向量代数与空间解析几何-期末复习题-高等数学下册-(上海电机学院)

向量代数与空间解析几何-期末复习题-高等数学下册-(上海电机学院)

第七章 空间解析几何

一、选择题

1. 在空间直角坐标系中，点（1，－2，3）在[ D ] A. 第一卦限 B. 第二卦限

C. 第三卦限

D. 第四卦限 2.方程2

222

=+y x 在空间解析几何中表示的图形为

[ C ]

A. 椭圆

B. 圆

C. 椭圆柱面

D. 圆柱面 3.直线3

1

2141:1+=+=-z y x l 与??

?=-++=-+-0

20

1:2z y x y x l

，的夹角是

[ C ] A.

4

π

B.

3

π C.

2

π

D. 0

4. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于xoy 平面的对称点是[ D ]

A. (-1,2,3)

B. (1,-2,3)

C. (-1,-2,3)

D. (1,2,-3)

5.将xoz 坐标面上的抛物线x

z 42

=绕z 轴旋转一

周，所得旋转曲面方程是[B ]

A. )

(42y x z += B.

2

2

2

4y x z +±=

C. x

z y

422

=+ D. x

z y

422

±=+

6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是

[B ] A.

13

- B.

13

C.

23

-

D. 23

7. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于yoz 平面的对称点是[ A ]

A. (-1,2,3)

B. (1,-2,3)

C. (-1,-2,3)

D. (1,2,-3) 8.方程

222

22

x y z a b +=表示的是 [ B ]

A.椭圆抛物面

B.椭圆锥面

C. 椭球面

D. 球面 9. 已知

a ?={0, 3, 4},

b

?={2, 1, -2},则

=

b proj a

?ρ[ C ]

A. 3

B.3

1- C. -1 D.1 10．已知,a b 为不共线向量，则以下各式成立的是 D A.

222

()a b a b =? B. 222

()a b a b ?=?

C.

22

()()a b a b ?=? D.

2222

()()a b a b a b ?+?=

11．直线1

l 的方程为0

3130290

x y z x y z ++=??

--=?

，直线2

l 的方程为03031300

x y z x y z ++=??

--=?，则1

l 与2

l 的位置关系是 D

A.异面

B.相交

C.平行

D.重合

12．已知A 点与B 点关于XOY 平面对称，B 点与C 点关于Z 轴对称，那么A 点与C 点是 C

A.关于XOZ 平面对称

B.关于YOZ 平面对称

C.关于原点对称

D.关于直线x y z ==对称

13．已知A 点与B 点关于YOZ 平面对称，B 点与C 点关于X 轴对称，那么A 点与C 点 C A.关于XOZ 平面对称 B.关于

XOY 平面对称

C.关于原点对称

D.关于直线x y z ==对称

14. 下列那个曲面不是曲线绕坐标轴旋转而成的 C A.2221

x y z ++= B.

221

x y z ++= C.

21

x y z ++=

D.2

21

x y

z ++=

15. 已知,a b 为不共线向量,则下列等式正确的是 C

A.2

a a a = B. 2()a a

b a b

??= C.

2

()a b b ab ??= D.

22

2

()a b a b =?

16．已知向量(1,2,1)a =，(3,4,3)b =--，那么以,a b 为两边的平行四边形的面积是 B A.20 B.

C.10

D.

17．已知直线l 方程230

3450

x y z x y z ++=??

++=?

与平面π方程20

x z -++=，那么l 与π的位置关系是C

A. l 在π内

B. l 垂直于π

C. l

平行于π D.不能确定

18．两向量,a b 所在直线夹角4π，0ab <，那么下列说法正确的是 B

A.

,a b

夹角4

π B. ,a b

夹角34π

C.

,a b

夹角可能

34

π或4

π D.以上都不对 19.已知||1=a

，||=b ?(,)4

π=a b ，则||+=a b （D ）. (A) 1

(B) 1+ (C) 2

(D)

20.设有直线3210

:21030

x y z L x y z +++=??

--+=?

及平面:4220x y z π-+-=，则直线L （ C ）。

(A) 平行于π (B) 在π上 (C) 垂直于π (D) 与π斜交 21.双曲线

22

1450x z y ?-=???=?

绕z 轴旋转而成的旋转曲面的

方程为（ A ）. (A) 222

145

x y z +-= (B) 222

145

x y z +-= (C)

22

()145x y z +-= (D)

22

()145

x y z +-=

22.点(,,)a b c 关于y 轴对称的点是（ D ）. (A)

(,,)

a b c --- (B)

(,,)

a b c -- (C)

(,,)

a b c - (D)

(,,)

a b c --

23.已知{4,3,4},{2,2,1}=-=a b ，则()Prj =b

a （A ）. (A) 2 (B)

2

-

(C)

(D)

24.2

21

x

y -=在空间表示 （ D ）.

(A) 双曲线 (B) 双曲面 (C) 旋转双曲面 (D) 双曲柱面

25.设a 与b 为非零向量，则?=a b 0是（ C ）. (A) =a b

的充要条件 (B) ⊥a b

的充要条件

(C)

//a b

的充要条件 (D)

//a b

的

必要但不充分条件

26．设平面方程为0Ax Cz D ++=，其中,,A C D 均不为零，则平面（ B ）.

(A) 平行于x 轴 (B) 平行于y 轴 (C) 经过x 轴 (D) 经过y 轴

27． 已知等边三角形ABC ?的边长为1，且

BC =a

u u u v ，

CA =b

u u u v

，

AB =c

u u u v ，则?+?+?=a b b c c a （ D ）.

(A) 1

2

(B) 32

(C)

12

- (D)

32

-

28.点M(2，-3，1)关于坐标原点的对称点是( A )

(A) (-2，3，-1) (B) (-2，-3，-1)

(C) (2，-3，-1) (D) (-2，3，1)

29.平面2x-3y-5=0的位置是( B )

(A) 平行于XOY 平面 (B) 平行于Z 轴 (C)

平行于

YOZ

平面

(D) 垂直于Z 轴

30.点A(-2，3，1)关于Y 轴的对称点是( D ) (A) (2，-3，1) (B) (-2，-3，-1)

(C) (2，3，-1) (D) (2，-3，-1)

31.过点(0，2，4)且与平面x+2z=1和y-3z=2都平行的直线方程是( C ) (A)

???

??

=-=z

y z x 24 (B)

???

?

?

=--=-0

342x z y

(C)

1

4

322-=-=-z y x (D)

4)2(32=-+-+-z y x

32．二个平面14

z

3y 2x =++和2x+3y-4z=1位置关系是（ A ）

（A ）相交但不垂直 （B ）重

合

（C.）平行但不重合 （D.）垂直

33. 过点(2，0，-3)且与直线??

?=+-+=-+-0

12530742z y x z y x 垂直的

平面方程是( A )

(A) 0)3(11)0(14)2(16=++-+--z y x

(B) 0

)3(4)0(2)2(=++---z y x (C) 0

)3(2)0(5)2(3=+--+-z y x (D)

)3(11)0(14)2(16=-++++-z y x

34. 向量{}c b a ,,=α与三坐标轴的夹角分别为γβα,,，则α的方向余弦中的βcos =( A )

(A)

c

b a b

222++ (B)

c

b a b

++ (C)

c

b a b

++± (D)

c

b a b

222++±

35. 已知曲面方程

2

2

22b

y a x z +-= （马鞍面），这曲面

与平面 h z = 相截，其截痕是空间中的（ B ） A. 抛物线； B. 双曲线； C. 椭圆； D. 直线。

36. 点(3，1，2)关于XOZ 平面的对称点是( B )

(A)

(-3

，

1

，

2)

(B) (3，-1，2)

(C) (3，1，-2)

(D) (-3，-1，2) 37. 曲线

??

?==-0

369422z y x 绕X 轴旋转一周，形成的曲面方程是( C )

(A) ()36

94222=-+y z x (B)

()()

36

942222=+-+z y z x

(C)

()

36

94222=+-z y x (D) 36

9422=-y x

38. 准线为XOY 平面上以原点为圆心、半径为2的圆周，母线平行于Z 轴的圆柱面方程是( B )

(A)

22

=+y x (B)

4

22

=+y x

(C) 0

422

=++y x (D)

4

2

22=++z y x

39. 球面k z y x

2

222

=++与a z x =+的交线在XOY 平面

上的投影曲线方程是( D ) (A)

()k z y z a 2

222

=++- (B)

()?????==++-0

2222

z k z y z a

(C)

()k

x a y x 2

2

22

=-++ (D)

()??

?==-++0

2222z k x a y x

40. 向量α={}A A A z

Y

x

,,、β={}

B B B

Z Y X

,,垂直的充分必

要条件是( A )

(A) α·β=0 (B) α×β=0 (C)

B A B A B A z

z y y x x == (D) α-β=0

二、填空题

1. ,7,4,3=+==b a b a ρ

ρρρ 则 =

-b a ρρ 1

2. 有曲面方程

z q

y p x 22

2=+，当pq<0时, 方程表示

的曲面称为双曲抛物面 3. 母线平行于x 轴且通过曲线?????=+-=++0

162222222z y x z y x 的柱

面方程是16322=-z y

4. 已知a ?,b ?

,c ?都是单位向量，且满足a ?+b ?

+c ?

=0, 则

=

?+?+?a c c b b a ??????

2

3

-

5、XOZ 平面内曲线2

x z

=绕X 轴旋转，所得曲面

方程为 4

2

2

x y z =+

6．已知向量

(1,2,3)

OA =u u u r

，向量(2,3,4)

OB =u u u r

，那么三角形

OAB

的面积是

2

7、已知平面1

:230x y z π+++=与2

:310

x y z π

-+-+=

，则其夹

角为

arccos

33

8．点(1,2,0)-在平面上210x y z +-+=的投影为

522(,,)333

-

9.设有直线1

158

:121x y z L --+==-与2

6:23

x y L y z -=??

+=?

，则1L 与2

L 的夹角为3

π 10．已知||2=a ，||2=b ，?3

(,)π

=a b ，则23=-u a b 的模||=u

11. 已知向量 k j i a ++=23 与 j i b 32-=，则 =?)3()2(b a

0 ； =? 3213i j k +-r r r

12、平面x+2y-z+3=0和空间直线1

2

1131-=

-+=-z y x 的位置关系是 直线在平面上

13. 过点（2，-3，6）且与Y 轴垂直的平面为

3

-=y ，此点关于XOY 平面的对称

点是 ()6,3,2-- ，它与原点的距离为 7 三：计算与证明

1.求过点M(3, 1 -2)且通过直线1

2354z

y x =+=-的平面方程

解：设N(4, -3, 0),

)

1,2,5(=s ρ

, 由已知，

)

2,4,1(-=是所求平面内的向量

又设所求平面的法向量是n ρ

，取s n

ρρ?=，

即：

k

j i k

j i n ρρρρρρρ

22981

25241++-=-=

故，所求平面的方程为：－8(x-3)+9(y-1)+22(z+2)=0

即：－8x+9y+22z+59=0

2.求与直线1L ：13523z

y x =-=+相交且与直线2L ：1

47510z

y x =+=-相交, 与直线3L ： 1

3

7182-=

-=+z y x 平行的直线方程

解：将1L ，2L 分别化为参数方程：

??

?

??=+=-=t z t y t x 533

2， ??

?

??=-=+=λλλz y x 74105

对于某个t 及λ值, 各得1L ，2L 上的一点,分别记为t M ,λM

则

向量

λ

M M t =[(2t-3)-(5λ+10)]i+[(3t+5)-(4λ-7)]j +(t-λ)k

=（2t-5

λ

-13）

i+(3t-4λ+12)j+(t-λ)k

令向量λM M t 平行于3L ， 即有

1

-t 712+ 4-3t 813- 5-2t λ

λλ== 解得 t=225- ，于是t M （-28，265-, 2

25

-）

故 所求直线为：1

225

z 7265y 828x +=+

=

+

3.直线L 过点M(2, 6，3), 平行于平面

π

:x-2y+3z-5=0且与直线1L :2

6

8252-=--=--z y x 相交, 求L 的方程

解：过点M 平行于

π

的平面方程为

(x-2)-2(y-6)+3(z-3)=0

即: x-2y+3z=0 再求它与直线1L 的交点, 将1L 写成参数方程:

x=2-5t, y=2-8t , z=6+2t 代入上述平面方程得: t=-1

所以交点为P(7, 10, 4), 又L 过M, P 两点

故: L 的方程为

3

-43

-z 6-106-y 2-72x ==-

即：1

3-z 46-y 52x =

=- 4．求过直线1211x y z -==-，且平行于直线1

212

x y z +==-的平面方程。

解：设平面法向量(,,)a b c ，则有方程

20220

a b c a b c +-=??

+-=?

解得0

20

c a b =??

+=?

,于是可取法向量(1,2,0)-

所以平面方程为(1)20x y --+=

5、设,a b 是平面上两个不共线的非零向量，c a b λμ=+为已知非零向量，求,λμ 解：方程两边同与,a b 作数量积得

2

2a c a a b b c a b b λμλμ?=+??=+??

g g g g ，解

此两元一次方程组，得2

2

2

ac ab

bc

b a

ab

ab b λ=

， 22

2

a ac

ab bc a ab ab b μ=

。

6.求直线210

:2220

x y z l x y z +++=??

--+=?

在平面330x y z --+=上的投影 解：设平面束方程为(21)(222)0x y z x y z λμ++++--+=

其法向量为(2,2,2)λμλμλμ+--，于是由题意有

3(2)(2)(2)0

λμλμλμ+----=，即470λμ+=

取7,4λμ=-=。直线方程为330

10151510

x y z x y z --+=??

---+=?

7.求原点到直线

2340:23450

x y z l x y z +++=??

+++=?的垂线与垂足，垂

线要求参数方程。

解：设π为过原点且垂直于l 的平面，则π的一个法向量与l 的方向一致。

l 的方向：2

33112(,,)(1,2,1)3

44223

=--。

π的方程20x y z -+-=

将其与l 方程联立，解得垂足坐标214(,,)333

--

于是垂线参数方程

231343x t y t z t ?=??

?=-?

?

?=-??

.

8．已知直线一般方程为2340

46510

x y z x y z --+=??

-+-=?

，求其点向式方程。

解：两平面法向量分别为(2,3,1),(4,6,5)---，故直线方向为

311223

(

,,)(21,14,0)

655446----=----

令

3400,6510

y z x y z --+=?=?

-+-=?，得直线上一点199

(0,,)217

故点向式方程为919

72121140

z y x -

-

==--

9.在直线

1

:0

x y z l x z +-=??

-=?上求一点A ，使得它与原点所

决定的直线与l 的夹角为

arccos

3

解：直线l 方向(1,1,1)(1,0,1)(1,0,1)-?-=--

设直线上一点(,1,)A x x ，则(,1,)

OA x x =u u u r

，据

=

1x =±。

故A 点坐标为(1,1,1)或(1,1,1)--。

10.证明：直线1

213:326

x y z l -+-==-及直线221

:2

x y l y z +=??

+=-?共面。

证明：2

l 的方向向量2

{1,2,0}{0,1,1}{2,1,1}(2)=?=-n

分，1

l 的

方向向量

1{3,2,6}(2)

=-n 分。点

12(2,1,3),(1,0,2),{1,1,5},

A l

B l AB =-∈=-∈=--u u u v

由于这三个向量两

两不平行，且

12326

()2

110(4)1

1

5

AB -??=-=--n n u u u v

分，

所以1

l 与2

l 共面(因为由上式知2,,AB

1n n u u u v 三向量共

面)。

证法2：1

l 与2l 有交点：(1,1,3)M --，故1l 与2

l 共面。

11.求通过直线1121:211

x y z l ++-==

-及直线

221

:2

x y l y z +=??

+=-?的平

面方程。

解：

2

l 的方向向量为2

1

{1,2,0}{0,1,1}{2,1,1}//=?=-n n ，所以1

l 与

2

l 平行(3)分。 点1

1(1,2,1),

M

l =--∈且易知2

2

(1,0,2)M

l =-∈，2

M 不在直线1

l

上(2)分。故所求平面就是两相交直线1

l 与12

M M u u u u u u v

确

定的平面。它的法向量可取为

12

121186(3).2

2

3

M M =?=-=++-i j k

n n n i j k u u u u u u u v 分

又1

(1,2,1)

M =--为已知平面上的点，所求平面的点

法式方程为

(1)8(2)6(1)0

x y z ++++-=，即86110(2)x y z +++=分。

12． 已知ABC

?的两边构成的向量2,32AB BC =+-=++i j k i j k

u u u v u u u v

，求ABC ?的面积。

解：11||||(2),22

ABC

S

BA BC AB BC ?=?=?u u

u v u u u v u u u v u u u v 分

而21135(2),

32

1

AB BC ?=-=-+i j k

i j k u u u v u u u v

分

所以

||AB BC ?=u u u v u u u v

(2)ABC

S

?=

分.

13.求直线2

24

x z y z =+??

=-?

在平面0x y z +-=上的投影方程。 解：过直线2

24

x z y z =+??

=-?

的平面束方程为 :2(24)0(2)

x z y z λπλ--+-+=分.

在λ

π中取一个平面与已知平面垂直，则两法向量垂直，故有

{1,,12}{1,1,1}0(2)λλ--?-=分，

即21120,3λλλ+++==-。故过已知直线且与已知平面垂直的平面为

32140(2).x y z -+-=分

从而直线在平面上的投影即为

32140

(2)0x y z x y z -+-=??

+-=?

分.

14. 求过直线

??

?=---=+-0

9230

42z y x z y x 且垂直于平面

4x-y+z-1=0的平面方程。

解 设所求的平面的法向量为{A ，B ，C}，已知直线的方向数为{m,n,p}

则

??

?=--=+-0

23042p n m p n m 有 ???

???

?==71079n p n m 方向数为{9，7，

10}(2分)

又因??

?=+-=++0

40

1079C B A C B A 有???

???

?-=-=37313717C B C A 法向量为{17，31，

-37}(3分)

直线上有点（0，-1，-4） 平面方程为17x+31(y+1)-37(z+4)=0 15．求过点(3，1，-2)且过直线1

2354z

y x =+=-的平

面方程。

取直线上一点（-1，-5，-1），设所求平面的法向量为{A ，B ，C}

两点连线的方向数为{4，6，-1}（2分）

有??

?=++=-+0

250

64C B A C B A 得???

???

?=-=92298B C B A 则法向量为{-8，9，

22}（2分）

平面方程为-8(x-3)+9(y-1)+22(z+2)=0

即8x-9y-22z-59=0（2分）

16、一平面过点M （-1，1，2）与z 轴，求该平面方程。 解：

112,(3)0(3)

1

i j k

n i j x y =-=++=v v v v v v

分所求平面方程为：分