概率统计试题及答案(本科完整版)x
时间：2020-09-25 00:12:55 来源：勤学考试网 本文已影响 人 
概率统计试题及答案（本科完整
版）
一、填空题(每题2分，共20分)
1、 记三事件件为UABC B, C则用A, B, C及其运
算关系可将事件，“A, B, C中只有一个发生” 表示为 .
2、 匣中有2个白球，3个红球。
现一个接一个 地从中随机地取出所有的球。那么，白球比红 球早出现的概率是 2/5 。
3、 已知 P(A)=0.3 , P (B)= 0.5，当 A, B 相互 独立时， P( A B) _0.65__,P( B| A) _0.5__。
4、 一袋中有9个红球1个白球，现有10名同学
依次从袋中摸出一球(不放回)，则第6位同 学摸出白球的概率为 1/10 。
5、 若随机变量X在区间(a,b)上服从均匀分布，则 对a c b以及任意的正数e 0 ,必有概率
e
P{c x c e},c e b b a
P{c x c e}
b c
,c e b b a
6、 设X服从正态分布 N( , 2),贝V 丫 3 2X ~ N ( 3-2 ,
4/ )
7、 设 X~ B ( n, p),且 EX =12, DX =8 贝 V n _36_,p _%_ &袋中装有5只球，编号为1, 2, 3, 4, 5,
在袋中同时取出3只，以x表示取出3只球中
的最大号码。贝險的数学期望=
4.5 o
则条件概率戊打,当常数卢)1/4
则条件概率
戊打,当常数卢
)
1/4
X)
1
2
3
1
0. 1
2
0. 1
0
0. 28
2
0.1
8
0
0.12
3
0
0. 1
5
0. 05
9、设随机变量(儿丫)的分布律为
P[X = 3\Y = 2}= 2/5 ,
10、设来自正态总体N(0, 1),
服从/分布。
二、计算题(每小题10分，共70分)
1、三台机器因故障要人看管的概率分别为0.1，
0.2, 0. 15,求:
没有一台机器要看管的概率
至少有一台机器不要看管的概率
至多一台机器要看管的概率
解：以勺表示“第/台机器需要人看管”，；=1,
2, 3,则:
P( Ai ) = 0.1 , P( A ) = 0.2 , P( A ) = 0.15 ,
由各台机器间的相互独立性可得
P A1A2A3 P A PA, P A3 0.9 0.8 0.85 0.612
P A2 A3 1 P AA2A3 1 0.1 0.2 0.15 0.997 3 p a A2A3 u a A2A3 u A1A2 A3 u A1A2 A3
p A1A2 A3 p A1A2 A3 p A1A2 A3 p A1A2 A3 0.1 0.8 0.85 0.9 0.2 0.85 0.9 0.8 0.15 0.9 0.8 0.85
0.068 0.153 0.108 0612 0.941
2、甲袋中有n只白球、m只红球；乙袋中有 N 只白球、M只红球。今从甲袋任取一球放入乙 袋后，再从乙袋任取一球。问此球为白球的概 率是多少？
解：以W甲表示"第一次从甲袋取出的为白球”，
R甲表示"第一次从甲袋取出的为红球”，
W乙表示"第二次从乙袋取出的为白球”，
则 所 求 概 率 为
P W乙 P W甲W乙 U R 甲 W乙 P W甲W乙 P R甲W乙
旦C1n mP W甲 P W乙 W 甲 P R甲 P W
旦
C1
n m
C1C
C1
CN
C1
N M 1
TOC \o "1-5" \h \z N 1 ^m
C1 c1
N M 1 n m
4
4
4
4
n N 1 mN
nm NM1 nm NM1
3、设随机变量 X
3、设随机变量 X的概率密度为f（x）
Acosx, |
1 2,
其它
试求（1
试求（1）常数A
（2）分布函数F（x）； （3）
概率P{ 0 X
/4 }。
解：（1）由归一性可得：1
解：（1）
由归一性可得：1
f x dx
Acos xdx 2A ,
2
从而
A 12
2 .Fx
2 .F
x
f x dx,
x x
f x dx f x dx,
/2
x
f x dx,
2
0,1sin x2
0,
1
sin x
2
1,
3 .P{ 0 X 4 }
■4 - cosedx
0 2
4、（ 1）已知X的分布律为
x -1 0 1
1
1
2i 1
2
i 1
1
1
6
1
3
i
12
1
12
计算 D(1 2X2)。( 5 分)
D(1 2X2) 4D X2 4 E X4
E X2 2 4 丄竺 235
4 16
(2)、设X~N(0,1),求Y X2的概率密度.(5分)
解：丫的密度函数为:f(y)y 0y
解：丫的密度函数为:
f(y)
y 0
y 0
5、设(x,y)的概率密度为f(x,y)
(x y)
0,y
(1)试求分布函数F(x,y)；
⑵求概率P (x,y) G其中区域G由X轴,Y轴以及
直线x y 1所围成.
解：1 .F x, yx yf x, y dxdy(x y )e dxdy,0,x 0,y 0
解：1 .F x, y
x y
f x, y dxdy
(x y )
e dxdy,
0,
x 0,y 0
其他
0,
2 .P (x,y) G
G
x, y dxdy
xe (x y)dy dx
1 2e 1
6、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)営0其/1,求常数k及边缘概率密度.
并讨论随机变量X,Y的相互独立性。
解：由归一性知:
f(x, y)dxdy
0 y
k 1 x dxdy
i
k dx
o
x
1 x dy
-k
6
fx x
f (x,y)dy
0
0,
其他
1
6 1 x
dx， 0 y
fY y
f(x, y)dx
y
0,
其他
显然
f(x,y)
fX X fY
y，故X
x
6
1
k 6
1 x
0 x 1
6x 1 x , 0 x 1
0, 其他
2
3 y-1 , 0 y 1
0, 其他
立。
7、设总体x的概率密度为f（x）
/ 1, 0 x
0 ,其它
1,其中
0为未知参数■若X1, ,Xn是来自母体的简单
子样，试求的矩估计与极大似然估计
解:
(1)
令 X EX 1x
、 0
,x 1dx
厂 厂
1
解得的矩估计为
— 2
? X
1 X
(2)
似然函数
n
L
i
'「Xi
1
n n
_ 1 2 _ 1
x
i 1
对数似然函数
ln L
-ln
2
n
._ 1 lnxi
i 1
令 In L n 1
令 2 2
丄n
2 ln x
i 1
0
解得 的极
大似
然
估计为
2 n
n
In Xj
三、证明题(每题5分，共10分)
1、Xi,X2为来自总体X的样本，证明当a b 1时， aXi bX2为总体均值E(X)的无偏估计。
证明：设总体均值E(X)=卩，由于Xi,X2为来自总体X 的样本，
因此匕 E Xi E X2
而aXi bX2为总体均值E(X)的无偏估计，
故应该有
E aX1 bX2 aE X1 bE X2 a b
从而 a b 1
的泊松分布，证明 的泊松分布。X ~P 1 ,Y~P 2 ， 即ne
的泊松分布，证明 的泊松分布。
X ~P 1 ,Y~P 2 ， 即
n
e 2亠
n!
X,Y的相互独立性可得：
服从参数为
:由题
m
n且由1」，P
n
且由
m!
X 丫，
TOC \o "1-5" \h \z k k i k i
k P X i,Y k i e e 2 —
m 0 i 0 i! k i !
e 乜 2 k k! i k i
k! i 0 i! k i ! 1 2
k
1 2
e
k!
即
,k
0,1,...
丫服从参数为1 2的泊松分布
