高等数学期末复习 向量代数与空间解析几何
时间：2021-04-07 07:59:03 来源：勤学考试网 本文已影响 人 
高等数学期末复习
第八章向量代数与空间解析几何
一、内容要求
1、了解空间直角坐标系，会求点在坐标面、坐标轴上的投影点的坐标
2、掌握向量与三个坐标面夹角余弦关系
3、会运用定义和运算性质求向量数量积
4、会运用定义和运算性质求向量的向量积
5、掌握向量数积和向量积的定义形式
6、掌握向量模的定义与向量数量积关系
7、掌握向量的方向余弦概念
8、掌握向量的平行概念
9、掌握向量的垂直概念
10、能识别如下空间曲面图形方程：柱面，球面、锥面，椭球面、抛物面，旋转
曲面，双曲面
11、掌握空间平面截距式方程概念，会化平面方程为截距式方程和求截距
12、会求过三点的平面方程，先确定平面法向量
13、会用点法式求平面方程，通常先确定平面法向量
14、会求过一点，方向向量已知的直线对称式方程，通常先确定直线方向向量
15、会用直线与平面平行、垂直的方向向量法向量关系确定方程中的参数
16、掌握直线对称式方程标准形式，能写出直线方向向量
二、例题习题
1、点)2,4,1
P在yoz面上的投影点为( )；（内容要求1）
(-
A. )2,4,1
Q D. )2,4,0(
Q
(-
(-
(-
Q B. )2,0,1
Q C. )0,4,1
解：yoz 面不含x ，所以x 分量变为0，故选D
2、设向量a ρ与三个坐标面zox yoz xoy ,,的夹角分别为321,,θθθ（2,,0321πθθθ≤
≤），则
=++322212cos cos cos θθθ（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D); 3 解：由作图计算可知，222123cos cos cos 2θθθ++=，所以选C 。（内容要求2）
3、设向量a ρ与三个坐标面zox yoz xoy ,,的夹角分别为321,,θθθ（2,,0321πθθθ≤≤），则
=++322212cos cos cos θθθ ; 解：222123cos cos cos 2θθθ++=，所以填2。（内容要求2）
4、向量)3,1,1(-=a ρ，)2,1,3(-=b ρ，则=?b a ρρ( )；
A. 0
B. 1
C. 2
D. )2,11,5(---
解：311(1)232a b ?=-?+?-+?=r
r ，所以选C 。（内容要求3）
5、向量32,2,=--=+-a i j k b i j k 则(2)-?=a b
解：2624i j k -=-++a ，所以(2)61224(1)6-?=-?+?+?-=-a b ，所以填6-。（内容要求3）
6、设a =2 i +2j +2k ，b =3j -4k ，则a ·b = 。
解：23202(4)2a b ?=?+?+?-=-，所以填-2。（内容要求3）
7、向量}3,0,1{=a ρ，}2,1,1{-=b ρ，则=?b a ρρ( )； A. 6 B. 6-
C. }1,1,3{-
D. }1,1,3{-- 解：1033112
i j k a b i j k ?==+--r r ，所以选C 。（内容要求4）
8、向量}1,1,1{},2,1,3{-=-=b a ρρ,则=?b a ρρ ； 解：3122111
i j k a b i j k ?=-=---r r ，所以填2i j k --，或填{1,1,2}--。（内容要求4）
9、a 与b 为两个向量，θ为二者的夹角，则a b ?=( ).
(A) sin ab θ (B) sin a b θ (C) cos ab θ (D) cos a b θ
解：由定义，选D 。（内容要求5）
10、设,a b 为非零向量，则a b ?( )a b ?.
(A) = (B) ≤ (C) ≥ (D) ≠
解：因为||||cos θ?=?a b a b ，所以|||||cos |||||θ?=??≤?a b a b a b ，选B 。（内容要求5）
11、已知1,a b ==，且a 与b 的夹角为4
π，则a b +=( ).
1 (C)
2 (D) 1
解：222||||2||||cos 5θ+=++?=a b a b a b ，所以，+=a b A 。（内容要求6）
12、设,a b 为非零向量，且⊥a b ，则必有( ). (A) +=+a b a b (B) -=-a b a b (C) +=-a b a b (D) +=-a b a b 解：22222||||2||||cos ||||θ+=++?=+a b a b a b a b ，（cos θ=0）
所以选C 。（内容要求6）
13、设向量a ρ
与三个坐标轴的正向的夹角分别为γβα,,，则
=++γβα222cos cos cos ; 解：222cos cos cos 1αβγ++=，所以填1。（内容要求7）
14、设向量a ρ与三个坐标轴的正向的夹角分别为γβα,,，已知,4,4πβπα==
则 解：因为向量a ρ与三个坐标轴的正向的夹角分别为γβα,,，,4,4πβπα==
222cos cos cos 1αβγ++=，所以cos 0γ=，2π
γ=，所以填2π
γ=。（内容要求7）
15、设{1,2,3},{2,4,}a b λ=-=r r ，且//a b r r ，则λ=( )； (A) 103 (B) 103
- (C) 6- (D) 6
解：因为//a b r r ，所以12324λ-==，所以选C 。（内容要求8） 16、设向量{2,1,10}a =--r ，{4,2,1}b =-r ，则向量a r 与向量b r 的关系是( ).
(A) 平行 (B) 斜交
(C) 垂直 (D) 不能确定
解：0?=a b ，所以选C 。（内容要求9）
17、已知向量}4,1,1{,-=⊥a b a ρρ，}1,,2{-=m b ρ，则=m ( )；
A. 1
B. 1-
C. 2
D. 2-
解：因为a b ⊥r r ，所以2402a b m m ?=--=?=-r r ，所以选D 。（内容要求9）
18、在空间直角坐标系中, 方程4
92
2y x z +=表示的曲面是( )； A. 椭圆抛物面 B. 双曲抛物面 C. 椭圆锥面 D. 椭球面 解：4
92
2y x z +=为椭圆抛物面，所以选A 。（内容要求10） 19、在空间直角坐标系中，方程222=+z x y 表示的曲面是 ( ).
(A) 双曲抛物面 (B) 旋转抛物面 (C) 椭圆抛物面 (D) 圆锥面
解：222=+z x y 为圆锥面，所以选D 。（内容要求10）
20、空间直角坐标系中，方程222R y x =+表示的图形是( )；
A. 圆
B. 球面
C. 椭球面
D. 圆柱面
解：222R y x =+为圆柱面，所以选D 。（内容要求10）
21、空间直角坐标系中，方程22y x z +=表示的图形是( )；
A. 球面
B. 圆锥面
C. 圆柱面
D. 旋转抛物面
解：22y x z +=为旋转抛物面，所以选D 。（内容要求10）
22、空间直角坐标系中，方程224y x +=表示的图形是( )；
A. 球面
B. 圆柱面
C. 圆锥面
D. 旋转抛物面 解：224y x +=为圆柱面，所以选B 。（内容要求10）
23、方程2244y z -=表示( ).
(A) 双曲柱面 (B) 双曲线 (C) 单叶双曲面 (D) 双叶双曲面 解：2244y z -=为双曲柱面，所以选A 。（内容要求10）
24、指出旋转曲面2222z x y =+的一条母线和旋转轴( ).
(A) 220z x y ?=?=?，z 轴 (B) 2
20
z x y ?=?=?，x 轴 (C) 220z x y ?=?=?，y 轴 (D) 2
20z y x ?=?=?
，y 轴 解：22
22z x y =+为2
20z x y ?=?=?绕z 轴旋转的旋转抛物面，所以选A 。（内容要求10） 25、平面212
x y z ++=在,,x y z 轴上的截距分别是( ). (A) 1
,1,22 (B) 12,1,2 (C) 1,2,1 (D) 2,1,2
解：化截距式方程为11
212
x
y z ++=在,,x y z 轴上的截距为12,1,2，所以选B 。（内容要求11）
26、过三点(1,1,1)-，(2,2,2)--，(1,1,2)-的平面方程为( ).
(A) 320x y z --= (B) 321x y z --=
(C) 320x y z +-= (D) 320x y z -+=
解：过三点(1,1,1)-，(2,2,2)--，(1,1,2)-的平面法向量
所以所求平面方程为3(1)9(1)6(1)0320--+-++=?--=x y z x y z ，所以选A 。（内容要求12）
27、求过点(1,0,1)-且与直线
241131
x y z -++==-垂直的平面方程. 解：过点(1,0,1)-且与直线241131
x y z -++==-垂直的平面的法向量就是直线 241131x y z -++==-的方向向量{1,3,1}-，所以所求平面方程为 (1)3(1)0320x y z x y z --+++=?---=（内容要求13）
28、求过点(1,1,1)且与直线
24113-+==+-x y z 垂直的平面方程. 解：直线24113
-+==+-x y z 的方向向量为{1,3,1}-，所以过点(1,1,1)且与直线24113
-+==+-x y z 垂直的平面方程为 1(1)3(1)10330x y z x y z --+-+-=?--+=（内容要求13）
29、求通过点(2 , 0 , -1)A 且与两直线
-1-2111x y z ==和3-12-13x y z +==平行的平面方程.
解：所求平面法向量为11143213
i j
k n i j k ==---，于是所求平面方程为
4(2)3(1)043110x y z x y z ---+=?---=（内容要求13）
30、已知两条直线的方程是 1123:
101x y z L ---==-，221:211x y z L +-==，求过1L 且平行于2L 的平面方程.
解：所求平面法向量为1013211i j k
n i j k =-=-+，令1231101
x y z ---===-得直线上的点(2,2,2)，于是所求平面方程为
23(2)20320x y z x y z ---+-=?-++=（内容要求13）
31、过点(2,5,3)-且平行于xoz 面的平面方程为
解：因为平行于xoz 面的平面为y d =型，所以平面方程应填5y =-。或者，
xoz 面的平面的法向量为{0,1,0}n =r ，所以平面方程为
所以平面方程应填5y =-（内容要求13）
32、过点(2,1,3)-且与平面740x y z -+=垂直的直线方程为 解：过点(2,1,3)-且与平面740x y z -+=垂直的直线方向向量就是平面740x y z -+=的法向量{1,7,4}-，所以所填直线方程为213174
--+==-x y z 。（内容要求14） 33、求过点)4 , 2 , 1(且与两平面032=++-z y x 和01=--z x 的交线平行的直线方程.
解：两平面032=++-z y x 和01=--z x 的交线的方向向量为
所以，过点)4 , 2 , 1(与两平面032=++-z y x 和01=--z x 的交线平行的直线方程为
124 131
x y z ---==（内容要求14） 34、过点(1,2,3)-且平行于直线21234
x y z --==-的直线方程为( ). (A) 21234x y z --==- (B) 123234
x y z -+-==- (C) 21123x y z --==- (D) 123234
x y z ---==- 解：过点(1,2,3)-且平行于直线21234x y z --==-的方向向量为直线21234
x y z --==-的方向向量{2,3,4}s =-r ，由直线对称方程，选B 。（内容要求14）
35、已知直线273
x
y z ==和平面4-2-30x y az +=平行，则a = ( )； A. 2 B. -2
C. 3
D. -3 解：因为直线273x
y z ==和平面4-2-30x y az +=平行，所以直线273
x y z ==的方向向量{2,7,3}s =r 与平面4-2-30x y az +=的法向量{4,-2,}n a =r 垂直，即
故选A 。（内容要求15）
36、已知直线3
12z y x =-=和平面0324=-+-mz y x 垂直，则=m ( )；
A. 3
B. 3-
C. 6
D. 6-
解：因为直线
312z y x =-=和平面0324=-+-mz y x 垂直，所以直线312z y x =-=的方向向量{2,1,3}s =-r 和平面0324=-+-mz y x 的法向量{4,-2,}n m =r 平行，即
故选C 。（内容要求15）
37、直线12(2)3(1)132
x y z ---==的方向向量为( ). (A) {1,3,2}=s (B) 23{1,,}32
=s (C) 32{1,,}23
=s (D) {1,4,3}=s 解：因为直线12(2)3(1)132x y z ---==写成对称形式为1(2)(1)321
23
x y z ---==，所以方向向量为32{1,,}23s =r ，故选C 。（内容要求16）
