完整版本集合问题中常见易错点归类解析总结计划答案及解析（13页）
时间：2020-11-13 00:15:29 来源：勤学考试网 本文已影响 人 
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集合问题中常见易错点归类分析
有关集合问题，涉及范围广，内容多，难度大，题目灵活多变．初学时，由于未能真正
理解集合的意义， 性质，表示法或考虑问题不全， 而造成错解． 本文就常见易错点归纳如下：
1．代表元素意义不清致误
例 1 设集合 A＝｛（ x , y）∣ x ＋ 2 y＝ 5｝，B＝｛（ x , y）∣ x － 2 y＝－ 3｝，求 A B ．
错解：
x
2y
5
x
1
B＝ {1 ，2} ．
由
2 y
3
得
从而 A
x
y
2
分析 上述解法混淆了点集与数集的区别，集合 A、 B 中元素为点集，所以 A B＝ {(1 ， 2)}
例 2
设集合 A＝ {y ∣ y＝
x
2
＋
，
x
R }
， ＝
∣
＝
x
＋
2}
，求
Ａ∩Ｂ．
1
B {x
y
错解：
显然Ａ＝｛ y∣ｙ≥１｝Ｂ＝｛
x ∣ｙ≥２｝．所以 A∩ B=B．
分析
错因在于对集合中的代表元素不理解，集合
A 中的代表元素是
y，从而 A＝ { ｙ
∣ｙ≥ 1} ，但集合 B 中的元素为 x ,
所以 B＝ { x ∣ x ≥ 0} ，故 A∩ B=A
．
变式：已知集合
A
{ y | y
x 2
1} ，集合 B
{ y | x
y 2} ，求 A
B
解： A
{ y | y
x2
1} { y | y
1} ， B { y | x
y 2 }
R
A
B
{ y | y
1}
例 3
设集合 A
{ x2
x
6
0}, B
{ x | x 2
x
6
0} ，判断 A 与 B 的关系。
错解： A
B
{ 2，3}
分析：某些指定的对象集在一起就成为一个集合， 其中每一个对象叫元素。 元素的属性
可以是方程，可以是数，也可以是点，还可以是集合等等。集合 A 中的元素属性是方程，集
合 B 中的元素属性是数，故 A 与 B 不具包含关系。
例 4 设 B＝ {1,2} ， A＝ { x| x? B} ，则 A与 B 的关系是 ( )
A ．A? B B ．B? A C．A∈B D ．B∈A
错解： B
分析： 选 D. ∵ B 的子集为 {1} ， {2} ， {1,2} ， ? ，
∴A＝ {x|x ? B} ＝ {{1} ，{2} ，{1,2} ，? } ，从集合与集合的角度来看待 A 与 B，集合 A的元素属性是集合， 集合 B 的元素属性是数， 两者不具包含关系， 故应从元素与集合的角度来看待 B 与Ａ，∴ B∈ A.
评注 ：集合中的代表元素， 反映了集合中的元素所具有的本质属性， 解题时应认真领
会，以防出错．
忽视集合中元素的互异性致错
例 5
已知集合 A={１， 3， a } ， B={ １， a2 － a ＋１ },
且 A B，求 a 的值．
错解 ：经过分析知，若
a 2 － a
1 3, 则 a 2
a 2
0, 即 a
1 或 a
2 ． 若
a 2
a 1
a, 则 a 2
2a
1 0, 即 a
1 ．从而 a ＝－１，１，２．
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分析
当 a ＝１时， A 中有两个相同的元素
1，与元素的互异性矛盾，应舍去，故
a ＝
－１，２．
例 6
设Ａ＝｛ｘ∣ x 2 ＋（ｂ＋２）ｘ＋ｂ＋１＝０，ｂ
R｝，求Ａ中所有元素之和．
错解 ：由 x 2 ＋（ｂ＋２）ｘ＋ｂ＋１＝０得
（ｘ＋１）（ｘ＋ｂ＋１）＝０
（１）当ｂ＝０时，ｘ
1
＝x2
－１，此时Ａ中的元素之和为－２．
（２）当ｂ
０时，ｘ
1
＋ x2
＝－ｂ－２．
分析
上述解法错在（１）上，当ｂ＝０时，方程有二重根－１，集合Ａ＝｛－１｝
，
故元素之和为－１，犯错误的原因是忽视了集合中元素的“互异性”
．因此，在列举法表示
集合时，要特别注意元素的“互异性”
．
评注： 集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，
集合元素的三性中互异性对解题的
影响最大， 特别是带有字母参数的集合，
实际上就隐含着对字母参数的一些要求。
在解题时
也可以先确定字母参数的范围后，再具体解决问题。
３．忽视空集的特殊性致误
例 7
若集合 ＝{
|
x
2＋
－ 6＝0} ， ＝{
| ＋1＝0} ，且
B
，求实数
的值．
A
x
x
B
x mx
A
m
错解： A＝ { x| x2＋ x－ 6＝ 0} ＝ { －3,2} ．
∵
B
，
A
（１） B
{ 3}
mx＋ 1＝ 0 的解为－ 3，
1
由 m·( － 3) ＋ 1＝ 0，得 m＝ 3；
（２） B {2}
mx＋ 1＝ 0 的解为 2，
由 m·2＋ 1＝ 0，得 m＝－ 1； 2
综上所述，
1
1
m
或 m
3
2
分析：空集是任何集合的子集，此题忽略了 B 的情况。
正解： A＝ { x| x2＋ x－ 6＝ 0} ＝ { －3,2} ．
∵B A，
（１） B
，此时方程 mx 1
0 无解， m 0
（２） B
{ 3}
mx＋ 1＝ 0 的解为－ 3，
1
由 m·( － 3) ＋ 1＝ 0，得 m＝ 3；
（３） B {2}
mx＋ 1＝ 0 的解为 2，
1
由 m·2＋ 1＝ 0，得 m＝－ 2；
综上所述， m
1
1
或 m
或 m 0
3
2
例 8
已知 A
{ x | x2
4x 0} ， B { x | x 2
2(a 1) x a2
1 0}，若 B
A ，求
ａ的取值范围。
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解： A
{ x | x2
4x
0}
{
4,0}
（１）
B
，
4( a
1) 2
4( a2
1)
8( a
1) 0 ，即 a
1
（２）
B
{
4}
，方程 x2
2(a
1) x
a2
1
0 有两等根－４
由
0
得
a
1
，所以无解
2
a
或
7
16
8(a
1)
a
1
0
1
（３）
B
{ 0} ，方程 x2
2(a
1) x
a 2
1
0 有两等根０
由
0
得
a
1
，所以 a
1
2
a
1
a
1 0
（４）
B
{
4,0} ，方程 x2
2( a
1) x
a 2
1
0 有两不等根－４，０
0
a
1
由
4
0
2(a
1) 得 a
1
，所以 a
1
4
0
a 2
1
a
1
综上所述， a
1 或 a
1
3}，若B
A ，求ａ的
例 9
已知集合 A
{ x | x
1或 x
4}，B
{ x | 2a
x
a
取值范围。
解：（１） B
， 2a
a
3 得 a
3
（２）
B
，则 a
3
a
3
或
a
3
得 a
4 或 2
a
3
a
3
2a
1
4
综上所述
a
4 或 a
2
例１０
已知集合 A
{ x | x
1或 x
4}，B
{ x | 1
a
x
1 a} ，若 A B
，
求ａ的取值范围。
解：（ 1） B
，则 a
0 ，符合题意
a
0
（2） B
，则 1 a
1
0
a
2
1
a
4
综上所述， a
2
变式：已知集合
A
{ x | x
1或 x
4}，B
{ x |1 a
x
1
a} ，若 A
B
，求
ａ的取值范围。
解：当 A
B
时， a
2
所以当 A
B
时， a
2
评注 ：对于任何集合Ａ， 皆有Ａ ＝ ，Ａ∪ ＝Ａ， Ａ． 的特殊性不容忽视． 尤
其是在解含有参数的集合问题时， 更要充分注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能
是空集这种情况。 空集是一个特殊的集合， 由于思维定式的原因， 考生往往会在解题中遗忘
了这个集合，导致解题错误或是解题不全面。
４．忽视端点值能否取得致误
例 11 已知集合 A＝ { ｘ∣ｘ≥４，或ｘ＜－５ } ，Ｂ＝｛ｘ∣ a ＋１≤ｘ≤ a ＋３｝，
若Ａ∪Ｂ＝Ａ，求 a 得取值范围．
错解 ：由Ａ∪Ｂ＝Ａ得 Ｂ Ａ．
∴ a ＋３≤－５，或 a ＋１≥４，解得 a ≤－８，或 a ≥３．
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分析 ：上述解法忽视了等号能否成立，事实上，当 a ＝－８时，不符合题意；当 a ＝
３时，符合题意，故正确结果应为 a ＜－８，或 a ≥３．
评注 ：在求集合中字母取值范围时，要特别注意该字母在取值范围的边界能否取等号，否则会导致解题结果错误．
５．忽视隐含条件致误
例 12 设全集Ｕ＝ ｛２，３，a 2 ＋２ a －３｝，Ａ＝｛∣２ a －１∣， ２｝，CU A ＝｛５｝，求实数 a 的值．
错解 ：∵ CU A ＝｛５｝，∴ ５ Ｓ且 ５ Ａ，从而， a 2 ＋２ a －３＝５，解得 a ＝
２，或 a ＝－４．
分析 导致错误的原因是没有考虑到隐含条件，因为Ｕ是全集，所以Ａ Ｕ．当 a ＝
２时，∣２ a －１∣＝３ Ｓ，符合题意；当 a ＝－４时，∣２ a －１∣＝９ Ｓ，不符合
题意；故 a ＝２．
评注 ：在解有关含参数的集合时， 需要进行验证结果是否满足题设条件， 包括隐含条件．
6、忽视补集的含义致错
例 13 已知全集 I
R，集合 M
{ x | x 2
x 0} ，集合 N
{ x | 1
1} ，则下列关
x
系正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
错解： N
{ x | 1
1} 的补集为 CI N
{ x | 1
1} ，故选 C。
x
x
剖析：本题错误地认为 A { x | f ( x)
0} 的补集为 C I A { x | f ( x) 0} 。事实上对
于全集 I
R ，由补集的定义有 A
CIA R，但
{ x | f ( x)
0} { x | f (x) 0} { x | 使 f ( x)有意义， x
R} ，即为 f ( x) 的定义域。所
以只有当 f (x) 的定义域为 R时才有 A { x | f (x)
0} 的补集为
C I A { x | f ( x)
0} ，否则先求 A，再求 C I
A 。
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正解： N
{ x |
1
1}
{ x |
x
1
0}
{ x
| x
0或x 1} ，所以 C I N
{ x | 0 x
1} ，
x
x
而 M
{ x | 0
x
1} ，应选 A
7、考虑问题不周导致错误
例 14 已知集合 A
{ x | ax 2
4x
4
0, x
R, a
R} 只有一个元素，求
a 的值和这个元
素。
解：（ 1） a
0 ，由 4x
4
0 得 x
1，此时 A
{ 1} 符合题意
（2）
a
0
得 a
1
，此时 A
{
2} 符合题意
16
16a
0
综上所述， a
0 或 a
1
一、对代表元素理解不清致错。
例 1.
已知集合 A
{ y | y
x 2
2x , x
R}, B
{ y | y x 2
6x
16,x
R}，求 A
B 。
错解 1：令 x 2
2x
x 2
6x
16, 得 x
2 ，所以 y
8, A
B
{8} 。
错解 2：令 x 2
2x
x 2
6x
16 ，得 x
2，所以 y
8, A
B
{
2,8} 。
剖析：用描述法表示的集合
{ x | x
p} 中， x 表示元素的形式， x
p 表示元素所具有的
性质，集合 {( x, y) | y f (x ), x
R} 表示函数 f (x ) 的图象上全体点组成的集合，而本题
{ y | y
f (x ), x
R} 表示函数 f ( x) 的值域，因此求 A
B 实际上是求两个函数值域的交集。
正解：由 A
{ y | y
x 2
2x, x
R}
{ y | y
( x
1) 2
1}
{ y | y
1},
B { y | y x 2
6x
16, x
R}
{ y | y
( x
3) 2
7}
{ y | y
7}, 得A
B
{ y | y
7} 。
二、遗漏空集致错。
例 2.
已知集合 A
{ x |
2
x 5} ， B
{ x | m
1
x
2m
1}，若A
B ，求实数 m的
取值范围。
错解：解不等式
2
m
1 2m 1 5, 得 2 m 3 。
剖析：空集
是特殊集合，它有很多特殊性质，如
A
, A
A, 空集是任何
一个集合的子集， 是任何一个非空集合的真子集。
本题错解是因考虚不周遗漏了空集，
故研
究 A
B 时，首先要考虑 B
的情况。
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正解：①若 B
时，则 m
1
2m 1,即m 2 。
2
m
1,
②若 B
时, 则m
1
2m
1,即m
2 。由 2m
1
5
得 3
m
3。所以 2 m
3 。
由①②知 m的取值范围是 (
,3] 。
三、忽视元素的互异性致错。
例 3.
已知集合 { x, xy , lg( xy )}
{ 0,| x |, y}, 求x y 的值。
错解：由 xy
0 ，根据集合的相等，只有
lg( xy )
0, xy
1 。所以可得 | x | 1或 | y |
1。
x
1或 x
1,
y
1
y
1
所以 x
y
2或 x
y
2 。
剖析：当 x
y
1 时，题中的两个集合均有两个相等的元素
1，这与集合中元素的互异
性相悖。其实，当 xy
1时 ,集合 { x ,1,0}
{ 0,| x |, y} ，这时容易求解了。
正解：舍去 x
y
1 ，故 x
y
2。
四、混淆相关概念致错。
例 4.
已知全集 U=R，集合 A
{ x | x 2
4ax
4a 3
0,x
R}, B
{ x | x 2
(a 1)x
a2
0,x
R}, C
{ x | x 2
2ax
2a
0,x
R} ，若 A、B、 C 中至少有一个不是空集，求实数
a
的取值范围。
A，当
(4a) 2
4( 4a
3) 0,得 a
3 或 a
1
①时， A 不是空
错解：对于集合
2
2
集。
1
a
1
同理当
3
②时， B 不是空集；当 a
2或 a
0
③时， C 不是空集。求
得不等式①②③解集的交集是空集，知
a 的取值范围为
。
剖析：题中“ A、 B、 C 中至少有一个不是空集”的意义是“
A 不是空集或 B 不是空集或
a
(
,
3] [
1,
)
C不是空集”，故应求不等式①②③解集的并集，得
2
。
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五、忽视补集的含义致错。
1
1}
例 5.
已知全集 I
R ，集合 M { x | x
2
x 0} ，集合
N { x |
x
，则下列关系正确的
是（ ）
A. M CIN
B.
M
C I N
C. MCIN
D.CIMN R
N { x | 1
1}
CI N { x | 1
1}
错解：
x
的补集为
x
，故选 C。
剖析：本题错误地认为
A { x
| f (x )
0} 的补集为 CIA
{ x | f ( x)
0} 。事实上对于全
集 I
R ，由补集的定义有 A
CI A
R ，但 { x | f (x )
0} { x | f ( x) 0}
{ x |使 f ( x ) 有意义，
x
R } ，即为 f ( x ) 的定义域。
所以只有当 f ( x ) 的定义域为 R 时才有 A
{ x | f ( x)
0} 的补集
为 CI A { x | f ( x)
0} ，否则先求 A，再求 CI A 。
N { x | 1
1} { x | x 1
0} { x | x 0或 x 1}
，所以 CI N
{ x | 0
x 1} ，而
正解：
x
x
M
{ x | 0 x 1} ，应选 A。
感悟与提高
1.
A
{ x | x
k
1 , k
Z}, B { y | y
k
1 , k
Z}
设集合
4
2
4
，则它们之间的关系是 （
）
A. A=B
B. A
B
C. A
B
D. A
B
2.
已知集合 A
{ m | 关于 x 的不等式 x 2
2( m
1) x m 2
3
0 有解 } ，若 y
3x 1 ，且
A ，则 y 的取值范围是 __________ 。
1
1
1)
1
答案提示： 1. 由集合 A 得
x( 4k 1),由集合 B得 y
(2k
4 组
4
4
。
B 是由奇数的
1
成， A 是由比 4 的整数倍大 1 的数的 4
组成的，所以 A
B，选 C。
2. 由 A 易得 4( m 1) 2
4( m 2
3) 0 m 2 。
y 3x 1 3 2 1 5 。
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