高等数学向量代数与空间解析几何复习
时间：2021-04-07 07:59:17 来源：勤学考试网 本文已影响 人 
第五章 向量代数与空间解析几何
5.1向量
既有大小又有方向的量 表示：→
-AB 或
（几何表示）向量的大小称为向量的模，记作||AB 、|a |、||a
1． 方向余弦：?
??
?
??=||,||,||)cos ,cos ,(cos r r r z y x γβα r ＝（x ，y ，z ）,| r |=2
22z y x ++
例2 设2)(=??c b a ，求)()]()[(a c c b b a +?+?+。
解 根据向量的运算法则
例3 设向量k j i a +-=，k j i b 543+-=，b a x λ+=，λ为实数，试证：当模x 最小时，向量x 必须垂直于向量b 。
解 由k j i a +-=，k j i b 543+-=得50||,3||2
2
==b a ，12=?b a ，于是
由此可知，当256-
=λ时，模||x 最小，因而??
? ??--=-=255,251,257
256b a x
故
0)5,4,3(255,251,257
=-???
? ??--=?b x
所以，当模x 最小时，向量x 必须垂直于向量b 。
8． 向量的投影
Prj a b ＝|b |θcos 为向量b 在向量a 上的投影。a ·b ＝| a |Prj a b
5.2空间平面与直线 5.2.1 空间平面
代入)2,3,1(A ，)1,1,2(--B 得??
?=--=++0
20
23C B A C B A 解之得A C A B 7,5=-=
代入方程消去A ，得方程为075=+-z y x
例2 一平面通过点)3,2,1(，它在正x 轴，正y 轴上的截距相等，问此平面在三坐标面上截距为何值时，
它与三个坐标平面围成的四面体的体积最小？并写出此平面方程。
解 依题意设所求平面的截距式方程为
1=++c z a y a x ，
由于点)3,2,1(在此平面上，故有13
21=++c
a a ，解之3
3-=
a a
c 。
四面体之体积3
2133613
-?=-??=a a a a a a V ，2
32)3()3(321---="a a a a V ， 令0="V 得9,2
9
==c a
。 例3 求过点)1,1,1(-A ，)2,2,2(--B 和)2,1,1(-C 三点的平面方程。
解 将直线写成??
?
??+=-==5213x z x y x
x ，以x 为参数，则)2,3,1(=→
v ，故直线方程为
例2 求过点)3,2,1(0--p 且平行于平面01326:=+--∏z y x ，又与直线5
3
2131--=+=-z y x 相交的直线方程。
解 设Q ),,(z y x 为两直线的交点，则0,//00=?∏→
→
-→
-n Q P Q P ,即
0)3(3)2(2)1(6=+---+z y x ，
（1）
又Q 在L 上：
5
3
2131--=
+=-z y x （2）
令（2）=t 解得x , y , z 代入(1)解得0=t ，在反代入（2）得Q 的坐标为)3,1,1(-，得直线为
5.3点、平面、直线的位置关系
1． 点到平面的距离
点),(0000z y x P 到平面Ax+By+C z+D =0得距离公式为：
d =
2
2
2
000|
|C
B A D Cz By Ax +++++
=D
例3 求点)4,4,3(0-M 到直线1
22=
-=的距离。 解 )2,9,1(0-=→
M M ，31)2(2||222=+-+=
s ，于是所求距离
253
16
1153|2055|||||0=++=--=?=
→k j i s s M M d
3. 两平面之间的夹角
平面1∏和平面2∏的夹角θ,cos θ＝
22
222221
21
2
1
212121||C
B A C
B A
C C B B A A ++++++
1∏、2∏互相垂直相当于212121C C B B A A ++＝0；
1∏、2∏互相平行或重合相当于
2
1
2121C C B B A A ==.
4．两直线的夹角
两直线的法线向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角. 直线1L 和2L 的夹角?cos ?=
22
222221
21
21
212121||p
n m p
n m p p n n m m ++++++ (5)
两直线1L 、2L 互相垂直相当于212121p p n n m m ++＝0；
即
0433)21(=-+-++λλλz y x
因为此平面与平面π垂直，故有 解得 5
11
=
λ
，于是与08332=-++z y x 垂直的平面方程为 即031159=--+z y x ，从而所求投影直线方程为?
?
?=-++=--+083320
31159z y x z y x
5.4其它（旋转曲面方程）
?
??=0)
,(x z y f 绕谁转谁不变，令一个用另两个变量的平方和的平方根代入
故绕z 轴旋转，
22y x y +±=，得0),(22=+±z y x f 为旋转曲面方程。
例1 ??
???==+0
1
22
22y c z a x 绕x 轴转得122222=++c z y a x ，绕z 轴转得1222
22=++c z a y x 。 例2 曲线)(),(),(t z z t y y t x x ===绕z 轴旋转，求旋转曲面方程。
绕y 轴旋-x
-x 化为参数方程为
)
1(2
1
--==y z y y
于是0l 绕y 轴旋转一周生成的曲面方程为 2222)1(4
1
4-+=+y y z x
即
0124174222=-++-y z y x 。
