江苏省南京市届三9月学情调研数学试题x
时间：2020-10-22 16:16:06 来源：勤学考试网 本文已影响 人 
南京市 2015 届高三年级学情调研卷
数 学 2014.09
．．．．．．．
一、填空题：本大题共
14 小题，每小题
5 分，共
70 分．请把答案填写在答题卡相应位置
上．
2
2
▲
．
1．函数 f(x)＝ cos x－ sin x 的最小正周期为
1
，其中 i 是虚数单位，则 |z|＝
▲．
2．已知复数 z＝ 1＋i
3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为
4：3： 3，现用分层抽样的方法从该校高中三个
年级的学生中抽取容量为 80 的样本，则应从高一年级抽取 ▲ 名学生．
4．从甲、乙、丙、丁 4 位同学中随机选出 2 名代表参加
学校会议，则甲被选中的概率是 ▲ ．
5．已知向量 a＝ (2， 1)， b＝ (0，－ 1)．若 (a＋ λb) ⊥ a，
则实数 λ＝ ▲ ．
6．右图是一个算法流程图，则输出 S 的值是 ▲ ．
开始
S←0
k← 1
k←k＋2
S←S＋ k2
N
k＞5
Y
输出 S
7．已知双曲线
x2
y2
结束
2－ 2＝ 1(a＞ 0， b＞0)的渐近线方程
a
b
（第 6
为 y＝±
3x，则该双曲线的离心率为
▲
．
题图）
8．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为
2 的半圆，则这个圆锥的高是
▲
．
9．设 f(x)＝ x2－ 3x＋ a．若函数 f(x)在区间 (1，3) 内有零点，则实数 a 的取值范围为
▲．
10．在△ ABC 中，角 A，B， C 所对边的长分别为
a， b，c．已知 a＋
2c＝ 2b， sinB＝ 2sinC，
则 cosA＝
▲．
a
，
x 1，
11．若 f(x)＝ x
a 的取值范围为
是 R 上的单调函数，则实数
▲．
x＋ 3a， x＜1
12．记数列 { an} 的前 n 项和为 Sn．若 a1＝ 1，Sn ＝2(a1 ＋an )(n≥2， n∈ N*) ，则 Sn ＝▲
．
13．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：x2＋ y2－ 6x＋ 5＝ 0，点 A，B 在圆 C 上，且 AB＝ 2
3，则
→→
| OA ＋ OB |的最大值是▲．
14．已知函数
f(x)＝ x－ 1－ (e－ 1)ln x，其中
e 为自然对数的底，则满足
f(ex)＜ 0
的
x 的取值范围
为 ▲
．
二、解答题：本大题共 6 小题，共计
．．．．．．．． 90 分．请在答题卡指定区域内
作答，解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 14 分）
π
已知函数 f(x)＝ 2sin(2x＋ φ)(0 ＜ φ＜ 2π)的图象过点 (2 ，－ 2)．
（ 1）求 φ的值；
α 6
，－
π
α－
π
（ 2）若 f(
)＝
＜ α＜ 0，求 sin(2
) 的值．
2
5
2
6
16．（本小题满分 14 分）
如图，三棱柱 ABC－A1B1C1 中， M， N 分别为 AB， B1C1 的中点．
1）求证： MN ∥平面 AA1C1C；
2）若 CC1＝ CB1， CA＝CB ，平面 CC1B1B⊥平面 ABC，求证： AB 平面 CMN ．
C1
N
B1 A1
C
B M A
（第 16 题图）
17．（本小题满分 14 分）
已知 { an} 是等差数列，其前 n 项的和为 Sn， { bn} 是等比数列，且 a1＝ b1＝ 2， a4＋ b4＝ 21，
S4＋ b4＝ 30．
1）求数列 { an} 和 { bn} 的通项公式；
2）记 cn＝ an bn， n∈ N* ，求数列 { cn} 的前 n 项和．
18．（本小题满分
16 分）
x2
y2
2
2
22
给定椭圆 C：
a
2＋b
2＝ 1(a＞ b＞ 0)，称圆 C1： x
＋ y
＝a ＋ b
为椭圆 C 的“伴随圆”．已知椭圆
3
C 的离心率为 2 ，且经过点 (0， 1)．
（ 1）求实数 a， b 的值；
（ 2）若过点 P(0， m)(m＞ 0)的直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，且 l 被椭圆 C 的伴随圆 C1
所截得的弦长为 2 2，求实数 m 的值．
19．（本小题满分 16 分）
如图（示意），公路 AM、 AN 围成的是一块顶角为 α的角形耕地，其中 tanα＝－ 2．在该块土
地中 P 处有一小型建筑，经测量，它到公路 AM ， AN 的距离分别为 3km， 5km ．现要过点 P 修建
一条直线公路 BC，将三条公路围成的区域 ABC 建成一个工业园．为尽量减少耕地占用，问如何确
定 B 点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积．
N
C
·P
α
M
A B
（第 19 题图）
20．（本小题满分 16 分）
已知函数 f(x)＝ ax3＋ |x－ a|， a∈ R ．
1）若 a＝－ 1，求函数 y＝f(x) (x∈ [0，＋∞ ))的图象在 x＝ 1 处的切线方程；
2）若 g(x)＝ x4，试讨论方程 f(x)＝ g(x)的实数解的个数；
（ 3）当 a＞ 0 时，若对于任意的 x1∈ [a，a＋ 2]，都存在 x2∈[a＋2，＋∞ )，使得 f(x1)f(x2)＝ 1024，
求满足条件的正整数 a 的取值的集合．
南京市 2015 届高三年级学情调研卷
数学附加题
2014.09
．．．．
21．【选做题】在 A、 B、C、 D 四 小题中只能选做 2 题，每小题
10 分，共计 20 分．请在答 卷卡指
．．．．
定区域内 作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修 4— 1：几何证明选讲
如图， PA 是圆 O 的切线， A 为切点， PO 与圆 O 交于点 B、C，AQ
OP，垂足为 Q．若 PA＝ 4，
PC＝ 2，求 AQ 的长．
A
P C Q O B
B．选修 4— 2：矩阵与变换
（第 21 题 A 图）
已 知矩阵 A＝
2
b
1
1
3
属于特征值
的一个特征向量为 α＝ － 1
．
（ 1）求实数 b， 的值；
（ 2）若曲线 C 在矩阵 A 对应的变换作用下，得到的曲线为 C ： x2＋ 2y2＝ 2，求曲线 C 的方程．
C．选修 4— 4：坐标系与参数方程
3
在平面直角坐标系
xOy 中，已知直线
x＝
3＋
2 t，
)，圆 C 的参数
l 的参数方程为
1
(t 为参数
y＝ 2＋
2t
方程为 x＝ 3＋ cosθ，
(θ为参数 ) ．若点 P 是圆 C 上的动点，求点
P 到直线 l 的距离的最小值．
y＝ sinθ
D．选修 4— 5：不等式选讲
已知 a， b 是正数，且 a＋ b＝ 1，求证： (ax＋ by)( bx＋ ay)≥xy．
．．．．．．．．
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答 卷卡指定区域内 作答．解答应写出
文字说明、证明过程或演算步骤．
22．如图，已知长方体 ABCD － A1B1C1D1 中， AB＝ 3，BC ＝2，CC1＝ 5，E 是棱 CC1 上不同于端
→ →
点的点，且 CE ＝ λCC1．
（ 1） 当∠ BEA1 为钝角时，求实数 λ的取值范围；
2
（ 2） 若 λ＝ 5，记二面角 B1－ A1B－ E 的的大小为 θ，求 |cosθ|．
D 1 C1
B1
A1
E
D
C
A B
（第 22 题图）
23．某商店为了吸引顾客，设计了一个摸球小游戏，顾客从装有 1 个红球， 1 个白球， 3 个黑球
的袋中一次随机的摸
2 个球，设计奖励方式如下表：
结果
奖励
1 红 1 白
10 元
1 红 1 黑
5 元
2 黑
2 元
1 白 1 黑
不获奖
1）某顾客在一次摸球中获得奖励X 元，求 X 的概率分布表与数学期望；
2）某顾客参与两次摸球，求他能中奖的概率．
2015 届高三年级学情调研卷
数学参考答案及评分标准 2014.09
一、填空题：本大题共
14
小题，每小题
5 分，共 70
分．
1． π
2．
2
3． 32
4． 1
5． 5
2
2
9
2
6． 35
7． 2
8． 3
9． (0， 4]
10． 4
11． [1，＋∞ )
12． 2－ 2n－ 1
13． 8
14．(0， 1)
2
二、解答题：本大题共
6 小题，共计
90 分．
15．（本小题满分 14 分）
π
解： （ 1）因为函数 f(x)＝2sin(2 x＋ φ)(0 ＜φ＜ 2π)的图象过点 ( ，－ 2)，
2
π
所以 f(2)＝ 2sin(π＋φ)＝－ 2，
即 sinφ＝ 1．
,,,,,,,,,,,,,,,,,
4 分
π
因为 0＜φ＜ 2π，所以 φ＝2．
,,,,,,,,,,,,,,,,,
6 分
（ 2）由（ 1）得， f( x)＝ 2cos2x．
,,,,,,,,,,,,,,,,
8 分
α
6
3
因为 f(
)＝
5
，所以 cosα＝ ．
2
5
又因为－
π
4．
,,,,,,,,,,,,,,
10 分
＜ α＜ 0，所以 sinα＝－
2
5
24
2
7
所以 sin2α＝ 2sinαcosα＝－ 25， cos2α＝ 2cos α－ 1＝－
25．,,,,,,,,
12 分
从而 sin(2α－
π
π
π
7－ 24 3
,,,,,,,,
14 分
6
)＝ sin2αcos －cos2αsin ＝
．
6
6
50
16．（本小题满分 14 分）
证明： （ 1）取 A1C1 的中点 P，连接 AP， NP．
C1
N
P
1
因为 C1 N＝ NB1， C1P＝ PA1 ，所以
NP∥ A1B1， NP＝
B12 分
A1B1 ． ,,,,,,,,
A1
2
在三棱柱 ABC－ A1B1C1 中， A1B1∥ AB， A1B1＝ AB．
C
故 NP∥ AB，且
1
NP＝
AB ．
2
B
M
A
（第 16 题图）
因为 M 为 AB 的中点，所以
1
AM ＝ AB．
2
所以 NP＝ AM，且 NP∥ AM．
所以四边形 AMNP 为平行四边形．
所以 MN ∥ AP．
,,,,,,,,,,,,,,,
4 分
因为 AP
平面 AA1C1C，MN
平面 AA1C1C，
所以 MN ∥平面 AA1C1C．
,,,,,,,,,,,,,,,,,,
6 分
（ 2）因为 CA＝ CB， M 为 AB 的中点，所以 CM ⊥ AB．
,,,,,,,,,,,
8 分
因为 CC1＝ CB1， N 为 B1C1 的中点，所以 CN⊥B1C1．
在三棱柱 ABC－ A1B1C1 中， BC∥B1C1，所以 CN BC．
因为平面 CC 1B1B⊥平面 ABC ，平面 CC1B1B∩平面 ABC＝ BC． CN
平面 CC1B1B，
所以 CN⊥平面 ABC．
,,,,,,,,,,,,,,
10 分
因为 AB
平面 ABC ，所以 CN⊥ AB．
,,,,,,,,,,,,,,
12 分
因为 CM
平面 CMN ， CN 平面 CMN ， CM ∩ CN＝ C，
所以 AB⊥平面 CMN ．
,,,,,,,,,,,,,,
14 分
17．（本小题满分 14 分）
解： （1）设等差数列 { an } 的公差为 d，等比数列 { bn} 的公比为 q．
由 a1＝ b1＝ 2，得 a4＝ 2＋ 3d， b4＝ 2q3， S4＝ 8＋ 6d．,,,,,,,,,,,,
3 分
由条件 a4＋ b4＝21， S4＋ b4＝ 30，得方程组
2＋ 3d＋ 2q3＝ 21，
解得
d＝ 1，
3
q＝ 2．
8＋ 6d＋ 2q ＝ 30，
所以 an＝ n＋1， bn＝ 2n， n∈ N* ．
,,,,,,,,,,,,
7 分
（ 2）由题意知， cn＝ (n＋ 1)× 2n．
Tn＝ c1＋ c2＋ c3＋, ＋ cn．
Tn＝ c1＋ c2＋ c3＋, ＋ cn
＝ 2× 2＋ 3× 22＋ 4× 23＋, ＋ n× 2n－ 1
＋(n＋1)× 2n，
2 Tn＝
2× 22＋ 3× 23 ＋, ＋ (n－ 1)× 2n－ 1＋ n× 2n＋
(n＋ 1)2n＋ 1，
23
2
n
)－ (n＋
n＋1
， ,,,,,,,,,,,
11 分
所以－ Tn ＝ 2× 2＋ (2 ＋ 2 ＋, ＋
1)× 2
即 Tn＝ n· 2n＋ 1， n∈ N* ．
,,,,,,,,,,,,
14 分
18．（本小题满分
16 分）
解： （1）记椭圆
C 的半焦距为 c．
由题意，得 b＝ 1， ac＝ 23， c2＝ a2＋ b2，
解得 a＝ 2， b＝ 1． ,,,,,,,,,,,,,,,,,, 4 分
2
2）由（ 1）知，椭圆 C 的方程为 x ＋ y2＝ 1，圆 C1 的方程为 x2＋ y2＝ 5． 4
显然直线
l 的斜率存在．
设直线 l
的方程为 y＝ kx＋m，即 kx－ y＋ m＝ 0． ,,,,,,,,,,,,,,
6 分
因为直线
l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，
y＝ kx＋ m，
2
故方程组 x ＋ y2＝ 1 （ * ） 有且只有一组解．
由（ * ）得 (1＋ 4k2)x2＋ 8kmx＋ 4m2－ 4＝0．
从而△＝ (8km)2－ 4(1＋ 4k2)( 4m2－ 4)＝ 0．
化简，得 m2＝ 1＋4k2．①
,,,,,,,,,,,,,,,,
10 分
因为直线 l 被圆 x2＋ y2＝ 5
所截得的弦长为 2
2，
所以圆心到直线
l 的距离 d＝
5－ 2＝ 3．
即
|m|
＝ 3．
②
,,,,,,,,,,,,,,,
14 分
k2＋ 1
由①②，解得 k2＝ 2， m2＝ 9．
因为 m＞ 0，所以 m＝ 3．
,,,,,,,,,,,,,,,
16 分
19．（本小题满分 16 分）
解：（方法一）
如图 1，以 A 为原点， AB 为 x 轴，建立平面直角坐标系．
N
y
因为 tanα＝－ 2，故直线 AN 的方程是 y＝－ 2x．
C
设点 P(x0， y0)．
P
·
因为点 P 到 AM 的距离为 3，故 y0＝ 3．
由 P 到直线 AN 的距离为
5，
(A) O
Bx
（第 19 题图 1）
得 ∣ 2x0＋ y0∣ ＝
5，解得 x ＝ 1 或 x ＝－ 4(舍去 )，
5
0
0
所以点 P(1， 3)．
,,,,,,,,,,,,
4 分
显然直线 BC 的斜率存在．设直线
BC 的方程为
y－ 3＝ k(x－ 1)， k∈ (－ 2， 0)．
令 y＝ 0
得 x ＝ 1－ 3．
,,,,,,,,,,,,
6 分
B
k
由 y－ 3＝k(x－1)， 解得 y
＝6－ 2k．
,,,,,,,,,,,,
8 分
y＝－ 2x
C
k＋ 2
1
－ k2＋ 6k－ 9
8k－ 9
设△ ABC 的面积为 S，则
S＝ 2 xB yC＝
k2＋ 2k
＝－ 1＋
k2＋ 2k．,,,,,
10 分
－ 2(4k＋ 3)(k－ 3)
＝ 0 得 k＝－ 3或 k＝3．
由 S ＝
2
＋ 2k)
2
(k
4
当－ 2＜ k＜－ 3时， S ＜ 0， S 单调递减；当－ 3＜k＜ 0 时， S ＞ 0， S 单调递增．,
13 分
4
4
3
所以当 k＝－
4时，即 AB
＝5 时， S 取极小值，也为最小值
15．
答：当 AB＝ 5km 时，该工业园区的面积最小，最小面积为
15km 2．,,,,,,
16 分
（方法二）
如图 1，以 A 为原点， AB 为 x 轴，建立平面直角坐标系．
因为 tanα＝－ 2，故直线 AN 的方程是 y＝－ 2x．
设点 P(x0， y0)．
因为点 P 到 AM 的距离为 3，故 y0＝ 3．
由 P 到直线 AN 的距离为
5，
得
∣ 2x0＋ y0∣
5，解得 x0＝ 1 或 x0＝－ 4(舍去 )，
＝
5
所以点 P(1， 3)．
显然直线 BC 的斜率存在．设直线 BC 的方程为
3
令 y＝ 0 得 xB＝ 1－ k．
y－ 3＝k(x－1)， 解得 yC＝6－ 2k．
y＝－ 2x＋ 2k
,,,,,,,,,,,,
y－ 3＝ k(x－ 1)， k∈ (－ 2， 0)．
,,,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,,,
分
分
分
设△ ABC 的面积为 S，则 S＝ 1
xB yC＝
－ k2＋ 6k－ 9
8k2－ 9 ． ,,,,,
2
＝－ 1＋
2
k
＋ 2k
k ＋ 2k
t＋ 9
令 8k－ 9＝ t，则 t∈ (－25，－ 9)，从而 k＝ 8 ．
因此 S＝－ 1＋
t
＝－ 1＋ 2
64t
＝－ 1
＋
64
．,,,,
t＋
9 2
t＋ 9
＋ 34t＋225
(
＋2×
t
34＋ t＋
225
8
)
8
t
因为当 t∈ (－ 25，－ 9)时， t＋ 225∈ (－ 34，－ 30] ， t
分
分
当且仅当
t＝－ 15 时，此时 AB＝ 5， 34＋ t＋
225
的最大值为
4．从而 S 有最小值为 15．
t
答：当 AB＝ 5km 时，该工业园区的面积最小，最小面积为
15km 2．,,,,,,
16 分
（方法三）
如图 2，过点 P 作 PE⊥AM ， PF ⊥ AN，垂足为 E、 F ，连接 PA．设 AB＝ x，AC ＝ y．
因为 P 到 AM ， AN 的距离分别为 3， 5，
N
C
P
·
F
A E
M
PE＝ 3， PF ＝ 5．
S△ABC ＝ S△ ABP＋ S△ APC
＝
1
1
1
2 x 3＋ 2 y
5 ＝2(3x＋ 5y)．
① ,,
4 分
因为 tan ＝－ 2，所以 sin
＝ 2 ．
5
所以 S△ABC ＝ 1 x y
2 ．
②
,,,,,,,,,,,,,,,
8 分
2
5
由①②可得
1
x y
2
1
2
＝ (3x＋ 5y)．
5
2
即 3 5x＋ 5y＝ 2xy． ③
,,,,,,,,,,,,,,,
10 分
因为 3 5x＋ 5y≥ 2
15
5xy，所以 2xy≥ 2 15
5xy．
解得 xy≥ 15 5．
,,,,,,,,,,,,,,,
13 分
当且仅当 3
5x＝5y 取“＝”，结合③解得
x＝5， y＝ 3
5．
所以 S△ABC ＝ 1 x y
2 有最小值 15．
2
5
答：当 AB＝ 5km 时，该工业园区的面积最小，最小面积为
15km 2．,,,,,,
16 分
20．（本小题满分
16 分）
解： （1）当 a＝－ 1， x∈[0 ，＋∞ )时， f(x) ＝－ x3＋ x＋ 1，从而 f ′(x)＝－ 3x2＋ 1．
x＝ 1 时， f(1)＝ 1，f ′(1)＝－ 2，
所以函数 y＝ f(x) (x∈ [0，＋∞ )) 的图象在 x＝ 1 处的切线方程为 y－1＝－ 2(x－ 1)，
即 2x＋ y－ 3＝ 0． ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
3 分
2） f(x)＝ g(x)即为 ax3＋ |x－ a|＝ x4．
所以 x4－ ax3＝ |x－ a|，从而 x3(x－ a)＝ |x－ a|．
此方程等价于
x＝ a 或 x＞ a，
或 x＜ a，
,,,,,,,,,,,,,,,,
6 分
x＝ 1
x＝－ 1．
所以当 a≥1 时，方程 f(x)＝g(x)有两个不同的解 a，－ 1；
当－ 1＜ a＜1
时，方程 f( x)＝ g(x)有三个不 同的解 a，－ 1， 1；
当 a≤－ 1 时，方程 f(x)＝ g(x)有两个不同的解
a， 1．,,,,,,,,,,,
9 分
3）当 a＞ 0，x∈ (a，＋∞ )时， f(x)＝ ax3＋ x－ a， f ′(x)＝ 3ax2＋ 1＞ 0，
所以函数 f(x)在 (a，＋∞ )上是增函数，且 f(x) ＞f(a)＝ a4＞ 0．
所以当 x∈[a，a＋ 2]时， f(x)∈ [f(a)， f( a＋ 2)] ，1024∈ [
1024
， 1024
f( x)
f(a＋ 2)
f(a) ] ，
当 x∈ [a＋ 2，＋∞ )时， f(x)∈ [ f(a＋ 2)，＋∞ )． ,,,,,,,,,,,,,,
11 分
因为对任意的
x1∈ [a， a＋ 2]，都存在 x2∈ [a＋ 2，＋∞ )，使得 f(x1)f(x2)＝ 1024，
所以 [
1024
，1024
[ f(a＋2) ，＋∞ )．
,,,,,,,,,,,,,,,,
13 分
f( a＋ 2)
f(a) ]?
从而
1024 ≥ f(a＋ 2)．
f(a＋ 2)
所以 f 2(a＋2)≤ 1024 ，即 f(a＋ 2) ≤32，也即 a(a＋ 2)3＋ 2≤ 32．
因为 a＞ 0，显然 a＝1 满足，而 a≥ 2 时，均不满足．
所以满足条件的正整数
a 的取值的集合为 {1}
．,,,,,,,,,,,,,,
16 分
2015 届高三年级学情调研卷
数学附加题参考答案及评分标准 2014.09
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照
评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难
度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
21．【选做题】在
A 、 B、 C、 D 四小题中只能选做
2 题，每小题 10 分，共计
20 分．
A．选修 4— 1：几何证明选讲
证明： 连接 AO．设圆 O 的半径为 r．
A
因为 PA 是圆 O 的切线， PBC 是圆 O 的割线，
所以 PA2＝ PC· PB．,,,,,,,,,,,,
P
C
QO
B
3 分
因为 PA＝ 4，PC＝ 2，
所以 42＝ 2×(2＋ 2r)，解得 r ＝ 3．,,,,,,
5 分
（第 21 题 A 图）
所以 PO＝PC＋ CO＝ 2＋ 3＝ 5， AO＝ r ＝ 3．
由 PA 是圆 O 的切线得 PA⊥ AO，故在 Rt△ APO 中，
因为 AQ⊥PO，由面积法可知，
1× AQ× PO＝ 1×AP ×AO ，
2
2
AP× AO 4× 3
12
即 AQ＝
PO
＝
5
＝
5 ．
,,,,,,,,
10 分
B．选修 4— 2：矩阵与变换
解： （1）因为矩阵 A＝
2
b
1
1
3 属于特征值
的一个特征向量为 α＝ － 1
，
2
b
1
2－ b
． ,,,,,,,,,
3 分
所以
＝
1 ，即
＝
1
3
－ 1
－ 1
－ 2
－
2－ b＝
，
从而
－ 2＝－
． 解得 b＝ 0， ＝ 2．
,,,,,,,,,,
5 分
（ 2）由（ 1）知， A＝
2
0 ．
1
3
设曲线 C 上任一点 M(x， y)在矩阵 A 对应的变换作用后变为曲线
C 上一点 P(x0， y0 )，
则
x0
2
0
x
＝
2x
，
0
＝
3
y
x＋ 3y
y
从而
x0＝2x，
,,,,,,,,,,,
7 分
y0＝ x＋ 3y．
因为点 P 在曲线 C 上，所以 x02＋ 2y02＝ 2，即 (2x)2＋ 2(x＋ 3y)2＝ 2，
从而 3x2＋ 6xy＋ 9y2＝ 1．
所以曲线 C 的方程为
3x2＋6xy＋ 9y2＝ 1．
,,,,,,,,,,,,
10 分
C．选修 4— 4：坐标系与参数方程
解：（方法一）
直线 l 的普通方程为 x－
3y＋
3＝ 0．
,,,,,,,,,,,,,,
3 分
因为点 P 在圆 C 上，故设 P(
3＋ cosθ， sinθ)，
从而点 P 到直线 l 的距离
π
|2 3－ 2sin(θ－
)|
d＝
| 3＋cosθ－
3sinθ＋ 3|＝
6
．
,,,,,,,,
7 分
1
2
2
2
＋ (－ 3)
所以 dmin＝ 3－ 1．
即点 P 到直线 l 的距离的最小值为
3－ 1．
,,,,,,,,,,,,
10 分
( 方法二 )
直线 l 的普通方程为
x－ 3y＋
3＝ 0．
,,,,,,,,,,,,
3 分
圆 C 的圆心坐标为 (
3，0) ，半径为 1．
从而圆心 C 到直线 l 的距离为 d＝ |
3－ 0＋ 3| ＝ 3．
,,,,,,,,,,
6 分
12＋( － 3)2
所以点 P 到直线 l 的距离的最小值为
3－ 1．
,,,,,,,,,,
10 分
D．选修 4— 5：不等式选讲
证明： 因为 a，b 是正数，且 a＋ b＝1，
所以 (ax＋ by)(bx＋ ay)＝ abx2＋ ( a2 ＋ b2 )xy＋ aby2
＝ ab(x2＋ y2)＋ (a2＋ b2)xy
,,,,,,,,,,,
3 分
≥ ab 2xy＋ (a2＋ b2
)xy
,,,,,,,,,,,,
8 分
＝ (a＋ b)2xy
＝ xy
即 (ax＋ by)(bx＋ ay)≥ xy 成立．
,,,,,,,,,,,,
10 分
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．
22．解：（ 1）以 D 为原点， DA 为 x 轴， DC 为 y 轴， DD 1 为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题设，知 B(2， 3， 0)， A1(2， 0， 5)，C(0， 3，0) ，C1(0， 3， 5)．
z
→
→
D 1
C1
因为 CE
＝ λCC1，所以 E(0， 3， 5λ)．
→
→
A1
B1
2 分
从而 EB
＝ (2， 0，－ 5λ)， EA1＝(2，－ 3， 5－ 5λ)．,,
当∠ BEA1 为钝角时， cos∠ BEA 1＜ 0，
E
→
→
D
C y
2× 2－ 5λ(5－ 5λ＜)0，
所以 EB · EA1＜0，即
A
B
1＜ λ＜ 4．
x
（第 22 题图）
解得 5
5
1
4
,,,,,,,,,,,,,,
5 分
即实数 λ的取值范围是 ( ， )．
5
5
2
→
→
（ 2）当 λ＝
时， EB ＝(2， 0，－ 2)， EA1＝ (2，－ 3， 3)．
5
设平面 BEA1 的一个法向量为
n1＝ (x，y， z)，
→
2x－ 2z＝ 0，
由
n1· EB ＝0，
→
得
2x－ 3y＋ 3z＝ 0，
n1· EA1＝ 0
5
取 x＝ 1，得 y＝ 3， z＝ 1，
所以平面 BEA1 的一个法向量为
n1＝ (1，
5， 1)．
,,,,,,,,,,,,,
7 分
3
易知，平面 BA1B1 的一个法向量为
n2＝ (1， 0， 0)．
因为 cos< n1， n2>＝
n1· n2 ＝
1
＝ 3
43，
| n1|· |
n2|
43
43
9
3
43
,,,,,,,,,,,,,,
10 分
从而 |cosθ|＝ 43 ．
1
23．解： （ 1）因为 P(X＝ 10)＝
12＝
1
C3
＝ 3 ，
， P(X＝ 5)＝ 2
C5
10
C5
10
2
1
C3＝ 3 ， P(X＝ 0)
＝
C3＝ 3 ，
P(X＝ 2)＝ 2
10
2
10
C5
C5
所以 X 的概率分布表为：
X
10
5
2
0
P
1
3
3
3
10
10
10
10
,,,,,,,,,,,
4 分
1
3
3
3
从而 E(X)＝10 10＋5
10＋2
10＋ 0
10＝ 3.1 元．
,,,,,,,,,,,
6 分
（ 2）记该顾客一次摸球中奖为事件
A，由（ 1）知， P(A)＝ 7 ，
10
2
91
从而他两次摸球中至少有一次中奖的概率
P＝1－
[1－ P(A)] ＝
100
．
答：他两次摸球中至少有一次中奖的概率为
91 ．
,,,,,,,,,,,
10 分．
100
