方程为

0

0

2

( x -a)(x-a)+ (y -b)( y-b)=r .

3 思路分析 先不考虑在哪个面上钻孔 ,考察圆柱半径与高的关系 , 再检验 .

设圆柱的底面半径为 r ,高为 h,该长方体上面钻孔后其表面积少了两个圆柱底面 , 多了一

个圆柱侧面 .由题意 ,得 πr2 +πr2 =2πrh,得 r=h. 经检验 ,只有 r= 3 符合要求 , 此时在 8×9 的面上打

孔 .

易错警示

实际应用问题须检验 .

11. 49

解法 1

令 x+ 2=a,y+ 1=b ,则

4

1

1

(a+b )

4

1

1

5+

4

+

1

9

,当且仅当 a=

8

4

2

1

a+b= 4(a> 2,b> 1), +

=

+

=

4

≥(5+ 4)=

4

3

,b=

,即 x=

,y= 时

4

4

3

3

3

取等号 .

解法 2 (幂平均不等式 )设 a=x+ 2,b=y+ 1,则 4

+

1

=4+1=2

2

2

(1+2 )2

9.

+ 1

≥

=

+2

+1

+

4

解法 3 (常数代换 )设 a=x+ 2,b=y+ 1,则

4

1

4

1

+

+

+

5

+ +

9

+2

+

=

+ =

4

=

≥,当且仅当 a= 2b 时

+1

4

4

4

取等号 .

思想根源

(权方和不等式 )

2(+)2

若 a,b,x,y∈(0,+ ∞),则 + ≥ + ,当且仅当 = 时取等号 .

1+5

2

可先记 t= tan

π

12.

49

思路分析

8,最后再代入化简 .

解法 1

π 1-cosπ

3

记 t= tan =

sin

π4

=

2-1,则 tanα= t. 所以

8

4

2

3

-

2-1

( 2- 1)( 11+6

2)

1+5 2.

tan

-

π = 2

2=

2 =

3

2+3

=

49

=

8

1+ 2

11-6 2

49

3

π

π

解法 2 tan

-

π

=

2 tan 8- tan8

8

3

2

π

1+

tan

8

2

π

π

π

tan

sin cos

=

8

2

=

2

8

8

2

π

π

π

2+3tan

8 2cos 8 +3sin

8

=

sin 4π

1+cos

π

π

2

+3

1-cos

4

4

2

1

1+5

2

= 10- 2= 5 2-1= 49 .

解后反思

有时 ,“硬做 ”也是必须的 .

5

5

.关键是两条动

13.

-e,- ln5 ,2, 2

思路分析

化为定曲线与两条动直线共有三个公共点

直线关于 x 轴对称 ,其交点在 x 轴上 .

方程 |f (x)|-ax- 5=0?

f( x)=ax+ 5 或 f(x)=-ax- 5.所以曲线 C:y=f (x)与两条直线 l:y=ax+ 5 和

m:y=-ax- 5 共有三个公共点 .由曲线的形状可判断直线

l 与曲线 C 总有两个交点 ,所以可有情况

是 :直线 m 与曲线 C 相切 , 直线 m 与曲线 C 相交两点但其中一点是

l,m 的交点 - 5

,0 . 由 m 与

C 相切 ,得当 a> 0

时 ,y=-ax- 5

与 f(x)图像在 x≤0 的一侧相切 .设切点为 (x ,y ),则

0

0

f' (x )=2x =-a ,x =-

2.又切线方程为

y-y =-a (x-x ),得

0

0

0

0

0

y=-ax+ax 0+y 0=-ax+a ·- +

2

-4=-ax-

2

-4=-ax- 5,得 a= 2.同理当 a< 0 时,可得 a=- e.由题易知 a≠0,

4

4

2

从而 m 与 C 相切时 ,a= 2 或 a=- e;由点 - 5 ,0

在 C 上,得当 a> 0 时,交点位于 f(x)图像在 x≤0 的

5

= 252 -4= 0,a= 25;当 a< 0 时 ,交点位于 f(x)图像在 x> 0

一侧 ,此时有 f -

的一侧 ,此时有

f -

5

5

5

5或 a=-

5

= e-

-5= 0,a=-

,故由交点在 C 上得 a=

. 经判断 ,a 的这四个值均满足要求 .

ln5

2

ln5

解后反思 先确定 a 的可能值 ,再检验 ,较易操作 .也可考虑定曲线

y=|f (x) |与动直线 y=ax+b

的公共点的问题 .

14.

- 4,4

思路分析

固定顶点 A,B 后 ,就是一个双动点问题 ,与单个动点问题类似 .

3

解法 1 在平面直角坐标系

xOy 中 ,设 A(-1,0),B(1,0),C(cosα,sinα),P( rcosβ,rsinβ),其中 α∈

(0,π),r∈ [0,1], β∈ R.

· +

· + · = 3r 2-1-2r cos(β-α)∈[3r

2-2r- 1,3r 2+ 2r- 1]? -

4

,4

1

3

,当 r= , β= α时,取得

3

最小值 -4;当 r= 1,β= π+ α时 ,取得最大值 4.

3

解法 2

·+ ·+ ·=

( + )2-(

-)2+ ·(+ )

4

( 2

)2 -

2

=

4

+ 2 ·

=

2+ 2

· -1.

以 O 为坐标原点 ,建立直角坐标系 ,设 P(x0,y0),C(cosθ,sinθ),则

2

+ 2

· -1=3

2

2

-2x cosθ-2y sinθ-1,

0

0

其中 x0

0

sinθ=

2

2

φ)∈[ -

2

+

2

2

2

].

cosθ+y

0

+ 0 sin(θ+

0

0,

0 +

0

令 t=

02 +

02∈ [0,1], 则 3t2-2t- 1≤

2+2

· - 1≤3t 2+ 2t- 1,

得到

2+ 2

· -1∈ -4,4 .

3

解法

3

· + ·

+ ·

(

+

)2 -(

-

)2

=

4

+·(+)

=( 2

)2 -

2

+ 2

·

4

=

2+ 2

· -1.

若知道

·=( -

)·(

+ )=PO

2-OB2, · +

· = (

+

)· =2 · ,可加

快计算速度 .

实际上 ,PO2-OB2 =r 2-1,由向量数量积的定义知

2 ·=2 ·(

-

)∈ [2r2 -2r,2r2+ 2r] .

更进一步 ,

· +

· +

· = 3

2 -2

· -1=3

- 1

2

-4.

3

3

思想根源

设 G 是 △ABC 的重心 ,P 是平面 ABC 上任意一点 ,则

·+ ·+

· = 3

2-

2+ 2+ 2.

6

思路分析 (1) 首先把函数化简为 f( x)=A sin( ωx+ φ)+B 的形式 ,其中 A> 0,ω> 0.

(2) 利用正弦、余弦定理 ,列出关于边 a,b 的方程组 .

规范解答 (1)

因为 f(x)= 3

sin2x-

1

(1+ cos2x)-

1

(2 分)

2

2

2

π

=sin 2 - 6 -1,(4 分 )

所以函数 f(x)的最小值是 -2, (5 分)

π

π

π

=

π

分 )

此时 2x- = 2kπ- ,k∈Z, 得 x=kπ- ,k∈Z, 即 x 的取值集合为

π- , ∈ Z . (7

6

2

6

6

π

π π

π

(9 分)

(2) 由 f(C)= 0,得 sin 2 -

=1.又 C∈ (0,π),所以 2C-

= ,得C= .

6

6

2

3

由 sinB= 2sinA 及正弦定理 ,得 b= 2a. (11 分 )

由余弦定理 c2=a 2+b 2-2abcosC,得 a2+b 2-ab= 3. (13 分)

由

= 2

,

= 1 ,

(14 分)

2 +

2

解得

- =3,

= 2 .

思路分析 (1) 要证 MF ∥平面 ABCD,只要证 MF 与平面 ABCD 内的某直线平行 .当 F 沿 移到 B 时 ,M 恰好移到 AC 的中点 E.也可以找 MF 所在的平面 AC 1F 与底面 ABCD 的交线 .(2) 只要先证 MF ⊥平面 ACC1A1 ,只要证 EB⊥平面 ACC1A1.

规范解答

(1) 证法 1 如图 1,连结 AC ,取 AC 的中点 E,连结 ME,EB.

因为 M,E 分别是 AC 1

1 1

分)

2

又F是B1

1

1

1 1

C,

B的中点,且BB

C C,得 FB

2C

所以 ME

FB,四边形 MFBE 是平行四边形 , (4 分 )

所以 MF ∥ EB.

因为 MF ? 平面 ABCD ,EB? 平面 ABCD,

所以 MF ∥平面 ABCD. (7 分)

图 1

证法 2 如图 2,延长 C1F,CB 相交于点 G,连结 AG.

因为 FB

1C1C,所以 F 是 GC1 的中点 .

(2 分)

2

又因为 M 是 AC1 的中点 ,所以 MF ∥AG.

(4 分)

因为 MF ? 平面 ABCD ,AG? 平面 ABCD ,

所以 MF ∥平面 ABCD. (7 分)

图 2

(2) 如图 1,因为底面 ABCD 是菱形 ,得 BA=BC ,又 E 是 AC 的中点 ,所以 EB⊥AC. 因为 A1A ⊥平面 ABCD ,EB? 平面 ABCD,所以 A1A⊥ EB. (9 分)

由 (1)知,MF∥ EB,所以 MF⊥ AC,MF ⊥ A1A. (11 分)

又因为 A1

1

1

1

1 1

(13 分)

A∩AC=A ,A A,AC? 平面 ACC

A ,所以 MF ⊥平面 ACC A .

因为 MF ? 平面 AFC1

1

1 1

(14 分)

,所以平面 AFC

⊥平面 ACC A .

17.

思路分析

(1) 由 e 求得 a∶b∶c.

(2)

最简单直接的解法是

:利用 PA,PB 的斜率互为相反数 ,直接求出 A,B 的坐标 .

规范解答 (1)

由 e= =

3

2

2

2 , 得 a∶b∶ c= 2∶1∶ 3,椭圆 C 的方程为 4 2 +

2= 1. (2 分)

2 2

把 P(2,-1)的坐标代入 ,得 b2=2,所以椭圆 C 的方程是 8 + 2 = 1. (5 分 )

由已知得 PA,PB 的斜率存在 ,且互为相反数 .(6 分 )

设直线 PA 的方程为 y+1=k (x-2),其中 k≠0.

由

+1 =

( -2),消去 y,得 x2+ 4[kx-(2k+ 1)]2= 8,

2 +4

2=8,

即 (1+4k2)x2- 8k(2k+1)x+ 4(2k+ 1)2-8= 0. (8 分 )

因为该方程的两根为 2,xA

,所以

A

4( 2 +1 )2-8

A

8 2+8

- 2

A

4 2-4 -1

.(10

分 )

2x =

1+4 2

,即 x =

1+4

2 .从而 y =

4 2+1

把 k 换成 -k,得 xB

=

8 2-8 -2

B

4 2+4 -1

. (12 分)

1+4 2

,y =

4

2+1

计算 ,得 kAB= - = 8 =- 1 ,是定值 . (14 分 )

-162

解后反思

利用直线

PA 与椭圆 C 已经有一个交点

P(2,-1),可使得解答更简单 .

由 +1=

( -2),得

+1

= ( -2),

2 +4

2=8,

4( 2-1) =4 - 2,

当 (x,y)≠(2,-1)时 ,可得

+1

= ( -2),

4 (

-1) = - -2.

8

2+8

-2

解得

=

4 2+1

,

4 2-4 -1

=

42+1 .

以下同解答 .

下面介绍一个更优雅的解法 .

由 A,B 在椭圆 C:x2

2

1

2

1 2

1

2

1 2

AB

1 -

2

1

1

+ 2

.

1 -

2

4

1 + 2

同理 kPA

1+11

1 +2

PB

2+1

1

2 +2

PA

PB

,所以

1 +1

2 +1

1 +2

2+2

=

1- 2 =- 4·1 -1 ,k

=

2-2=-4

·2 -1 .由已知

,得 k

=-k

1-2 =-

2-2 ,且

1-1 =-

2-1 ,

y +x y = 2(y +y ) -(x +x

2

)+ 4,且 x y +x

y = (x +x ) -2(y

1

+y ) + 4.从而可得 x +x

= 2(y +y

2

). 所

即 x1 2

2 1

1

2

1

1 2

2 1

1

2

2

1

2

1

以 kAB

1 1 +

2

1

,是定值 .

2

4 1 +

2

18.

思路分析 (1)

首先 B(-2,1).设曲线段 AB 对应函数的解析式为

f(x),则 f(-2)= 1

且

1

f' (-2)=2 .

(2)

先算出 MP 的最大值 .

- 16

1

规范解答

(1) 首先 B(-2,1),由 y'= (4+

2 )2 ,得曲线段 BCD 在点 B 处的切线的斜率为 2.

(2

分 )

设曲线段 AB 对应函数的解析式为

y=f( x)=a (x-m)2(x∈ [m,- 2]),其中 m<- 2,a> 0.

由题意 ,得

(-2) = (-2- )2 =1 ,

= -6,

1

解得

1

.(4 分)

'(-2) = 2 (-2- ) = 2

,

= 16

所以曲线段 AB 对应函数的解析式为

y= 1 (x+ 6)2(x∈ [- 6,-2]) . (5 分 )

16

(2)

设 P(x,y),记

- 81

( +6

),

∈[-6,-2],

g(x)=M P= (0-x)y'=

16

2

(7 分)

(4+

2)2 ,

∈[-2,0].

①当 x∈[-6,-2] 时,g(x)的最大值为 g(-3)= 9; (10

分)

8

-( 2-4)2

②当 x∈[-2,0]时 ,g(x)-g(-2)= (4+ 2 )2 ≤0,即 g(x) ≤g(-2)=1,

得 g(x) 的最大值为 g(x)max= 89.

(13

分 )

综上所述 ,g(x)max =89 .

(14

分 )

因为 0.8<

9

8 < 1.5< 2,

所以 ,游客踏乘的观光车不能过桥

,蓄电池动力、内燃机动力观光车能够顺利过桥

.

(16

分 )

19.

思路分析 (1) 利用 an=

1,

= 1 ,得到 an+ 1 与 an 的关系 .

-

-1,≥2,

(2)

与 (1) 类似 ,相当于 (-1) +1

2 +1

的前 n 项和为

1

.当 n≥2 时 ,(-1) n+1

=

1

-

1

.

2 +1

- 1

即 cn+ 1-cn> 0 对 n∈N* 恒成立 .考虑分离出 λ.

规范解答 (1) a1

1

n+1

=S

n+ 1

n

n+ 1

n

n+1

n

(2 分)

=S = 2.由 a

-S = (2a

-2)-(2a

-2),得 a

=2a .

所以数列 { an} 是首项为 2,公比为 2

的等比数列 ,an= 2n.

(4 分)

(2)

由

1

=

1

1

3

(5 分)

2+1

1

2

当 n≥2 时 , 1 -

1

= (-1)n+ 1

+1

,

- 1

2

2 +1

得 bn= (- 1)n 2

.

(8 分)

3

所以 bn

2 ,

2 +1

= 1,

(9 分)

=

(-1)

,

≥ 2.

2

(3)

假设数列

n

n+1

n

n

n+ 1

n

*

恒成立 .

{ c }是单调增数列 ,则 c

-c = 2 +

λ(b

-b )> 0 对 n∈ N

①当 n= 1 时 ,由 2+ λ5

-

3

> 0,得 λ< 8;

(11 分)

4

2

②当 n≥2 时 ,bn+ 1

2 +1

+1

2

+1

2 +2

+3

n

= (-1)

n+ 1

2 +1

-(-1)

n

n+ 1

-b

2 =( -1)

2+1 .

1

若 n= 2k,k∈ N* ,则λ< 2 -( -1 )+3 ·2-(2

+1

)恒成立 ,

而

-( -1)

1

-(2

+1 ) 单调递增 ,当 n= 2

时取最小值 32 ,得 λ< 32 ;

(13 分)

2

+3 ·2

19

19

若 n= 2k+ 1,k∈N * ,则λ>- 2-( -1) +31·2-(2 +1 )恒成立 ,

1

128

128

而 -2-( - 1)+3 ·2-(2 +1 )单调递减 ,当 n= 3 时取最大值

- 35 ,得λ>- 35 .

(15 分)

128

32

综上所述

,存在实数 λ,且 λ的取值范围是 - 35 , 19 .

(16分)

解后反思

特别要注意对 n= 1 时的单独处理 .

思路分析 (1) 只要注意对 k 的讨论 .

(2) 分离出 k,转化为 k>K (x)恒成立问题 .

1k

2

k

2

e2

1

2

e2

1

的不

(3) 先说明 0<x < e <x

,从而只要证

e <x

<

1

,只要证 f( x )=f (x ) <f

1

.转化为关于 x

等式对 0<x 1< ek 恒成立问题 .

规范解答 (1) f' (x)= lnx-k,其中 x>1.

(1 分)

①若 k≤0,则 x> 1 时 ,f' (x)> 0 恒成立 ,f(x)在(1,+ ∞)上单调递增 ,无极值 ;

(2 分)

②若 k> 0,则 f(x)在 (1,ek] 上单调递减 ,在 [ek,+∞)上单调递增 ,

(4 分)

有极小值 f(ek)=- ek,无极大值 .

(5 分)

(2) 问题可转化为 k>

4

对 x∈[e,e2] 恒成立 . (7 分 )

1 - lnx-1

4

ln x-1,则 K' (x)=

4

4

1

4

1

设 K (x)= 1-

2 lnx+ 1 -

=

2 (lnx-1)+ .

当 x∈ [e,e2

1

2

max

2

8

]时 ,K' (x)

≥> 0,所以

K(x)在 [e,e ] 上单调递增

,K( x)

=K (e )= 1-

e2

. (9

分)

所以实数 k 的取值范围是 1-

82,+ ∞.

(10 分)

e

(3) 因为 f' (x)= ln x-k,所以 f(x)在 (0,ek]上单调递减 ,在 [ek,+∞) 上单调递增 .

不妨设 0<x 1

k2

1 2

2k

2

e2

1

因为 f( x)在 [ek

,+ ∞)上单调递增

,所以只要证

1

2

e2

,即要证

1

e2

.

(12 分)

(ln x1-k- 1)x1< (k-lnx1-1)

1

令 t= 2(k-ln x1 )> 0,只要证 (t- 2)et+t+ 2> 0.

设 H (t)= (t-2)et+t+ 2,则只要证 H(t) > 0 对 t> 0 恒成立 .H' (t)= (t- 1)et+ 1,H″(t)=t et> 0 对 t> 0 恒

成立 .

所以 H' (t)在 (0,+ ∞)上单调递增 ,H' (t)>H' (0)= 0.(14 分)

所以 H (t)在(0,+ ∞)上单调递增 ,H(t)>H (0)= 0.

综上所述 ,x1x2< e2k. (16 分 )

21. A. 规范解答 由切割线定理 ,得 FG2 =FD ·FA.

(2 分)

因为 EF=FG ,所以 EF2=FD ·FA,即 = . (5 分)

又因为∠ EFA= ∠ DFE ,所以 △EFA ∽△ DFE.

所以∠ EAF= ∠ DEF.

(8 分)

因为∠ EAF= ∠ BAD= ∠ BCD,所以∠ DEF= ∠ BCD.

所以 EF ∥ CB.(10 分)

B. 规范解答

因为 AC=B ,所以 C=A -1B.

(2 分)

由 |A|=

2

1

-1

1

3 -1

.(6 分)

1

3

= 6-1= 5,得 A

=

-1

5

2

所以 C=

1

3 -1

1

1

1

5

-1

2 0

-1

= 5



3 4

- 1

3

4 =

5

5

. (10 分)

-3

-

1

- 3

5

5

C. 思路分析 化曲线 C 的极坐标方程为直角坐标方程

,可利用直线 l

的标准参数方程的

几何意义求线段

AB的长.

规范解答

因为曲线 C 经过极点 ,所以其极坐标方程也为

2

2

(2 分)

ρ

sin θ-4ρcosθ= 0,

在平面直角坐标系 xOy 中 ,曲线 C 的直角坐标方程为

y2-4x= 0.

(4 分)

把直线 l 的标准参数方程代入

,得 t2

1

2

2 .

(8

分 )

+ 8 2t= 0,解得 t = 0,t =- 8

所以 AB=|t 2 1

(10 分)

-t |= 8 2.

易错警示

必须先说明 “曲线 C 经过极点 ”,才能在方程 ρsin2θ-4cosθ= 0

两边同乘 ρ,否则新

方程表示的曲线可能比曲线

C 多一个极点 .

D. 思路分析 化 x2+y 2 为 xy,显然可用基本不等式

x2 +y 2≥2xy.

规范解答

因为 a,b,x,y 都是正数 ,且 a+b= 1,

所以 (ax+by )(bx+ay )=ab (x2+y 2)+ (a2 +b 2)xy≥ab·2xy+ (a2+b 2) xy=(a+b )2xy=xy.

(9 分)

当且仅当 x=y 时 ,取等号 .

(10 分)

思路分析 本质上就是要求出 ξ的分布 ,否则怎么说明理由 ?

规范解答



(1) 设第一次与第二次取到卡片上数字分别为



X,Y.则

P(X= 1)=P ( Y=1)=P ( X= 2)=P (Y= 2)= 3,P(X= 3) =P (Y= 3)= 2.

8



8

随机变量 ξ的可能取值为



2,3,4,5,6.



(2 分)

P(ξ= 2)=P ( X= 1)P(Y= 1)=



3 2 9

= ,

8 64

P(ξ= 3)=P ( X= 1)P(Y= 2)+P (X= 2)P(Y=1)= 9 ,

32

21

P(ξ= 4)=P ( X= 1)P(Y= 3)+P (X= 3)P(Y=1)+P (X= 2)P( Y=2)= 64 ,

P(ξ= 5)=P ( X= 2)P(Y= 3)+P (X= 3)P(Y=2)=

3

,

16

P(ξ= 6)=P ( X= 3)P(Y= 3)=161 . (7 分)

所以当 ξ=4 时 ,其发生的概率最大 .

(8 分)

9

18

21

12

4

240

15

(2) 由 (1) 可知 E(ξ)= 2×64+ 3×64+4×64+ 5×64 +6×64= 64 =

4 .

(10 分)

解后反思

利用 ξ=X+Y 来计算 P(ξ=k ),条理清楚 , 不易出错 .

15

15

15

思想根源

实际上 ,因为 ξ=X+Y ,所以 E(ξ)=E (X)+E ( Y) = 8 + 8 = 4 .

思路分析 可直接判断点 C 的轨迹是直线 MN,也可设 C(x,y),得关于 ( x,y)的参数方程 .

(1) 只要证· =x1 x2+y 1y2= 0.可利用根与系数的关系 .

(2) 设弦为 EF,则 · = 0,可设直线 EF 的方程为 x-m= λy.

规范解答

(1) 由

=t

+ (1 -t)

,得

-

=t (

-

),即

=t.

所以点 C 的轨迹就是直线

MN,其轨迹方程为

x-y- 4= 0.

(2 分)

设 A(x1

1

2 2

-

-4 =

0 ,消去 x,得 y2

1

2

,y ),B(x ,y ).由

2

= 4

,

-4y-16= 0,所以 y y =- 16.

而 x1 2

2

2

1 21

2

1

2

· =x

= 0.

x =

4

· =16,所以

x +y y

4

所以 OA⊥ OB.

(4 分)

(2)

设经过点 P(m,0)的弦 EF 所在的直线方程为

x-m= λy.设 E(x1,y1),F(x2,y2),则以 EF 为直

径的圆经过原点等价于

x1 2

1 2

x +y y = 0.

由

-

=

,得 y2-4λy-4m= 0.

2 = 4

,

2

2

2

2

当

1

2

1 2

1

1

2

= 16λ

2

=m .

+ 16m>0 时

,y +y = 4λ,y y

=- 4m.从而 x x = 16

所以 m2-4m=0,解得 m= 0 或 m=4.

(6 分)

①若 m= 0,则λ≠0,此时圆心 D( x,y)满足

= 2

2 ,

= 2

(λ≠0) .

圆心的轨迹方程为

y2= 2x(y≠0).

(8 分)

②若 m= 4,则λ∈ R,此时圆心 D( x,y)满足

=2 2+4,

= 2 .

圆心的轨迹方程为

y2= 2(x-4).

(10 分)

易错警示

不要轻易舍去 m=0 的情况 .