统计学教案习题02计量资料统计描述x

X

X

第二章 计量资料的统计描述

一、教学大纲要求

（一） 掌握内容

频数分布表与频数分布图

（1 ）频数表的编制。

（2） 频数分布的类型。

（3） 频数分布表的用途。

描述数据分布集中趋势的指标

掌握其意义、用途及计算方法。算术均数、几何均数、中位数。

描述数据分布离散程度的指标

掌握其意义、用途及计算方法。极差、四分位数间距、方差、标准差、变异系数。

（二） 熟悉内容

连续型变量的频数分布图：等距分组、不等距分组。

教学内容精要

计量资料又称为测量资料，它是测量每个观察单位某项指标值的大小所得的资料， 一般均有计量单位。常用描述定

量资料分布规律的统计方法有两种：一类是用统计图表，主要是频数分布表（图） ；另一类是选用适当的统计指标。

（一）频数分布表的编制

频数表（frequency table ）用来表示一批数据各观察值或在不同取值区间的出现的频繁程度（频数） 。对于离散

数据，每一个观察值即对应一个频数，如某医院某年度一日内死亡 0, 1, 2,…20个病人的天数。如描述某学校学生

性别分布情况，男、女生的人数即为各自的频数。对于散布区间很大的离散数据和连续型数据，数据散布区间由若干 组段组成，每个组段对应一个频数。制作连续型数据频数表一般步骤如下：

求数据的极差（range ）。

D Vmax

D V

max

X min

(2-1 )

口表示，样本均数用

口表示，样本均数用X

（2-2）

（2-3）

G其计算公式为:

根据极差选定适当“组段”数（通常 8—10个）。

确定组段和组距。每个组段都有下限 L和上限U,数据x归组统一定为 L<x <U。

写出组段，逐一划记。

频数表可用于揭示资料的分布特征和分布类型，在文献中常用于陈述资料，它便于发现某些特大或特小的可疑值, 也便于进一步计算指标和统计分析处理。

（二）描述频数分布中心位置的平均指标

描述中心位置的平均指标，但常因资料的不同而选取不同的指标进行描述。

算术均数

算术均数（arithmetic mean ）简称均数，描述一组数据在数量上的平均水平。总体均数用 表示，其计算方法如下：

（1） 直接法：直接用原始观测值计算。

X为组中值，f

X为组中值，f为频数。

几何均数

几何均数（geometric mean ）用以描述对数正态分布或数据呈倍数变化资料的水平。记为

（1）直接法

lg 1lg X

lg 1

lg X

n

(2-4)

（2）加权法

lg 1f lg X

lg 1

f lg X

(2-5)

中位数中位数（

中位数

中位数（median ）将一组观察值由小到大排列, 量的平均值。

n为奇数时取位次居中的变量值；为偶数时，取位次居中的两个变

为奇数时M X

为奇数时

M X

n 1

为偶数时

M -

X n X n

2

(2 (訂)

2-1

常用平均数的意义及其应用场合

平均数

意义

应用场合

应用甚广，

最适用于对称分布，特别是正

均数

平均数量水平

态分布

几何均数

平均增（减）

倍数

等比资料；

对数正态分布

中位数

位次居中的观察值水平

偏态分布；

分布不明；分布末端无确定值

(2-6)

(2-7)

（一）反映数据变异程度大小的变异指标

常用的变异指标有极差、四分位数间距、方差、标准变异指标的应用亦根据资料的不同而选取不同指标进行描述。

常用的变异指标有极差、四分位数间距、方差、标准

差和变异系数，尤其是方差和标准差更为常用。

极差

极差（range）亦称全距，即最大值与最小值之差，用于资料的粗略分析，其计算简便但稳定性较差。

(2-1)R X X

(2-1)

max min

百分位数与四分位数间距

（1）百分位数（percentile ）是将n个观察值从小到大依次排列，再把它们的位次依次转化为百分位。百分位数 的另一个重要用途是确定医学正常参考值范围。 百分位数用Px表示，Ov x v 100,如25%位数表示为P25。在频数表上,

百分位数的计算公式为：

(2-8)ix Lx 一 n x%

(2-8)

fx

（2）四分位数间距（inter-quartile range ）是由第3四分位数（Q3= P75）和第1四分位数（Q1= P25）相减计算

其计算公式:而得，常与中位数一起使用，描述偏态分布资料的分布特征，比极差稳定。

其计算公式:

QRQ3 Q1(2-9)3.方差方差（variance ）表示一组数据的平均离散情况，其计算公式为:s2

QR

Q3 Q1

(2-9)

3.方差

方差（variance ）表示一组数据的平均离散情况，其计算公式为:

s2

(2-10)

4.标准差

标准差（standard deviation ）是方差的正平方根，使用的量纲与原量纲相同，适用于近似正态分布的资料，大样 本、小样本均可，最为常用，其计算公式为：

(2-11)

5.变异系数

变异系数（coefficient of variation

CV表示，计算公式为：

）用于观察指标单位不同或均数相差较大时两组资料变异程度的比较。用

S

CV 100%

X

(2-12)

平均指标和变异指标分别反映资料的不同特征， 作为资料的总结性统计量， 两类指标要求一起使用。

　如常用X S

或 M（QR。

三、典型试题分析

名词解释：平均数

答案：平均数（average ）是描述数据分布集中趋势的指标，在卫生领域中最常用的平均数指标：算术均数、几何 均数和中位数。

［评析］本题考察平均数的概念。平均数是一类统计指标，并不单纯指算术均数。

描述一组偏态分布资料的变异度，以（ ）指标较好。

全距 B. 标准差

C.变异系数 D. 四分位数间距

答案：D

［评析］标准差和变异系数均用于描述正态分布资料的变异度， 全距和四分位数间距可用于任何资料， 而四分位数间

距更为稳定，故选 D。

用均数和标准差可以全面描述（ ）资料的特征。

正偏态分布 B. 负偏态分布

C.正态分布和近似正态分布 D.对称分布

答案：C

［评析］本题考察均数和标准差的应用条件。

同一资料的标准差是否一定小于均数？

答案：均数和标准差是两类不同性质的统计指标。标准差用于描述数据的变异程度，变异程度大，则该值大，变异 程度小，则该值小。标准差可大于均数，也可小于均数。

试述极差、四分位数间距、标准差及变异系数的适用范围。

答案：这三个指标均反映计量资料的离散程度。极差与四分位数间距可用于任何分布， 后者较前者稳定，但均不能

综合反映各观察值的变异程度；标准差最为常用，要求资料近似服从正态分布；变异系数可用于多组资料间度量衡单 位不同或均数相差悬殊时的变异程度比较。

四、习 题

（一） 名词解释

1.频数表 2. 算术均数 3.

6.百分位数 7.四分位数间距

（二） 单项选择题

各观察值均加（或减）同一数后（

A.均数不变，标准差改变

C.两者均不变 D.

B.

8.

几何均数 4.中位数 方差 9. 标准差

）。

均数改变，标准差不变 两者均改变

比较身高和体重两组数据变异度大小宜采用（

A.变异系数

C.极差

以下指标中（

A.算术均数

C.中位数

偏态分布宜用

A.算术均数

C.中位数

B.

5. 极差

10. 变异系数

差

标准差

）可用来描述计量资料的离散程度。

几何均数

标准差

描述其分布的集中趋势。

标准差

四分位数间距

0的常数后，（）不变。

D.

B.

D.

B.

D.

各观察值同乘以一个不等于

算术均数 B.标准差

C. 几何均数 D. 中位数

（ ）分布的资料，均数等于中位数。

A. 对称 B. 左偏态

C. 右偏态 D. 偏态

对数正态分布是一种（ ）分布。

A. 正态 B. 近似正态

C. 左偏态 D. 右偏态

最小组段无下限或最大组段无上限的频数分布资料，可用（ ）描述其集中趋势。

A. 均数 B. 标准差

C. 中位数 D. 四分位数间距

（ ）小，表示用该样本均数估计总体均数的可靠性大。

A. 变异系数 B. 标准差

C. 标准误 D. 极差

TOC \o "1-5" \h \z 血清学滴度资料最常用来表示其平均水平的指标是（ ）。

A. 算术平均数 B. 中位数

C. 几何均数 D. 平均数

B. 一定小于 1D. 一定比标准差小 的中位数是（ ）。）。

B. 一定小于 1

D. 一定比标准差小 的中位数是（ ）。

）。

B. 度量了一组数据偏离平均数的大小

D. 不会小于算术均数

A. 一定大于 1

C. 可大于 1 ，也可小于 1

数列 8、-3、5、0、1、4、-1

A. 2 B. 0

C. 2.5 D. 0.5

关于标准差 , 那项是错误的（ A. 反映全部观察值的离散程度 C. 反映了均数代表性的好坏

中位数描述集中位置时 ,下面那项是错误的（ ）。

A. 适合于偏态分布资料 B. 适合于分布不明的资料

C. 不适合等比资料

D. 分布末端无确定值时 , 只能用中位数

5 人的血清滴度为 <1:20 、1:40、1:80、1:160、1:320 描述平均滴度，用那种指标较好（ ）。

A.平均数 B. 几何均数

C. 算术均数 D. 中位数

数列 0、48、49、50、52、100的标准差为（ ）。

A. 50 B. 26.75

C. 28.90 D. 70.78

一组变量的标准差将（ ）。

随变量值的个数 n的增大而增大

随变量值的个数 n的增加而减小

随变量值之间的变异增大而增大

随系统误差的减小而减小

频数表计算中位数要求（ ）。

原始数据分布对称D. 没有条件限制A.

原始数据分布对称

D. 没有条件限制

C. 原始数据为正态分布或近似正态分布

一组数据中 20%为 3,60%为 2,10%为 1,10%为 0, 则平均数为（ ）。

B. 1.9A.

B. 1.9

C. 2.1

D.

不知道数据的总个数，不能计算平均数

某病患者8人的潜伏期如下:2、3、3、3、4、5、6、30则平均潜伏期为（ ）。

均数为7天，很好的代表了大多数的潜伏期

中位数为3天

中位数为4天

中位数为3.5天,不受个别人潜伏期长的影响

某地调查20岁男大学生100名，身高标准差为4.09cm,体重标准差为4.10kg,比较两者的变异程度，结果（）。

体重变异度大

身高变异度较大

两者变异度相同

由单位不同，两者标准差不能直接比较

（三）判断正误并简述理由

均数总是大于中位数。（）

均数总是比标准差大。（）

TOC \o "1-5" \h \z 变异系数的量纲和原量纲相同。 （）

样本均数大时，标准差也一定会大。 （）

样本量增大时，极差会增大。 （）

（四）计算题

某卫生防疫站测得大气中的二氧化硫的浓度，用两种计量单位表示：

3

mg/m : 1 2 3 4 5

3

（2）求中位数、均数和标准差。ug/m :

（2）求中位数、均数和标准差。

19.0

12.0

14.0

14.0

8.2

13.0

6.5

12.0 1

15.0

17.2

12.0

12.7

25.0

8.5

20.0

17.0

8.4

8.0 13.0

15.0

20.0

13.0

13.0

14.0

15.0

7.9

10.5

9.5 10.0

12.0

6.5

11.0

12.5

7.5

14.5

17.5

12.0

10.0 11.0

11.5

16.0

13.0

10.5

11.0

14.0

7.5

14.0

11.4

9.0

11.1

10.0

10.5

8.0

12.0

11.5

19.0

10.0

9.0 19.0

10.0

22.0

9.0

12.0

8.0

14.0

10.0

11.5

11.0 15.0

16.0

8.0

15.0

9.9

8.5

12.5

9.6

18.5

11.0 12.0

12.0

3.测得某地300名正常人尿汞值，

其频数表如下。

试计算均数、

中位数、何者代表性较好。

表 2-2 300

例正常人尿汞值（卩g/L ）频数表

尿汞值

例数

尿汞值

例数

尿汞值

例数

0-

49

24-

16

48-

3

4-

27

28-

9

52-

-

8-

58

32-

9

56-

2

12-

50

36-

4

60-

-

16-

45

40-

5

64-

-

20-

22

44-

-

68-

1

4.有5个变量值

7，9,

10， 14,

15，试计算‘

X及

X

X。

80人的肾上腺重量

如下，试

1）编制频数表,

(g)

分别计算几何均数及标准差，会发现两种不同单位得标准差相等，试解释其原因。

尸检中测得北方成年女子

5.下表为10例垂体催乳素微腺瘤经蝶手术前后的血催乳素浓度， 试分别求术前、术后的均数，标准差及变异系数。

应以何指标比较手术前后数据的变异情况？能说明手术前数据的变异大吗？为什么?

表2-3手术前后患者血催乳素浓度（mg/ml）

例号血催乳素浓度 术前 术后例号血催乳素浓度术前 术后

例号

血催乳素浓度 术前 术后

例号

血催乳素浓度

术前 术后

276 41

6 266 43

TOC \o "1-5" \h \z 880 110 7 500 25

1600 280 8 1700 300

324 61 9 500 215

398 105 10 220 92

某地微丝蚴血症者 42例治疗后7年用间接荧光抗体试验测得抗体滴度如下。求平均滴度。

抗体滴度的倒数 10 20 40 80 160

例 数 5 12 13 7 5

五、习题答案要点

名词解释

答案：频数表(frequency table )用来表示一批数据各观察值或在不同取值区间的出现的频繁程度(频数) 。

对于离散数据，每一个观察值即对应一个频数，如某医院某年度一日内死亡 0, 1, 2…20个病人的天数。对于散布区

间很大的离散数据和连续型数据，数据散布区间由若干组段组成，每个组段对应一个频数。

答案：算术均数(arithmetic mean)描述一组数据在数量上的平均水平。总体均数用□表示，样本均数用 X表

示。

答案：几何均数(geometric mean )用以描述对数正态分布或数据呈倍数变化资料的水平。记为 G

答案：中位数(median)将一组观察值由小到大排列， n为奇数时取位次居中的变量值；为偶数时，取位次居中

的两个变量的平均值。

答案：极差(range )亦称全距，即最大值与最小值之差，用于资料的粗略分析，其计算简便但稳定性较差。

答案：百分位数(percentile )是将n个观察值从小到大依次排列，再把它们的位次依次转化为百分位。百分 位数的另一个重要用途是确定医学参考值范围。

答案：四分位数间距(inter-quartile range )是由第3四分位数和第1四分位数相减计算而得，常与中位数

一起使用，描述偏态分布资料的分布特征，较极差稳定。

答案：方差(varianee ):方差表示一组数据的平均离散情况，由离均差的平方和除以样本个数得到。

答案：标准差(standard deviation )是方差的正平方根，使用的量纲与原量纲相同，适用于近似正态分布的

资料，大样本、小样本均可，最为常用。

答案：变异系数(coefficient of variation )用于观察指标单位不同或均数相差较大时两组资料变异程度的

比较。用CV表示。

单项选择题

1. B 2.A 3.D 4.C 5.B 6.A 7.C 8.C 9.C 10.C 11.C

12.B 13.D 14.C 15.B 16.C 17.C 18.D 19.B 20.D 21.D

判断正误并简述理由

错。均数和中位数的大小关系取决于所描述资料的分布状况。对于负偏态的资料来说，均数大于中位数； 对于正

偏态的资料来说，均数小于中位数；对称分布的均数和中位数相等。

错。

错。变异系数无量纲，是一个相对数。

错。

正确。样本例数越多 ，抽到较大或较小变量值的可能性越大，因而极差可能越大。

计算题

答案：用第一组资料计算得几何均数为 2.61 mg/m5,标准差为0.27 mg/ni;第二组资料算得几何均数为 2605.17

ug/m3,标准差为0.27 ug/m 3。两组资料均数不等，标准差相等，可见标准差的大小只与资料的离散程度有关，而与均

数的大小无关。

答案：

(1)编制频数表

①求极差：R Xmax Xmin =25.0-6.5=18.5 。

根据极差确定组距为 2.0，组段数为10。

编制频数表。

表2-4 80名北方成年女子肾上腺重量（g）频数分布表

肾上腺重量

（g）

组中值

（X）

频 数

(f )

fX

fX2

累计频数

累计频率

（%

6.00-

7.00

5

35.00

245.00

5

6.25

8.00-

9.00

14

126.00

1134.00

19

23.75

10.00-

11.00

19

209.00

2299.00

38

47.50

12.00-

13.00

17

221.00

2873.00

55

68.75

14.00-

15.00

12

180.00

2700.00

67

83.75

16.00-

17.00

5

85.00

1445.00

72

90.00

18.00-

19.00

4

76.00

1444.00

76

95.00

20.00-

21.00

2

42.00

882.00

78

97.50

22.00-

23.00

1

23.00

529.00

79

98.75

24.00-

25.00

1

25.00

625.00

80

100.00

合 计

80

1022.00

14176.00

80

100.00

（2）求中位数，

均数和标准差。

①求中位数

i x n ,

2.0

M

Lx x f

L -12.0+

(80 ? 50%-38) -12.24g

fM 2

17

②求均数

fX

X

=12.78 f

③求标准差

X X 2

fX2 fX f 2

S

-3.77g

I n 1 \

f

1

3.答案：

表2-5 300例正常人尿汞值（卩

g/L）频数表

尿汞值

组中值

频 数

累计频数

累计频率

(卩 g/L)

(X)

(f )

(%

0.00-

2.00

49

49

16.33

4.00-

6.00

27

76

25.33

8.00-

10.00

58

134

44.67

12.00-

14.00

50

184

61.33

16.00-

18.00

45

229

76.33

20.00-

22.00

22

251

83.67

24.00-

26.00

16

267

89.00

28.00-

30.00

9

276

92.00

32.00-

34.00

9

285

95.00

36.00-

38.00

4

289

96.33

40.00-

42.00

5

294

98.00

44.00-

46.00

-

294

98.00

48.00-

50.00

3

297

99.00

52.00-

54.00

-

297

99.00

56.00-

58.00

2

299

99.67

60.00-

62.00

-

299

99.67

64.00-

66.00

-

299

99.67

68.00-

70.00

1

300

100.00

合计

300

300

100.00

（1）求均数

42

42

(2)求中位数fXX =15.08 卩 g/LM Lx 丄巴 f

(2)求中位数

fX

X =15.08 卩 g/L

M Lx 丄巴 fL =13.28 卩 g/L

f M 2

由频数表可以看出，此资料为偏态分布，因此用中位数代表性较好。

答案：

(1)求均数

X 7 9 10 14 15

11.00

n 5

(2)求离均差之和

答案：

(1)求术前各指标

X X =0.00

X

666.40mg/ml

n

=551.99mg/ml

CV -I 100% =82.83%

X

(2)求术后各指标

127.20 mg/ml

=101.27 mg/ml

CV 号 100% =79.61% mg/ml

两组资料均数相差悬殊，故而只能用变异系数比较两组何者变异度大，虽然术前变异系数较大，但差异并不明显, 需做进一步的统计分析才能知道何者变异度大。

答案：

其平均滴度的倒数为

G lgf lgXlg 165.70

G lg

f lgX

lg 1

65.70

36.67

平均滴度为1 : 37。

(姚晨陈平)