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    高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册第四章数列章末复习课(含答案)

    时间:2021-05-01 10:13:02 来源:勤学考试网 本文已影响 勤学考试网手机站

    2021年高中数学人教A版(新教材)选择性必修第二册第四章章末复习课 (满分:150分 时间:120分钟) 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知数列1,,,,3,,…,,…,则是这个数列的(  ) A.第10项 B.第11项 C.第12项 D.第21项 2.已知等差数列{an}满足3a3=4a4,则该数列中一定为零的项为(  ) A.a6 B.a7 C.a8 D.a9 3.等比数列{an}中,a2,a6是方程x2-34x+64=0的两根,则a4等于(  ) A.8 B.-8 C.±8 D.以上选项都不对 4.已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn+Sm=Sn+m,且a1=1,那么a10=(  ) A.1 B.9 C.10 D.55 5.设{an}是公差不为0的等差数列,a1=2,且a1,a3,a6成等比数列,则{an}的前n项和Sn=(  ) A.+ B.+ C.+ D.n2+n 6.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和,它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题,该数列从第一项起依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,则该数列第18项为(  ) A.200 B.162 C.144 D.128 7.已知数列{an},若a1=2,an+1+an=2n+1,则a2 020=(  ) A.2 017 B.2 018 C.2 019 D.2 020 8.已知等差数列的公差不为零,其前n项和为Sn,若S3,S9,S27成等比数列,则=(  ) A.3 B.6 C.9 D.12 二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分) 9.已知等比数列的前n项和为Sn,下列数列中一定是等比数列的有(  ) A. B. C. D.Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 10.设是等差数列,Sn是其前n项的和,且S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论正确的是(  ) A.d<0 B.a7=0 C.S9>S5 D.S6与S7均为Sn的最大值 11.已知两个等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn,且=,则使得为整数的正整数n的值为(  ) A.2 B.3 C.4 D.14 12.在公比q为整数的等比数列中,Sn是数列的前n项和,若a1·a4=32,a2+a3=12,则下列说法正确的是(  ) A.q=2 B.数列是等比数列 C.S8=510 D.数列是公差为2的等差数列 三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上) 13.已知各项均不为0的等差数列,满足2a3-a+2a11=0,数列为等比数列,且b7=a7,则b1·b13=________. 14.数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则a6=________. 15.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女不善织,日减功迟,初日织五尺,末日织一尺,今共织九十尺,问织几日?”.其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布,则每天比前一天少织布的尺数为________. 16.已知数列满足a1=21,an+1=an+2n,则a4=________,数列的最小值为________.(本题第一空2分,第二空3分) 四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知数列{an}为等差数列,且a3=5,a7=13. (1)求数列{an}的通项公式;

    (2)若数列{bn}满足an=log4bn,求数列{bn}的前n项和Tn. 18.(本小题满分12分)已知正项数列的前n项和为Sn,且Sn=2. (1)求a1,a2;

    (2)求证:数列是等差数列. 19.(本小题满分12分)已知数列{an},{bn}满足an+1-an=bn,为等比数列,且a1=2,a2=4,a3=10. (1)试判断列{bn}是否为等比数列,并说明理由;

    (2)求an. 20.(本小题满分12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n2+kn+k. (1)求{an}的通项公式;

    (2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Tn. 21.(本小题满分12分)已知{an}是各项均为正数的等比数列,{bn}是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7. (1)求{an}和{bn}的通项公式;

    (2)设cn=anbn,n∈N*,求数列{cn}的前n项和. 22.(本小题满分12分)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2 000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元. (1)用d表示a1,a2,并写出an+1与an的关系式;

    (2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元,试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示). 参考答案 (满分:150分 时间:120分钟) 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.答案:B  解析:观察可知该数列的通项公式为an=(事实上,根号内的数成等差数列,首项为1,公差为2),令21=2n-1,解得n=11,故选B. 2. 答案:B  解析:∵3a3=4a4,∴3a3=4(a3+d)=4a3+4d,∴a3=-4d, ∴an=a3+(n-3)·d=-4d+(n-3)d=(n-7)d,∴a7=0,故选B. 3. 答案:A  解析:∵a2+a6=34,a2·a6=64,∴a=64,且a2>0,a6>0, ∴a4=a2q2>0(q为公比),∴a4=8. 4. 答案:A  解析:a10=S10-S9.由条件知S1+S9=S10. ∴a10=(S1+S9)-S9=S1=a1=1,故选A. 5. 答案:A 解析:设公差为d,则a1(a1+5d)=(a1+2d)2,把a1=2代入可解得d=. ∴an=2+(n-1)×=n+.∴Sn==n2+.故选A. 6. 答案:B 解析:偶数项分别为2,8,18,32,50,即2×1,2×4,2×9,2×16,2×25, 即偶数项对应的通项公式为a2n=2n2, 则数列的第18项为第9个偶数, 即a18=a2×9=2×92=2×81=162,故选B. 7. 答案:C  解析:∵an+1+an=2n+1,∴an+1-(n+1)=-(an-n), 即数列{an-n}是以1为首项,-1为公比的等比数列, ∴an-n=(-1)n-1,∴an=n+(-1)n-1,∴a2 020=2 020-1=2 019. 8. 答案:C  解析:由题意,知S3,S9,S27成等比数列,所以S = S3 ×S27 , 即=×, 整理得81a= 3a2 ×27a14 ,所以(a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d),解得d=2a1, 所以=÷====9,故选C. 二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分) 9.答案:AB  解析:由数列{an}为等比数列可知,=q,(q≠0), 对于A, = q2,故A正确;
    对于B,==q2≠0,故B正确;
    对于C,lg an-lg an-1=lg=lg q,为等差数列,但是不一定为常数,即不一定为等比数列,故C错误;
    对于D,若an=(-1)n为等比数列,公比为-1,则Sn有可能为0,不一定成等比数列,故D错误.故选AB. 10答案:ABD  解析:由是等差数列,Sn是其前n项的和,且S5<S6,S6=S7>S8, 则a6=S6-S5>0,a7=S7-S6=0,a8=S8-S7<0,a7+a8=S8-S6<0, 则数列为递减数列,即选项A,B正确;

    由S9-S5=a9+a8+a7+a6=2(a8+a7)<0,即S9<S5,即选项C错误;

    由a1>a2>…>a6>a7=0>a8>a9>…,可得S6与S7均为Sn的最大值,即选项D正确,故选ABD. 11.答案:ACD  解析:由题意可得===, 则====3+, 由于为整数,则n+1为15的正约数,则n+1的可能取值有3,5,15, 因此,正整数n的可能取值有2,4,14.故选ACD. 12. 答案:ABC  解析:因为数列为等比数列,又a1·a4=32,所以a2·a3=32, 又a2+a3=12,所以 或又公比q为整数,则 即an=2n,Sn==2n+1-2, 对于选项A,由上可得q=2,即选项A正确;

    对于选项B,Sn+2=2n+1,==2,则数列是等比数列,即选项B正确;

    对于选项C,S8=29-2=510,即选项C正确;

    对于选项D,lg an+1-lg an=(n+1)lg2-nlg2=lg2,即数列是公差为lg2的等差数列,即选项D错误.故选ABC. 三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上) 13.答案:16  解析:各项均不为0的等差数列,2a3-a+2a11=0,∴4a7-a=0, ∴a7=4,b1 ·b13 = b = a = 16. 14.答案:768  解析:由an+1=3Sn,得Sn+1-Sn=3Sn,即Sn+1=4Sn,所以数列{Sn}是首项为1,公比为4的等比数列,所以Sn=4n-1,所以a6=S6-S5=45-44=3×44=768. 15. 答案:  解析:设第n天织布的尺数为an,可知数列为等差数列, 设等差数列的公差为d,前n项和为Sn,则a1=5,an=1,Sn=90, 则Sn==3n=90,解得n=30,∴a30=a1+29d=5+29d=1,解得d=-, 因此,每天比前一天少织布的尺数为. 16. 答案:33   解析:因为an+1=an+2n,所以an+1-an=2n,从而an-an-1=2(n-1)(n≥2).所以 a4-a3=2×3=6,a3-a2=2×2=4,a2-a1=2×1=2,a1=21,∴a4=6+4+2+21=33. an-a1=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1) =2(n-1)+2(n-2)+…+2×2+2×1=2×[1+2+…+(n-1)]=2×=n2-n. 而a1=21,所以an=n2-n+21,则==n+-1, 因为f (n)=n+-1在(0,4]递减,在[5,+∞)递增, 当n=4时,==8.25,当n=5时,==8.2, 所以n=5时取得最小值,最小值为. 四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.解: (1)设an=a1+(n-1)d, 则解得a1=1,d=2. 所以{an}的通项公式为an=1+(n-1)×2=2n-1. (2)依题意得bn=4an=42n-1,因为==16, 所以{bn}是首项为b1=41=4,公比为16的等比数列, 所以{bn}的前n项和Tn==(16n-1). 18.解: (1)由已知条件得:a1=2,∴a1=1. 又有a1+a2=2,即a-2a2-3=0,解得a2=-1(舍)或a2=3. (2)由Sn=2得n≥2时,Sn-1=2, ∴Sn-Sn-1==, 即4an=a-a+2an-2an-1,∴a-a-2an-2an-1=0, ∴=0,∴an-an-1-2=0,即an-an-1=2, 经过验证n=1也成立,所以数列是首项为1,公差为2的等差数列. 19.解: (1)数列{bn}不是等比数列. 理由如下:
    由an+1-an=bn,且a1=2,a2=4,a3=10得:
    b1=a2-a1=2,b2=a3-a2=6, 又因为数列{bn+2}为等比数列,所以可知其首项为4,公比为2. 所以b3+2=4×22=16,∴b3=14,显然b=36≠b1b3=28, 故数列{bn}不是等比数列. (2)结合(1)知,等比数列{bn+2}的首项为4,公比为2, 故bn+2=4·2n-1=2n+1,所以bn=2n+1-2, 因为an+1-an=bn,∴an-an-1=2n-2(n≥2). 令n=2,…,(n-1),累加得an-2=-2(n-1), ∴an=-2n+2=-2n+2=2n+1-2n, 又a1=2满足上式,∴an=2n+1-2n. 20.解:(1)当n≥2时, an=Sn-Sn-1=2n2+kn+k-22-k-k=4n+k-2, 当n=1时,a1=S1=2k+2, 又数列为等差数列,故当n=1时,a1=2k+2=2+k, 解得k=0,故an=4n-2. (2)由(1)可知,bn==, 故Tn=== . 故数列{bn}的前n项和Tn=. 21.解: (1)设数列{an}的公比为q,数列{bn}的公差为d, 由题意知q>0.由已知,得 消去d,整理得q4-2q2-8=0. 因为q>0,解得q=2,所以d=2. 所以数列{an}的通项公式为an=2n-1,n∈N*;

    数列{bn}的通项公式为bn=2n-1,n∈N*. (2)由(1)有cn=(2n-1)·2n-1,设{cn}的前n项和为Sn,则 Sn=1×20+3×21+5×22+…+(2n-3)×2n-2+(2n-1)×2n-1, 2Sn=1×21+3×22+5×23+…+(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n, 上述两式相减,得-Sn=1+22+23+…+2n-(2n-1)×2n =2n+1-3-(2n-1)×2n=-(2n-3)×2n-3, 所以,Sn=(2n-3)·2n+3,n∈N*. 22.解:(1)由题意得a1=2 000(1+50%)-d=3 000-d, a2=a1(1+50%)-d=a1-d=4 500-d, an+1=an(1+50%)-d=an-d. (2)由(1)得an=an-1-d=-d =·an-2-d-d =… =a1-d. 整理得an=(3 000-d)-2d=·(3 000-3d)+2d. 由题意知am=4 000,所以(3 000-3d)+2d=4 000, 解得d==. 故该企业每年上缴资金d的值为万元时,经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4 000万元.

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