向量代数与空间解析几何 期末复习题 高等数学下册 (上海电机学院)

第七章 空间解析几何

一、选择题

1. 在空间直角坐标系中，点（1，－2，3）在[ D ] A. 第一卦限 B. 第二卦限 C. 第三卦限 D. 第四卦限

2.方程2222=+y x 在空间解析几何中表示的图形为[ C ] A. 椭圆 B. 圆 C. 椭圆柱面 D. 圆柱面

3.直线3

12

14

1:

1+=+=-z y x l 与??

?=-++=-+-0

201:2z y x y x l ，的夹角是 [ C ]

A. 4

π

B.

3

π

C. 2

π

D. 0

4. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于xoy 平面的对称点是[ D ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3)

5.将xoz 坐标面上的抛物线x z 42=绕z 轴旋转一周，所得旋转曲面方程是[B ] A. )(42y x z += B. 2224y x z +±=

C. x z y 422=+

D. x z y 422±=+

6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是[B ] A. 13

-

B.

13

C. 23

-

D.

23

7. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于yoz 平面的对称点是[ A ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 8.方程

222

2

2

x y z a

b

+

=表示的是 [ B ]

A.椭圆抛物面

B.椭圆锥面

C. 椭球面

D. 球面

9. 已知a

={0, 3, 4}, b ={2, 1, -2},则=b proj a [ C ]

A. 3

B.3

1-

C. -1

D.1

10．已知,a b 为不共线向量，则以下各式成立的是 D

A. 2

2

2

()a b a b =? B. 2

2

2

()a b a b ?=? C. 2

2

()()a b a b ?=? D. 2

2

2

2

()()a b a b a b ?+?=

11．直线1l 的方程为03130290

x y z x y z ++=??

--=?，直线2l 的方程为03031300

x y z x y z ++=??

--=?，则1l 与

2l 的位置关系是 D

A.异面

B.相交

C.平行

D.重合

12．已知A 点与B 点关于XOY 平面对称，B 点与C 点关于Z 轴对称，那么A 点与C 点是 C

A.关于XOZ 平面对称

B.关于YOZ 平面对称

C.关于原点对称

D.关于直线x y z ==对称

13．已知A 点与B 点关于YOZ 平面对称，B 点与C 点关于X 轴对称，那么A 点与C 点 C A.关于XOZ 平面对称 B.关于XOY 平面对称 C.关于原点对称 D.关于直线x y z ==对称 14. 下列那个曲面不是曲线绕坐标轴旋转而成的 C

A.2221x y z ++=

B.221x y z ++=

C.21x y z ++=

D.221x y z ++= 15. 已知,a b 为不共线向量,则下列等式正确的是 C

A.2

a a a = B. 2()a a

b a b ??= C. 2()a b b ab ??= D. 222()a b a b =? 16．已知向量(1,2,1)a =，(3,4,3)b =--，那么以,a b 为两边的平行四边形的面积是 B A.20

B. C.10

D.17．已知直线l 方程230

3450x y z x y z ++=??++=?

与平面π方程20x z -++=，那么l 与π的位置关系

是C

A. l 在π内

B. l 垂直于π

C. l 平行于π

D.不能确定

18．两向量,a b 所在直线夹角4

π

，0ab <，那么下列说法正确的是 B

A. ,a b 夹角

4

π

B. ,a b 夹角

34

π C. ,a b 夹角可能

34

π或

4

π

D.以上都不对

19.已知||1=a

，||=

b (,)4

π=a

b ，则||+=a b （D ）. (A) 1

(B) 1+ (C) 2

(D)

20.设有直线3210:21030

x y z L x y z +++=??

--+=?及平面:4220x y z π-+-=，则直线L （ C ）。

(A) 平行于π (B) 在π上 (C) 垂直于π (D) 与π斜交

21.双曲线22

145

0x z y ?-=?

??=?

绕z 轴旋转而成的旋转曲面的方程为（ A ）.

(A)

22

2

14

5x y z

+-

= (B)

2

22

145

x

y z +-

=

(C)

2

2

()

14

5

x y z

+-

= (D)

2

2

()

14

5

x

y z +-

=

22.点(,,)a b c 关于y 轴对称的点是（ D ）.

(A) (,,)a b c --- (B) (,,)a b c -- (C) (,,)a b c - (D) (,,)a b c -- 23.已知{4,3,4},{2,2,1}=-=a b ，则()Prj =b a （A ）. (A) 2 (B) 2-

(C)

6

(D) 6-

24.221x y -=在空间表示 （ D ）.

(A) 双曲线 (B) 双曲面 (C) 旋转双曲面 (D) 双曲柱面 25.设a 与b 为非零向量，则?=a b 0是（ C ）.

(A) =a b 的充要条件 (B) ⊥a b 的充要条件 (C) //a b 的充要条件 (D) //a b 的必要但不充分条件 26．设平面方程为0A x C z D ++=，其中,,A C D 均不为零，则平面（ B ）. (A) 平行于x 轴 (B) 平行于y 轴 (C) 经过x 轴 (D) 经过y 轴

27． 已知等边三角形A B C ?的边长为1，且BC =a ，CA =b ，AB =c

，则

?+?+?=a b b c c a （

D ）. (A)

12

(B)

32

(C) 12

-

(D) 32

-

28.点M(2，-3，1)关于坐标原点的对称点是( A )

(A) (-2，3，-1) (B) (-2，-3，-1)

(C) (2，-3，-1) (D) (-2，3，1) 29.平面2x-3y-5=0的位置是( B )

(A) 平行于XOY 平面 (B) 平行于Z 轴 (C) 平行于YOZ 平面 (D) 垂直于Z 轴 30.点A(-2，3，1)关于Y 轴的对称点是( D ) (A) (2，-3，1) (B) (-2，-3，-1)

(C) (2，3，-1) (D) (2，-3，-1)

31.过点(0，2，4)且与平面x+2z=1和y-3z=2都平行的直线方程是( C )

(A) ??

?

?

?=-=z y z x 24 (B) ??

?

?

?

=--=-0342x z y

(C) 1

43

22

-=

-=

-z y x

(D) 04)2(32=-+-+-z y x

32．二个平面14

z 3

y 2x =++

和

2x+3y-4z=1位置关系是（ A ） （A ）相交但不垂直 （B ）重合 （C.）平行但不重合

（D.）垂直

33. 过点(2，0，-3)且与直线??

?=+-+=-+-0

12530742z y x z y x 垂直的平面方程是( A )

(A) 0)3(11)0(14)2(16=++-+--z y x (B) 0)3(4)0(2)2(=++---z y x (C) 0)3(2)0(5)2(3=+--+-z y x (D) 0)3(11)0(14)2(16=-++++-z y x

34. 向量{}c b a ,,=α与三坐标轴的夹角分别为γβα,,，则α的方向余弦中的

βcos =( A )

(A)

c b a b

2

22++ (B)

c b a b

++ (C) c b a b

++± (D)

c b a b

2

22++±

35. 已知曲面方程 2

22

2b

y a

x z +

-= （马鞍面），这曲面与平面 h z = 相截，其截痕是空间

中的（ B ）

A. 抛物线；

B. 双曲线；

C. 椭圆；

D. 直线。 36. 点(3，1，2)关于XOZ 平面的对称点是( B )

(A) (-3，1，2) (B) (3，-1，2) (C) (3，1，-2) (D) (-3，-1，2)

37. 曲线??

?==-0

369422z y x 绕X 轴旋转一周，形成的曲面方程是( C )

(A) ()36942

22=-+y z x (B) ()()

36

9422

22=+-+z y z x

(C) (

)

369422

2=+-z y x (D) 36

942

2=-y x

38. 准线为XOY 平面上以原点为圆心、半径为2的圆周，母线平行于Z 轴的圆柱面方程是( B )

(A) 02

2=+y x (B) 42

2

=+y x

(C) 0422=++y x (D)

422

2=++z y x 39. 球面k z y x 22

2

2=++与a z x =+的交线在XOY 平面上的投影曲线方程是(

D )

(A) ()k

z y z a 22

22=++- (B) ()?????==++-02

222z k z y z a

(C)

()

k x a y x 22

2

2

=-++ (D) ()??

?==-++0

2

222z k x a y x

40. 向量α={}A A A z Y x ,,、β={}B B B Z Y X ,,垂直的充分必要条件是( A ) (A) α·β=0 (B) α×β=0

(C) B A B A B A z

z y

y x

x

== (D) α-β=0

二、填空题

1. ,7,4,3=+==b a b a 则 =-b a

1

2. 有曲面方程

z q

y

p

x

22

2

=+

，当pq<0时, 方程表示的曲面称为双曲抛物面

3. 母线平行于x 轴且通过曲线?????=+-=++0

16

2222222z y x z y x 的柱面方程是16322=-z y

4. 已知a

,b

,c 都是单位向量，且满足a

+b

+c

=0, 则=?+?+?a c c b b a

2

3-

5、XOZ 平面内曲线2x z =绕X 轴旋转，所得曲面方程为 422

x y z =+

6．已知向量(1,2,3)O A = ，向量(2,3,4)O B =

，那么三角形O A B 的面积是

2

7、已知平面1:230x y z π+++=与2:310x y z π-+-+=，则其夹角为

arccos

33

8．点(1,2,0)-在平面上210x y z +-+=的投影为 522(,,)333

-

9.设有直线1158:

1

2

1

x y z L --+=

=

-与26:23

x y L y z -=??+=?，则1L 与2L 的夹角为3π

10．已知||2=a ，||2=b ， 3

(,)π

=a

b ，则23=-u a b 的模||=u

11. 已知向量 k j i a ++=23 与 j i b 32-=，则 =?)3()2(b a 0 ； =?b a

3213i j k +-

12、平面x+2y-z+3=0和空间直线

1

21

13

1-=

-+=

-z y x 的位置关系是 直线在平面上

13. 过点（2，-3，6）且与Y 轴垂直的平面为 3-=y ，此点关于XOY 平面的对称点是 ()6,3,2-- ，它与原点的距离为 7 三：计算与证明

1.求过点M(3, 1 -2)且通过直线

1

2

35

4z y x =+=-的平面方程

解：设N(4, -3, 0), )1,2,5(=s

, 由已知，

)2,4,1(-=MN 是所求平面内的向量

又设所求平面的法向量是n ，取s MN n

?=，

即： k j i k

j i n

22981

2

5

241++-=-=

故，所求平面的方程为：－8(x-3)+9(y-1)+22(z+2)=0 即：－8x+9y+22z+59=0 2.求与直线1L ：

1

3523z y x =-=+相交且与直线2L ：

1

4

75

10z y x =

+=

-相交, 与直线

3L ：

1

3

7

18

2-=-=

+z y x 平行的直线方程

解：将1L ，2L 分别化为参数方程：

?????=+=-=t z t y t x 5332， ??

???=-=+=λλλz y x 74105 对于某个t 及λ值, 各得1L ，2L 上的一点,分别记为t M ,λM 则 向量λM M t =[(2t-3)-(5λ+10)]i+[(3t+5)-(4λ-7)]j+(t-λ)k =（2t-5λ-13）i+(3t-4λ+12)j+(t-λ)k 令向量λM M t 平行于3L ， 即有

1

-t 7

12

+ 4-3t 8

13

- 5-2t λλλ==

解得 t=2

25-

，于是t M （-28，2

65-, 2

25-

）

故 所求直线为：

1225

z 7

265y 8

28x +=

+

=

+

3.直线L 过点M(2, 6，3), 平行于平面π:x-2y+3z-5=0且与直线1L :

2

68

25

2-=--=--z y x 相交, 求L 的方程

解：过点M 平行于π的平面方程为(x-2)-2(y-6)+3(z-3)=0

即: x-2y+3z=0 再求它与直线1L 的交点, 将1L 写成参数方程:

x=2-5t, y=2-8t , z=6+2t 代入上述平面方程得: t=-1 所以交点为P(7, 10, 4), 又L 过M, P 两点 故: L 的方程为

3

-43-z 6

-106-y 2

-72x ==-

即：

13-z 46-y 5

2x ==-

4．求过直线

12

11

x y z

-==

-，且平行于直线

12

1

2

x y z +=

=

-的平面方程。

解：设平面法向量(,,)a b c ，则有方程20220

a b c a b c +-=??

+-=?

解得020c a b =??+=?

,于是可取法向量(1,2,0)-

所以平面方程为(1)20x y --+=

5、设,a b 是平面上两个不共线的非零向量，c a b λμ=+为已知非零向量，求,λμ

解：方程两边同与,a b 作数量积得22

a c a a

b b

c a b b

λμλμ?=+?

?=+?? ，解此两元一次方程组，得

2

2

2

a c a

b b

c b

a

a b a b b

λ=

， 2

2

2

a

ac ab bc a

ab ab

b

μ=

。

6.求直线210

:2220x y z l x y z +++=??--+=?

在平面330x y z --+=上的投影

解：设平面束方程为(21)(222)0x y z x y z λμ++++--+=

其法向量为(2,2,2)λμλμλμ+--，于是由题意有

3(2)(2)(2)0λμλμλμ+----=，即470λμ+=

取7,4λμ=-=。直线方程为330

10151510x y z x y z --+=??---+=?

7.求原点到直线2340:23450

x y z l x y z +++=??

+++=?的垂线与垂足，垂线要求参数方程。

解：设π为过原点且垂直于l 的平面，则π的一个法向量与l 的方向一致。

l 的方向：233112(

,,)(1,2,1)3

44

22

3

=--。

π的方程20x y z -+-=

将其与l 方程联立，解得垂足坐标2

14(,,)333-

-

于是垂线参数方程231343x t y t z t ?

=??

?

=-??

?=-?

?

.

8．已知直线一般方程为2340

46510x y z x y z --+=??-+-=?

，求其点向式方程。

解：两平面法向量分别为(2,3,1),(4,6,5)---，故直线方向为

311223

(,,)(21,14,0)

6

5

5

4

46

----=---- 令3400,6510

y z x y z --+=?=?

-+-=?，得直线上一点199

(0,

,)217

故点向式方程为

919

72121

14

z y x --=

=--

9.在直线1

:0

x y z l x z +-=??-=?上求一点A ，使得它与原点所决定的直线与l 的夹角为

a r c c o s 3

解：直线l 方向(1,1,1)(1,0,1)(1,0,1)-?-=--

设直线上一点(,1,)A x x ，则(,1,)OA x x =

3

=

，解

此方程得1x =±。

故A 点坐标为(1,1,1)或(1,1,1)--。

10.证明：直线1213:

3

2

6

x y z l -+-==

-及直线221:2

x y l y z +=??

+=-?共面。

证明：2l 的方向向量2{1,2,0}

{0,1,1}

{2,1,1}(2)=?=-n 分，1l 的方向向量

1{3,

2,6}(2)=-n 分。点12(2,1,3),(1,0,2),{1,1,5},A l B l AB =-∈=-∈=--

由于这三

个向量两两不平行，且

123

26()2

110(4)1

1

5

AB -??=-=--n n

分，

所以1l 与2l 共面(因为由上式知2,,AB 1n n

三向量共面)。

证法2：1l 与2l 有交点：(1,1,3)M --，故1l 与2l 共面。 11.求通过直线1121:

2

1

1

x y z l ++-==-及直线221

:2x y l y z +=??+=-?

的平面方程。

解：2l 的方向向量为21{1,2,0}{0,1,1}{2,1,1}//=?=-n n ，所以1l 与2l 平行(3)分。

点11(1,2,1),M l =--∈且易知22(1,0,2)M l =-∈，2M 不在直线1l 上(2)分。故所求平面就是两相交直线1l 与12M M

确定的平面。它的法向量可取为

1

2

121186(3).2

2

3

M M

=?=-=++-i

j k

n n n i j k 分 又1(1,2,1)M =--为已知平面上的点，所求平面的点法式方程为 (1)8(2)

6(1)

x y z +++

+-

=，即86110(2)x y z +++=分。 12．已知A B C ?的两边构成的向量2,32AB BC =+-=++i j k i j k

，求A B C ?的面积。

解：11||||(2),22

A B C

S B A B C A B B C ?=?=?

分 而2

1135(2),3

2

1

AB BC ?=-=-+i j k

i j k

分

所以||AB BC ?=

(2)A B C S ?=

分.

13.求直线224x z y z =+??

=-?在平面0x y z +-=上的投影方程。

解：过直线2

24

x z y z =+??

=-?的平面束方程为

:2(24)0(2)x z y z λπλ--+-+=分.

在λπ中取一个平面与已知平面垂直，则两法向量垂直，故有 {1,,12}{1,1,1}0λλ--?-=分，

即21120,3

λλλ+++==-

。故过已知直线且与已知平面垂直的平面为

32140(2x y z -+-=分 从而直线在平面上的投影即为

32140

(2)0x y z x y z -+-=??

+-=?

分. 14. 求过直线??

?=---=+-0

9230

42z y x z y x 且垂直于平面4x-y+z-1=0的平面方程。

解 设所求的平面的法向量为{A ，B ，C}，已知直线的方向数为{m,n,p}

则??

?=--=+-0230

42p n m p n m 有 ???????

==71079n p n m 方向数为{9，7，10}(2分) 又因??

?=+-=++040

1079C B A C B A 有???

????-=-=37313717C B C A 法向量为{17，31，-37}(3分) 直线上有点（0，-1，-4）

平面方程为17x+31(y+1)-37(z+4)=0

15．求过点(3，1，-2)且过直线

12

35

4

z

y x =

+=

-的平面方程。

取直线上一点（-1，-5，-1），设所求平面的法向量为{A ，B ，C} 两点连线的方向数为{4，6，-1}（2分）

有??

?=++=-+0250

64C B A C B A 得???

????=-=92298B C B A 则法向量为{-8，9，22}（2分） 平面方程为-8(x-3)+9(y-1)+22(z+2)=0

即8x-9y-22z-59=0（2分）

16、一平面过点M （-1，1，2）与z 轴，求该平面方程。

解： 1

12,(3)0(3

)

1

i

j k

n i j x y =-=++=

分所求平面方程为：分