向量代数与空间解析几何期末复习题高等数学下册(上海电机学院)

第七章 空间解析几何

一、选择题

1. 在空间直角坐标系中，点（1，－2，3）在[ D ]

A. 第一卦限

B. 第二卦限

C. 第三卦限

D. 第四卦限

2.方程2222=+y x 在空间解析几何中表示的图形为[ C ]

A. 椭圆

B. 圆

C. 椭圆柱面

D. 圆柱面

3.直线312141:

1+=+=-z y x l 与???=-++=-+-0201:2z y x y x l ，的夹角是 [ C ] A. 4π B. 3π C. 2

π D. 0 4. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于xoy 平面的对称点是[ D ]

A. (-1,2,3)

B. (1,-2,3)

C. (-1,-2,3)

D. (1,2,-3)

5.将xoz 坐标面上的抛物线x z 42=绕z 轴旋转一周，所得旋转曲面方程是[B ]

A. )(42y x z +=

B. 2224y x z +±=

C. x z y 422=+

D. x z y 422±=+

6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是[B ] A. 1

3- B. 13 C. 23- D. 23

7. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于yoz 平面的对称点是[ A ]

A. (-1,2,3)

B. (1,-2,3)

C. (-1,-2,3)

D. (1,2,-3)

8.方程22

222x y z a b

+=表示的是 [ B ] A.椭圆抛物面 B.椭圆锥面 C. 椭球面 D. 球面 9. 已知a ?={0, 3, 4}, b ?={2, 1, -2},则=b proj a ?ρ[ C ]

A. 3

B.3

1- C. -1 D.1 10．已知,a b 为不共线向量，则以下各式成立的是 D

A. 222()a b a b =?

B. 222

()a b a b ?=?

C. 22()()a b a b ?=?

D. 2222()()a b a b a b ?+?=

11．直线1l 的方程为03130290x y z x y z ++=??--=?，直线2l 的方程为03031300x y z x y z ++=??--=?，则1l 与2l 的位置关系是 D

A.异面

B.相交

C.平行

D.重合

12．已知A 点与B 点关于XOY 平面对称，B 点与C 点关于Z 轴对称，那么A 点与C 点是 C

A.关于XOZ 平面对称

B.关于YOZ 平面对称

C.关于原点对称

D.关于直线x y z ==对称

13．已知A 点与B 点关于YOZ 平面对称，B 点与C 点关于X 轴对称，那么A 点与C 点 C

A.关于XOZ 平面对称

B.关于XOY 平面对称

C.关于原点对称

D.关于直线x y z ==对称

14. 下列那个曲面不是曲线绕坐标轴旋转而成的 C

A.2221x y z ++=

B.221x y z ++=

C.21x y z ++=

D.22

1x y z ++=

15. 已知,a b 为不共线向量,则下列等式正确的是 C

A.2a a a =

B. 2()a a b a b ??=

C. 2()a b b ab ??=

D. 222()a b a b =? 16．已知向量(1,2,1)a =，(3,4,3)b =--，那么以,a b 为两边的平行四边形的面积是 B

A.20

B. C.10

D.17．已知直线l 方程2303450

x y z x y z ++=??++=?与平面π方程20x z -++=，那么l 与π的位置关系

是C

A. l 在π内

B. l 垂直于π

C. l 平行于π

D.不能确定

18．两向量,a b 所在直线夹角

4

π，0ab <，那么下列说法正确的是 B A. ,a b 夹角4π B. ,a b 夹角34π C. ,a b 夹角可能34π或4

π D.以上都不对 19.已知||1=a

，||=b ?(,)4π=a b ，则||+=a b （D ）. (A) 1

(B) 1+ (C) 2

(D)

20.设有直线3210:21030

x y z L x y z +++=??--+=?及平面:4220x y z π-+-=，则直线L （ C ）。

(A) 平行于π (B) 在π上 (C) 垂直于π (D) 与π斜交

21.双曲线22

1450x z y ?-=???=?

绕z 轴旋转而成的旋转曲面的方程为（ A ）.

(A) 222

145x y z +-= (B) 222

145x y z +-= (C) 22

()145x y z +-= (D) 22

()145x y z +-=

22.点(,,)a b c 关于y 轴对称的点是（ D ）.

(A) (,,)a b c --- (B) (,,)a b c -- (C) (,,)a b c - (D) (,,)a b c --

23.已知{4,3,4},{2,2,1}=-=a b ，则()Prj =b a （A ）.

(A) 2 (B) 2-

(C)

(D)

24.221x y -=在空间表示 （ D ）.

(A) 双曲线 (B) 双曲面 (C) 旋转双曲面 (D) 双曲柱面

25.设a 与b 为非零向量，则?=a b 0是（ C ）.

(A) =a b 的充要条件 (B) ⊥a b 的充要条件

(C) //a b 的充要条件 (D) //a b 的必要但不充分条件

26．设平面方程为0Ax Cz D ++=，其中,,A C D 均不为零，则平面（ B ）.

(A) 平行于x 轴 (B) 平行于y 轴 (C) 经过x 轴 (D) 经过y 轴

27． 已知等边三角形ABC ?的边长为1，且BC =a u u u v ，CA =b u u u v ，AB =c u u u v ，

则

?+?+?=a b b c c a （ D ）. (A) 1

2 (B) 3

2 (C) 12- (D) 3

2-

28.点M(2，-3，1)关于坐标原点的对称点是( A )

(A) (-2，3，-1) (B) (-2，-3，-1)

(C) (2，-3，-1) (D) (-2，3，1)

29.平面2x-3y-5=0的位置是( B )

(A) 平行于XOY 平面 (B) 平行于Z 轴

(C) 平行于YOZ 平面 (D) 垂直于Z 轴

30.点A(-2，3，1)关于Y 轴的对称点是( D )

(A) (2，-3，1) (B) (-2，-3，-1)

(C) (2，3，-1) (D) (2，-3，-1)

31.过点(0，2，4)且与平面x+2z=1和y-3z=2都平行的直线方程是( C )

(A) ?????=-=z y z x 2

4 (B) ?????

=--=

-03

4

2x z y

(C) 14322

-=-=-z y x (D) 04)2(32=-+-+-z y x 32．二个平面14z 3

y 2x =++和2x+3y-4z=1位置关系是（ A ） （A ）相交但不垂直

（B ）重合 （C.）平行但不重合 （D.）垂直

33. 过点(2，0，-3)且与直线?

??=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程是( A ) (A) 0)3(11)0(14)2(16=++-+--z y x

(B) 0)3(4)0(2)2(=++---z y x

(C) 0)3(2)0(5)2(3=+--+-z y x

(D) 0)3(11)0(14)2(16=-++++-z y x

34. 向量{}c b a ,,=α与三坐标轴的夹角分别为γβα,,，则α的方向余弦中的βcos =( A )

(A) c b a b

222++ (B)c b a b ++ (C)

c b a b ++± (D) c b a b 222++± 35. 已知曲面方程 22

22b

y a x z +-= （马鞍面），这曲面与平面 h z = 相截，其截痕是空间中的（ B ）

A. 抛物线；

B. 双曲线；

C. 椭圆；

D. 直线。

36. 点(3，1，2)关于XOZ 平面的对称点是( B )

(A) (-3，1，2) (B) (3，-1，2)

(C) (3，1，-2) (D) (-3，-1，2)

37. 曲线???==-0369422z y x 绕X 轴旋转一周，形成的曲面方程是( C )

(A) ()3694222=-+y z x (B)

()()36942222=+-+z y z x (C) ()

3694222=+-z y x (D) 369422=-y x 38. 准线为XOY 平面上以原点为圆心、半径为2的圆周，母线平行于Z 轴的圆柱面方程是( B )

(A) 022=+y x (B)

422=+y x

(C) 0422=++y x (D)

4222=++z y x 39. 球面k z y x 2222=++与a z x =+的交线在XOY 平面上的投影曲线方程是( D )

(A) ()k z y z a 2222=++- (B) ()?????==++-02

222z k z y z a

(C) ()k x a y x 2222=-++ (D) ()???==-++02

222z k x a y x

40. 向量α={}A A A z Y x ,,、β={}B B B Z Y X ,,垂直的充分必要条件是( A )

(A) α·β=0 (B) α×β=0

(C) B A B A B A z z

y y x x == (D) α-β=0

二、填空题 1. ,7,4,3=+==b a b a ρρρρ 则 =-b a ρρ 1

2. 有曲面方程z q

y p x 22

2=+，当pq<0时, 方程表示的曲面称为双曲抛物面 3. 母线平行于x 轴且通过曲线?????=+-=++0

162222222z y x z y x 的柱面方程是16322=-z y 4. 已知a ?,b ?,c ?都是单位向量，且满足a ?+b ?+c ?=0, 则=?+?+?a c c b b a ??????

2

3- 5、XOZ 平面内曲线2x z =绕X 轴旋转，所得曲面方程为 422x y z =+ 6．已知向量(1,2,3)OA =u u u r ，向量(2,3,4)OB =u u u r ，那么三角形OAB 的面积是

7、已知平面1:230x y z π+++=与2:310x y z π-+-+=，则其夹角为

8．点(1,2,0)-在平面上210x y z +-+=的投影为 522

(,,)333

- 9.设有直线1158:121x y z L --+==-与26:23

x y L y z -=??+=?，则1L 与2L 的夹角为3π 10．已知||2=a ，||2=b ，?3

(,)π

=a b ，则23=-u a b 的模||=u

11. 已知向量 ++=23 与 32-=，则 =?)3()2( 0 ； =? 3213i j k +-r r r

12、平面x+2y-z+3=0和空间直线1

21131-=-+=-z y x 的位置关系是 直线在平面上 13. 过点（2，-3，6）且与Y 轴垂直的平面为 3-=y ，此点关于XOY 平面的对称点是 ()6,3,2-- ，它与原点的距离为 7

三：计算与证明

1.求过点M(3, 1 -2)且通过直线1

2354z y x =+=-的平面方程 解：设N(4, -3, 0), )1,2,5(=s ρ

, 由已知， )2,4,1(-=是所求平面内的向量

又设所求平面的法向量是n ρ，取s n ρ

ρ?=， 即： k j i k j i n ρρρρρρρ22981

25241++-=-=

故，所求平面的方程为：－8(x-3)+9(y-1)+22(z+2)=0

即：－8x+9y+22z+59=0

2.求与直线1L ：13523z y x =-=+相交且与直线2L ：1

47510z y x =+=-相交, 与直线3L ： 1

37182-=-=+z y x 平行的直线方程 解：将1L ，2L 分别化为参数方程：

?????=+=-=t z t y t x 5332，

??

???=-=+=λλλz y x 74105 对于某个t 及λ值, 各得1L ，2L 上的一点,分别记为t M ,λM

则 向量λM M t =[(2t-3)-(5λ+10)]i+[(3t+5)-(4λ-7)]j+(t-λ)k

=（2t-5λ-13）i+(3t-4λ+12)j+(t-λ)k

令向量λM M t 平行于3L ， 即有 1

-t 712+ 4-3t 813- 5-2t λλλ==

解得 t=225-

，于是t M （-28，265-, 2

25-） 故 所求直线为：1

225z 7265y 828x +=+=+ 3.直线L 过点M(2, 6，3), 平行于平面π:x-2y+3z-5=0且与直线1L :268252-=--=--z y x 相交, 求L 的方程

解：过点M 平行于π的平面方程为(x-2)-2(y-6)+3(z-3)=0

即: x-2y+3z=0

再求它与直线1L 的交点, 将1L 写成参数方程:

x=2-5t, y=2-8t , z=6+2t

代入上述平面方程得: t=-1

所以交点为P(7, 10, 4), 又L 过M, P 两点

故: L 的方程为

3-43-z 6-106-y 2-72x ==- 即：1

3-z 46-y 52x ==- 4．求过直线1211x y z -==-，且平行于直线1212

x y z +==-的平面方程。 解：设平面法向量(,,)a b c ，则有方程20220

a b c a b c +-=??+-=? 解得020c a b =??+=?

,于是可取法向量(1,2,0)- 所以平面方程为(1)20x y --+=

5、设,a b 是平面上两个不共线的非零向量，c a b λμ=+为已知非零向量，求,λμ

解：方程两边同与,a b 作数量积得22a c a a b b c a b b λμλμ?=+??=+??g g g g

，解此两元一次方程组，得222ac ab

bc

b a ab

ab b λ=， 222a ac ab bc a ab ab b μ=。

6.求直线210:2220x y z l x y z +++=??--+=?

在平面330x y z --+=上的投影 解：设平面束方程为(21)(222)0x y z x y z λμ++++--+=

其法向量为(2,2,2)λμλμλμ+--，于是由题意有

3(2)(2)(2)0λμλμλμ+----=，即470λμ+=

取7,4λμ=-=。直线方程为33010151510x y z x y z --+=??---+=?

7.求原点到直线2340:23450

x y z l x y z +++=??+++=?的垂线与垂足，垂线要求参数方程。

解：设π为过原点且垂直于l 的平面，则π的一个法向量与l 的方向一致。 l 的方向：233112(

,,)(1,2,1)344223=--。 π的方程20x y z -+-=

将其与l 方程联立，解得垂足坐标2

14(,,)333

-- 于是垂线参数方程231343x t y t z t ?=???=-???=-??

. 8．已知直线一般方程为234046510x y z x y z --+=??-+-=?

，求其点向式方程。 解：两平面法向量分别为(2,3,1),(4,6,5)---，故直线方向为

311223(,,)(21,14,0)655446

----=---- 令3400,6510

y z x y z --+=?=?-+-=?，得直线上一点199(0,,)217 故点向式方程为91972121140

z y x --==-- 9.在直线1:0x y z l x z +-=??-=?

上求一点A ，使得它与原点所决定的直线与l 的夹角为

解：直线l 方向(1,1,1)(1,0,1)(1,0,1)-?-=--

设直线上一点(,1,)A x x ，则(,1,)OA x x =u u u r

=此方程得1x =±。

故A 点坐标为(1,1,1)或(1,1,1)--。 10.证明：直线1213:326x y z l -+-==-及直线221:2

x y l y z +=??+=-?共面。 证明：2l 的方向向量2{1,2,0}{0,1,1}{2,1,1}(2)=?=-n 分，1l 的方向向量

1{3,2,6}(2)=-n 分。点12(2,1,3),(1,0,2),{1,1,5},A l B l AB =-∈=-∈=--u u u v 由于这三

个向量两两不平行，且

12326()2110(4)115

AB -??=-=--n n u u u v 分，

所以1l 与2l 共面(因为由上式知2,,AB 1n n u u u v 三向量共面)。

证法2：1l 与2l 有交点：(1,1,3)M --，故1l 与2l 共面。

11.求通过直线1121:211x y z l ++-==-及直线221:2x y l y z +=??+=-?

的平面方程。 解：2l 的方向向量为21{1,2,0}{0,1,1}{2,1,1}//=?=-n n ，所以1l 与2l 平行(3)分。

点11(1,2,1),M l =--∈且易知22(1,0,2)M l =-∈，2M 不在直线1l 上(2)分。故所求

平面就是两相交直线1l 与12M M u u u u u u v 确定的平面。它的法向量可取为

12121

186(3).2

23M M =?=-=++-i

j k n n n i j k u u u u u u u v 分 又1(1,2,1)M =--为已知平面上的点，所求平面的点法式方程为

(1)8(2)6(1)0x y z ++++-=，即86110(2)x y z +++=分。

12． 已知ABC ?的两边构成的向量2,32AB BC =+-=++i j k i j k u u u v u u u v ，求ABC ?的面

积。

解：11||||(2),22

ABC S BA BC AB BC ?=?=?u u u v u u u v u u u v u u u v 分 而21135(2),321

AB BC ?=-=-+i j k i j k u u u v u u u v 分

所以||AB BC ?=u u u v u u u v

(2)ABC S ?=分. 13.求直线224

x z y z =+??=-?在平面0x y z +-=上的投影方程。

解：过直线224x z y z =+??

=-?的平面束方程为 :2(24)0(2)x z y z λπλ--+-+=分.

在λπ中取一个平面与已知平面垂直，则两法向量垂直，故有

{1,,12}{1,1,1}0(2)λλ--?-=分， 即21120,3

λλλ+++==-。故过已知直线且与已知平面垂直的平面为 32140(2).x y z -+-=分

从而直线在平面上的投影即为

32140(2)0x y z x y z -+-=??+-=?

分. 14. 求过直线?

??=---=+-0923042z y x z y x 且垂直于平面4x-y+z-1=0的平面方程。 解 设所求的平面的法向量为{A ，B ，C}，已知直线的方向数为{m,n,p}

则?

??=--=+-023042p n m p n m 有 ???????==71079n p n m 方向数为{9，7，10}(2分) 又因???=+-=++0401079C B A C B A 有???

????-=-=37313717C B C A 法向量为{17，31，-37}(3分) 直线上有点（0，-1，-4）

平面方程为17x+31(y+1)-37(z+4)=0

15．求过点(3，1，-2)且过直线1235

4z y x =+=-的平面方程。 取直线上一点（-1，-5，-1），设所求平面的法向量为{A ，B ，C}

两点连线的方向数为{4，6，-1}（2分）

有?

??=++=-+025064C B A C B A 得???????=-=92298B C B A 则法向量为{-8，9，22}（2分） 平面方程为-8(x-3)+9(y-1)+22(z+2)=0

即8x-9y-22z-59=0（2分）

16、一平面过点M （-1，1，2）与z 轴，求该平面方程。 解： 112,(3)0(3)001i j k n i j x y =-=++=v v v v v v 分所求平面方程为：分